El traspàs impossible

A un representant de jugadors atabalat per no haver efectuat cap traspàs durant l'estiu, de sobte se li presenta una oportunitat única. El problema és que l'equip comprador i el venedor tenen interesos aparentment oposats. Podrà acontentar a ambdues parts? La paradoxa de Will Rogers i la teoria dels jocs.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 5.6 Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog Cifras y Letras.)

PRIMERA PART

Ha sigut un mal estiu per a Klaus Händler.

Klaus és representant de jugadors, i durant els últims mesos cap de les operacions de traspàs que ha negociat ha arribat a bon terme.

Alguns dels clubs amb els que treballa no tenen diners per a fitxatges degut a la crisi, i a més, varis dels jugadors als quals representa s'han lesionat.

Està pensant que segurament haurà de vendre algún dels seus estimats Lamborghini per poder afrontar les despeses de la seva acomodada vida durant aquest hivern, quan, de sobte, sona el telèfon.

És Josef, president del FC Schalke 04:

- Klaus, tenim ara mateix 5 davanters al plantilla, i ens cal vendre un d'ells. Ves a veure què hi pots fer...

Tot just després de penjar, rep una nova trucada. Aquesta vegada és Wolfgang, president del Bayer 04 Leverkusen:

- Klaus, com estàs? Te truco perquè manquen poques hores per que es tanqui el mercat de fitxatges, i volem contractar un davanter més...

Sembla que a Klaus se li presenta una oportunitat única per no haver de vendre els seus cotxes de luxe.

Però hi ha un problema. Tots dos equips estan interessats en incrementar la capacitat golejadora mitjana de la seva davantera i, alhora, reduir la nòmina mitjana dels seus jugadors.

Klaus realitza unes quantes trucadas a diversos equips, per veure si pot casar alguna operació, però tots els equips han tancat ja les seves plantilles.

És clar que tampoc resulta viable vendre un dels davanters del Schalke al Bayer, donades les condicions imposades per ambdós equips. Llavors, què pot fer Klaus? Li podrem ajudar d'alguna forma?

SEGONA PART

A Klaus se li ha acudit trucar al seu amic Pep Vitruvi, per que l'ajudi amb aquest problema aparentment irresoluble.

- Pep, pel que jo sé, passa que si traspassem un jugador del Schalke 04 al Bayer Leverkussen, la capacitat golejadora mitjana de la davantera del Bayer s'incrementará en la mateixa proporció en què disminueix la del Schalke. I, de la mateixa manera, la nòmina mitjana del Bayer s'incrementarà en la mateixa proporció en la que s'hi redueix la del Schalke.

- Així que, segons em comentes, tot el que perd un equip ho guanya l'altre. Això és el que s'anomena joc de suma nul·la en les teories matemàtiques dels jocs.  Però no sempre és així. Igual que a la vida real, poden donar-se'n situacions en que ambdues parts surtin beneficiades o perjudicades (jocs de suma no nul·la).

- Sí, encara que en aquest cas, no veig que pugui ser així.

- Bé, podem intentar-ho. M'has comentat que tots dos equips volen incrementar la capacitat golejadora mitjana del seus davanters, i alhora reduir la nòmina mitjana dels mateixos, veritat?

- Sí, així és.

- Si parléssim en valors absoluts, no hi hauria cap forma de fer-ho. Però com es tracta de mitjanes, la cosa canvia. Em pots donar les dades de gols i sous dels davanters dels dos equips?

- Sí, és clar, aquí els tinc.

- Bé, anem doncs a calcular la mitjana de gols i salaris de les dues davanteres.

- Ara podem comprovar que sí hi ha soluciós pel teu problema. Només hem d'aplicar la  paradoxa de Will Rogers.

- I... això què és?

- Aquesta paradoxa fa referència a un comentari que va fer Will Rogers, un artista nordamericà, a començaments del segle XX:  “When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states." (Quan els ciutadans d'Oklahoma es desplacen a Califòrnia, la intel·ligència mitjana de tots dos estats creix).

- Amb això, el que volia dir és que fins i tot quan els ciutadans d'Oklahoma que marxaven a California eren els menys intel·ligents del seu estat, tot i així eren més intel·ligents que els habitants de California, oi?

- Efectivament. D'aquesta manera, qualsevol ciutadà d'Oklahoma amb una intel·ligència per sota de la mitjana estatal que marxi a viure a Califòrnia fa que s'incrementi la intel·ligència mitjana dels dos estats per separat.

- I això cóm ho podem aplicar al nostre cas?

- Bé. Ens fixarem en el jugador del Schalke 04, el peruà Jefferson Farfán. La seva capacitat golejadora és menor que la mitjana del seu equip, però tot i això cobra més que la mitjana dels seus companys. Malgrat això, marca més gols que la mitjana dels davanters del Bayer Leverkussen, i cobra menys que ells.

- Ara ho veig clar. Si traspassem aquest jugador d'un equip a l'altre, suposant que cobrarà el mateix i que marcarà els mateixos gols, els dos equips milloraran totes les seves mitjanes.

- Així és, vegem el que passa a la taula.

- És veritat, els dos equips han incrementat la seva mitjana de gols per partit, i han reduït l'import mitjà dels seus salaris I això passa sempre?

- No, no sempre. Però de vegades sí que passa, com en aquest cas.

- Doncs acabes de solucionar-me la vida aquest hivern. Hauré d'invitar-te'n a un bon menjar…

- Crec que et costará quelcom més que un bon àpat. Prefereixo que fem el següent tracte: em pagaràs en funció dels gols que marqui al llarg de la temporada. Si marca un gol, em pagaràs 2 bitcoins. Si marca 2, em pagaràs el doble, 4 bitcoins. Si marca 3 gols, em pagaràs el doble, és a dir, 8 bitcoins. I així successivament.

- Em sembla un tracte just i raonable. Estem d'acord.

El fitxatge es va dur a terme. El Schalke va vendre un dels seus jugadors sobrants, el Bayer se'n va fer amb els serveis d'un extraordinari davanter, i Klaus no va haver de vendre cap dels seus preciosos Lamborghini. Almenys durant aquest hivern, ja que Farfán va marcar 25 gols amb el seu nou equip…

Saps calcular quànts bitcoins va haver de pagar Klaus Händler a Pep Vitruvi a la fi de la temporada?

Si estàs interessat en aprofundir més en aquest tema del fenomen Will Rogers i en la teoria dels jocs, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: Conjuntos y medias, Fenómeno de Will Rogers, El fenómeno Will Rogers, Teoria dels Jocs i de les Decisions.

I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.

I no us oblideu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.

Esmorzar amb Matemàtiques

PRIMERA PART

Zlatan Ibrahimovic està trist, molt trist. Això és perquè creu que té pocs amics al seu equip. 

Quan fa un repàs als seus companys d'equip, se n’adona que gairebé tots els seus amics tenen més amics que ell. I no només als entrenaments o al vestuari, sinó que també tenen més seguidors i amics a les xarxes socials ( Facebook, Twitter, Linkedin, Google+ ... ). 

S'ha fet el ferm propòsit de canviar aquesta situació al llarg d’aquesta temporada, així que busca algú qui li aconselli sobre què ha de fer per a aconseguir més amistats. Així que queda amb el seu company Thiago Silva per esmorzar a Les Deux Magots i parlar sobre el tema.

Fa un dia esplèndid a París, i ambdòs s’hi asseuen a la terraça per prendre un magnífic esmorzar. Zlatan li planteja el problema a Thiago:

Els meus amics són molt més populars que jo. M'he adonat de que tenen més amics, i m'agradaria fer quelcom per tenir tantes amistats com ells. 

Thiago li respon de la següent manera:

No hauries de preocupar-te’n pel que em dius. És una cosa molt habitual, que no té res a veure amb tu. Es tracta d'un problema estrictament matemàtic. 

Creus tu també que la culpa és de les matemàtiques? Pensa-ho un moment, i passa a veure la solució a la segona part.

SEGONA PART

Doncs, com bé diu Thiago, es tracta d'un simple problema matemàtic, i no d'una altra índole. Vegem com s’ho explica Thiago a Ibra:

Coneixes la paradoxa de l'amistat? Segons aquesta, ho més probable és que els teus amics tinguin més amics que tu...

Bé, algun cop he sentit que les persones normalment tendim a fer-nos amics d'aquelles persones que tenen molts amics, i en menor mesura de les que tenen pocs amics...

Sí, això ho va dir el psicòleg Satoshi Kanazawa: la gent sol establir amistat més freqüentment amb persones que tenen molts amics que amb aquelles altres que tenen pocs. Encara que no es tracta d'això exactament, sinó que més aviat hauriem de fixar-nos en els estudis del sociòleg Feld.

És aquest Feld qui va descobrir la paradoxa de l'amistat?

Sí. En realitat, la paradoxa de l'amistat de Feld és una propietat de la Teoria de Grafs, per la qual s'estableix que és molt probable que els nostres amics tinguin més amics dels que tenim nosaltres...

Com és això?

Thiago agafa una llibreta i comença a escriure sobre el paper les relacions d'amistat dels components de l’equip.

Anem a veure-ho de forma gràfica. Escriurem en aquest paper els 11 jugadors que normalment són titulars de l'equip (llista de la dreta).
Ara anem a representar gràficament les relaciones d’amistat entre ells. Als jugadors els hi identificarem amb un cercle blau (vèrtexs), i ficarem dins del cercle el nombre del seu dorsal. Els que siguin amics, els unirem mitjançant una línia vermella (arestes).

I al costat de cada jugador contarem el nombre d'amics que té (línies vermelles) i l'escriurem en color lila. D'aquesta forma podem veure gràficament totes les relacions d'amistat existents a l'equip.

Com pots veure, tú ets el cercle blau amb el nombre 10 dins d’ell. De ti parteixen 3 línies vermelles cap als teus 3 amics: Pastore (27), Lucas (29) i Lavezzi (22). I per això he escrit un 3 de color lila al costat del teu cercle, perquè tens 3 amics.

Ara, a partir d’aquest gràfic anem a confeccionar una taula, de la següent forma. A la línia corresponent a cada jugador apuntarem, a les caselles on es creua la seva fila amb les columnes dels seus amics, el nombre d’amics que tenen aquests. A la taula de la dreta, a la primera columna hi ficarem el total d’amics (relacions o línies vermelles) que té cada jugador. A la segona columna sumarem tots els amics dels seus amics. I a la tercera columna calcularem la mitjana dels amics dels seus amics, dividint la suma dels amics dels amics entre el nombre d’amics.

Anem-hi primerament amb tu, Ibra, que ets el nombre 10. Fixa't en la fila del 10: tens 3 amics, que són Lavezzi (22), Lucas (29) i Pastore (27). Lavezzi (22) té 3 amics, així que hem col·locat un 3 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la columna 22. Lucas (29) té 7 amics, així que escribim un 7 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la seva columna 29. I Pastore (27) té 2 amics, així que hem escrit un 2 a la casella corresponent.

Doncs així procedirem amb tots els jugadores, i veiem què és el que passa a la taula de la dreta.

Si ens fixem en quants jugadors tenen més amics que la mitjana dels seus amics, veiem en color vermell que, sorprenentment, tan sols hi han 3 jugadors (23, 2 i 29) que tenen més amics que la mitjana dels seus amics (el nombre de la primera columna és major que el de la tercera), i els 8 restants tenen menys amics que la mitjana dels seus amics. I com podem comprovar, la mitjana total d’amics 

42 / 11 = 3,82 

és prou inferior que la mitjana total dels amics dels amics:

182 / 42 = 4,33

I per què passa això?

Això té alguna cosa a veure amb les propietats de la mitjana geomètrica i de la variància estadística. Agafarem un altre paper, i ens hi centrarem tan sols en les relacions d'amistat que tenen entre els 4 defenses.

Veiem que Van der Wiel (23) té 2 amics, Jallet (26) té 2 amics, Maxwell (17) té solamente 1 amic, i jo, Thiago (2), tinc 3 amics.

Calculem la mitjana d'amics que tenen els defenses: (3+2+2+1)/4 = 2. Comprobem que els defenses en general tenen 2 amics de mitjana cadascú d'ells.

Ara anem a calcular la mitjana d'amics dels amics que tenen els defenses. Van der Wiel (23) té 2 amics, que tenen 2 i 3 amics, respectivament. Jallet (26) té dos amics, els quals tenen 2 i 3 amics. Maxwell (17) té un amic, qui té 3 amics. I jo (2) tinc tres amics, amb 2, 2 i 1 amic, respectivament.

Així, tenim les dades següents:

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3. 

Les reordenem així:

3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

I calculem la mitjana:

(3+3+3 + 2+2 + 2+2 + 1) / 8 = 

(3·3 + 2·2 + 2·2 + 1·1) / 8 =

(3² + 2² + 2² + 1²) / 8 = 

2,25

Veiem com també, de forma aparentment sorprenent, la mitjana d'amics dels amics dels defenses és 2,25, superior a la mitjana d'amics dels defenses que vam calcular abans, i que donava 2.

Doncs és veritat. I això passa sempre?

Sí, sempre. Llevat que tots tinguin el mateix nombre d'amics. En aquest cas les dues mitjanes són iguals.

I per què passa això?

Suposo que t’has adonat, quan he calculat la mitjana d'amics dels amics, de que he reordenat d’una forma especial les dades que teniem.

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3   →   3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

Sí, m'he fixat. Per què ho has fet ?

Ho he fet perquè veiessis el següent: les persones que tenen molts amics les incorporem dins de la suma moltes vegades, de fet, tantes vegades com amics tenen (3 cops el nombre 3), mentre que les persones que tenen pocs amics les hi incloem en menor mesura (1 vegada el nombre 1). Això vol dir que dins de la mitjana, tenen més pes aquelles persones que tenen més amics (3+3+3+2+2+2+2+1), i per això puja la mitjana global.

Però, a la mitjana dels amics, només les hi sumem una vegada (3+2+2+1), és a dir, tenen el mateix pes tan qui té molts amics com qui té pocs.

Ara ja ho entenc, però no acabo de veure que una mitjana hagi de ser més gran que l'altra per aquest motiu.

Bé, doncs anem-hi llavors a la demostració matemàtica.

Anomenem x_i al nombre d'amics del jugador i, i μ a la mitjana d'amics dels n jugadors de l'equip, que serà igual a:

Ara anem a veure com calculem la mitjana dels amics dels jugadors. Ja hem vist a l'exemple dels defenses a què correspon la suma dels amics dels amics, concretament a ∑(x_i²), i que el nombre total d'amistats entre ells és ∑x_i. Pel qual la mitjana dels amics dels amics, què anomenarem μ' serà:

Ens resta per esbrinar si μ es major, menor o igual que μ'.

Per això utilitzarem la fórmula de la variància estadística (σ²). Sabem que:

D'aquí es dedueix que:

Dividim per ∑(x_i) ambdòs termes i ens resta:

Així que:

O el que és el mateix: μ' = μ + un valor que ha de ser major o igual que zero, ja que la variància estadística és sempre positiva, tal com ho és la mitjana d’amics.

Per tant, en un grup la mitjana dels amics dels amics sempre serà major o igual que la mitjana dels amics.

Bé, amb aquesta explicació matemàtica definitivament m'has convençut. I tots aquests estudis serveixen per a alguna cosa més que perquè la gent no es deprimeixi per tenir menys amics que els seus amics?

Bé, això té múltiples aplicacions en molts altres àmbits de la vida... Per exemple, s'utilitza pel control de malalties. Així, a nosaltres ens fan de forma periòdica controls de sang per saber si tenim alguna malaltia contagiosa. Per això, tots els mesos el club tria 5 jugadors a l’atzar i els realitza l’analisi. Veritat que ara pots imaginar una forma millor de fer aquests controls?

Crec que sí...

Doncs és cert, haurien de triar 5 jugadors a l’atzar, i que aquests els indiquessin el nombre dels seus amics. Com aquests amics segur que tenen una mitjana d'amics superior a la dels triats inicialment, també tindran una probabilitat molt més gran de ser infectats, ja que al tenir més amistats estan més exposats al contagi. D'aquesta manera aconseguim una mostra de jugadors més significativa que si la seleccionem a l'atzar.

Justament això és el que estaba pensant. 

t

Així és como es fan certs controls sanitaris en col·legis, hospitals, residències de majors, etc. Altra aplicació val també per quan algú vagi a un gimnàs no es desmoralitzi perque vegi que la majoria de la gent està en millor forma que ell... Això, Ibra, no ens passa a nosaltres, oi? En aquest cas el que han de pensar és que, quan fan una ullada a la gent que està al gimnàs, la mostra que estan extraient està esbiaixada, ja que el més probable és que la gent que veuen són aquells que passen més hores allà i que, per tant, estan en millor condició física.

També podem utilitzar aquest tipus de mostra per altres coses. Donat el cas, és una tècnica prou útil pels nens que col·leccionen cromos de futbolistes como nosaltres. Poden aplicar la paradoxa de l'amistat per completar millor els seus àlbums. Normalment, quan tenen cromos repetits intenten canviar-los entre els seus amics. Però així gairebé mai aconsegueixen completar la seva col·lecció.

És millor que al pati s'acostin a uns quants nens triats a l'atzar i els demanin que els presentin als seus amics, perquè així aconseguiran intercanviar els seus cromos amb els nens més populars del col·legi que, com tenen més amics, també tenen més possibilitats de tenir aquests cromos que els manquen. Encara que hauran de tenir molt de compte per que no els hi contagiïn qualsevulla malaltia...

Y així pots entendre también per què quan anem de vacances a la platja, ens trobem que normalment són prou abarrotades. On són aquestes platges paradisíaques i desertes que apareixen als catàlegs de viatges? Un cop més, hi han moltes probabilitats de que la playa a la què hi anem sigui plena de gent, i molt poques de que sigui pràcticamente deserta, degut a aquesta paradoxa.

Llavors, no m'he de preocupar per tenir tan pocs amics, oi?

En absolut. Ja veus que passa a tot arreu. No només al Paris Saint Germain, ans a tots els equips: al Real Madrid, AC Milà, Manchester United, L.A. Galaxy, Santos, FC Barcelona... I li passa a gairebé tots els jugadors: Cristiano Ronaldo, Neymar, Falcao, Messi...

De veritat? -pregunta Ibra esbossant un tímid somriure-. Crec que després d'aquestes explicacions, i veient que se'ns ha fet molt tard, bé mereix que et convidi a un bon menjar a un restaurant que conec...

Sí, però abans apunta aquests enllaços, per si ets interessat en conèixer més sobre el tema de la paradoxa de l'amistat: 'Yo quiero tener 42 amigos' de Clara Grima y Raquel García, o 'La paradoja matemática de forever alone' de Ciencia Explicada.