El traspàs impossible

A un representant de jugadors atabalat per no haver efectuat cap traspàs durant l'estiu, de sobte se li presenta una oportunitat única. El problema és que l'equip comprador i el venedor tenen interesos aparentment oposats. Podrà acontentar a ambdues parts? La paradoxa de Will Rogers i la teoria dels jocs.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 5.6 Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog Cifras y Letras.)

PRIMERA PART

Ha sigut un mal estiu per a Klaus Händler.

Klaus és representant de jugadors, i durant els últims mesos cap de les operacions de traspàs que ha negociat ha arribat a bon terme.

Alguns dels clubs amb els que treballa no tenen diners per a fitxatges degut a la crisi, i a més, varis dels jugadors als quals representa s'han lesionat.

Està pensant que segurament haurà de vendre algún dels seus estimats Lamborghini per poder afrontar les despeses de la seva acomodada vida durant aquest hivern, quan, de sobte, sona el telèfon.

És Josef, president del FC Schalke 04:

- Klaus, tenim ara mateix 5 davanters al plantilla, i ens cal vendre un d'ells. Ves a veure què hi pots fer...

Tot just després de penjar, rep una nova trucada. Aquesta vegada és Wolfgang, president del Bayer 04 Leverkusen:

- Klaus, com estàs? Te truco perquè manquen poques hores per que es tanqui el mercat de fitxatges, i volem contractar un davanter més...

Sembla que a Klaus se li presenta una oportunitat única per no haver de vendre els seus cotxes de luxe.

Però hi ha un problema. Tots dos equips estan interessats en incrementar la capacitat golejadora mitjana de la seva davantera i, alhora, reduir la nòmina mitjana dels seus jugadors.

Klaus realitza unes quantes trucadas a diversos equips, per veure si pot casar alguna operació, però tots els equips han tancat ja les seves plantilles.

És clar que tampoc resulta viable vendre un dels davanters del Schalke al Bayer, donades les condicions imposades per ambdós equips. Llavors, què pot fer Klaus? Li podrem ajudar d'alguna forma?

SEGONA PART

A Klaus se li ha acudit trucar al seu amic Pep Vitruvi, per que l'ajudi amb aquest problema aparentment irresoluble.

- Pep, pel que jo sé, passa que si traspassem un jugador del Schalke 04 al Bayer Leverkussen, la capacitat golejadora mitjana de la davantera del Bayer s'incrementará en la mateixa proporció en què disminueix la del Schalke. I, de la mateixa manera, la nòmina mitjana del Bayer s'incrementarà en la mateixa proporció en la que s'hi redueix la del Schalke.

- Així que, segons em comentes, tot el que perd un equip ho guanya l'altre. Això és el que s'anomena joc de suma nul·la en les teories matemàtiques dels jocs.  Però no sempre és així. Igual que a la vida real, poden donar-se'n situacions en que ambdues parts surtin beneficiades o perjudicades (jocs de suma no nul·la).

- Sí, encara que en aquest cas, no veig que pugui ser així.

- Bé, podem intentar-ho. M'has comentat que tots dos equips volen incrementar la capacitat golejadora mitjana del seus davanters, i alhora reduir la nòmina mitjana dels mateixos, veritat?

- Sí, així és.

- Si parléssim en valors absoluts, no hi hauria cap forma de fer-ho. Però com es tracta de mitjanes, la cosa canvia. Em pots donar les dades de gols i sous dels davanters dels dos equips?

- Sí, és clar, aquí els tinc.

- Bé, anem doncs a calcular la mitjana de gols i salaris de les dues davanteres.

- Ara podem comprovar que sí hi ha soluciós pel teu problema. Només hem d'aplicar la  paradoxa de Will Rogers.

- I... això què és?

- Aquesta paradoxa fa referència a un comentari que va fer Will Rogers, un artista nordamericà, a començaments del segle XX:  “When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states." (Quan els ciutadans d'Oklahoma es desplacen a Califòrnia, la intel·ligència mitjana de tots dos estats creix).

- Amb això, el que volia dir és que fins i tot quan els ciutadans d'Oklahoma que marxaven a California eren els menys intel·ligents del seu estat, tot i així eren més intel·ligents que els habitants de California, oi?

- Efectivament. D'aquesta manera, qualsevol ciutadà d'Oklahoma amb una intel·ligència per sota de la mitjana estatal que marxi a viure a Califòrnia fa que s'incrementi la intel·ligència mitjana dels dos estats per separat.

- I això cóm ho podem aplicar al nostre cas?

- Bé. Ens fixarem en el jugador del Schalke 04, el peruà Jefferson Farfán. La seva capacitat golejadora és menor que la mitjana del seu equip, però tot i això cobra més que la mitjana dels seus companys. Malgrat això, marca més gols que la mitjana dels davanters del Bayer Leverkussen, i cobra menys que ells.

- Ara ho veig clar. Si traspassem aquest jugador d'un equip a l'altre, suposant que cobrarà el mateix i que marcarà els mateixos gols, els dos equips milloraran totes les seves mitjanes.

- Així és, vegem el que passa a la taula.

- És veritat, els dos equips han incrementat la seva mitjana de gols per partit, i han reduït l'import mitjà dels seus salaris I això passa sempre?

- No, no sempre. Però de vegades sí que passa, com en aquest cas.

- Doncs acabes de solucionar-me la vida aquest hivern. Hauré d'invitar-te'n a un bon menjar…

- Crec que et costará quelcom més que un bon àpat. Prefereixo que fem el següent tracte: em pagaràs en funció dels gols que marqui al llarg de la temporada. Si marca un gol, em pagaràs 2 bitcoins. Si marca 2, em pagaràs el doble, 4 bitcoins. Si marca 3 gols, em pagaràs el doble, és a dir, 8 bitcoins. I així successivament.

- Em sembla un tracte just i raonable. Estem d'acord.

El fitxatge es va dur a terme. El Schalke va vendre un dels seus jugadors sobrants, el Bayer se'n va fer amb els serveis d'un extraordinari davanter, i Klaus no va haver de vendre cap dels seus preciosos Lamborghini. Almenys durant aquest hivern, ja que Farfán va marcar 25 gols amb el seu nou equip…

Saps calcular quànts bitcoins va haver de pagar Klaus Händler a Pep Vitruvi a la fi de la temporada?

Si estàs interessat en aprofundir més en aquest tema del fenomen Will Rogers i en la teoria dels jocs, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: Conjuntos y medias, Fenómeno de Will Rogers, El fenómeno Will Rogers, Teoria dels Jocs i de les Decisions.

I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.

I no us oblideu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.

La probabilitat i la sortida del sol

És fácil decidir sobre vàries ofertes quan un coneix els detalls de totes elles. Però quan manca alguna dada, resulta més complicat trobar un mètode satisfactori per prendre la decisió correcta. En aquest cas, Michael Laudrup s'enfronta a una decisió sobre dues ofertes, de les que només coneix una. I sembla que l'aplicació de les matemàtiques en aquest cas, no li ajuda, sino que encara l'embolica més per fer l'elecció. Conoixerà la paradoxa de l'elecció?

(Aquesta entrada participa a la Edició 5.2. Emmy Noether del Carnaval de Matemàtiques, l'amfitrió del qual és el blog Mates de David.)

PRIMERA PART

Surt el sol a una preciosa illa del Sud del Pacífic. És un lloc tan allunyat de qualsevol altre lloc habitat, que ni tan sols arriba el senyal telefònic per connectar-se'n a internet. 

Tan sols cada dues hores passa per sobre un satèl·lit de telecomunicacions, que permet als seus habitants connectar-se amb la resta del món durant gairebé un minut.

Michael Laudrup ha escollit aquest idíl·lic lloc per passar unes tranquil·les i merescudes vacances amb la seva família.

Com cada matí, s'ha acostat a la costa per presenciar la bella matinada. Són les vuit del matí. Just en aquest moment passa per sobre el satèl·lit, i el telèfon sona indicant-li que té un missatge.

No li ve de gust agafar el telèfon, però veu que es tracta d'un missatge del seu representant, així que finalment decideix llegir-lo. El missatge diu així:

'Michael, tens dues ofertes per entrenar la propera temporada. Una és de la Juventus de Torí, i l'altra és del Real Madrid. Com pots veure, uns t'ofereixen just el doble que els altres. 

El problema és que necessiten una resposta immediata, així que d'aquí a 2 hores, quan tinguis novament connexió, hauràs contestar-me i dir-me per quin dels dos equips has decidit fitxar. Si no, tots dos buscaran un altre entrenador. La Juventus t'ofereix 2 milions d'euros, i el Real Madrid...'

Apa! Just en aquest moment, el satèl·lit s'havia allunyat prou com perquè es tallés la connexió.

Michael tenia dues hores per a decidir per quin dels dos equips fitxar.

Així que va baixar-hi fins a la platja, i va començar a meditar la resposta que li donaria al seu representant.

Ambdues ofertes procedien de dos equips amb els quals havia jugat, de manera que no sentia especial predilecció per l’un o l’altre.

L'oferta de la Juve és molt bona, però, i si la del Real Madrid és millor?

vs.

Serà una difícil elecció. Podria tirar sort, però es tracta d’una decisió important, què mereix buscar alguna forma lògica de prendre la decisió. Potser els coneixements de probabilitat que encara recordava dels seus estudis el podrien ajudar...

T'atreveixes a ajudar a Michael a escollir el seu nou equip per a la propera temporada?

SEGONA PART

Al principi, Laudrup pensa que l'oferta del Juventus és força temptadora. I a més, hi ha un 50% de probabilitat de que l'opció que triï sigui la millor de les dues.

Ja m'agradaria guanyar aquests diners cada any... I atès que si tria l'oferta del Reial Madrid s'arrisca a guanyar menys diners, al cap de les dues hores jo contestaria: fitxo per la Juventus!

Doncs sí, sembla una elecció lògica.

Sens dubte. Si canviant la seva elecció pot guanyar 2 milions, i tan sols pot perdre 1 milió, tot és ben clar, oi?

Bé, aquí estariem envers un estudi econòmic sobre la utilitat marginal d'aquests 2 milions: Laudrup pot ésser més preocupat per perdre 1 miliò, que interessat per guanyar 2 milions més.

Però suposarem que a Michael l'importa el mateix el milió adicional que pot guanyar que el que pot perdre, i abordarem el problema d'una altra forma. Vegem: tenim una oferta de 2.000.000 € de la Juventus, oi?

Sí.

I sabem que una de les ofertes és el doble que l'altra. Així que el Real Madrid pot haver ofert 1 milió o 4 milions d'euros.

Correcte.

Bé, ara anem a calcular quin és el salari estimat que obtindrà Laudrup si canvia d'opinió i escull fitxar pel Real Madrid.

Hi ha un 50% de possibilitats de guanyar 1 milió d'euros, i un altre 50% de possibilitats de guanyar 4 milions d'euros. Així que el guany estimat d'aquesta segona opció, qué anomenarem E(Q₂), la calcularem fent la mitjana dels dos casos que es poden donar:

Així que, si canvia d'opció, el seu guany mitjà s'estima en dos milions i mig, mig milió més que si es queda a l'equip de Torí, no?

Efectivament, si apliquem les lleis de la probabilitat, Laudrup hauria en aquest cas de triar la segona opció. Però a més, és un succès que no només passa en aquest cas, sinó que es donarà sempre que el representant expressi la diferència entre les dues ofertes en termes relatius.

No acabo de comprendre’n.

Anomenarem Q_a i Q_b a les dues ofertes. Definim r com la raó entre l’una i l’altra:

No ens importa quina de les dues ofertes, Q_a o Q_b, més gran. En tot cas, r sempre serà un nombre positiu més gran que zero (de moment, Laudrup no pensa entrenar cap equip de forma gratuïta, així que ni Q_a ni Q_b són iguals a zero, ni tampoc pensa pagar diners per fer-ho, així que Q_a i Q_b són dos valors positius majors que zero), i per tant, r també ho és.

Si fem que Q₁ és l’oferta que triem en primer lloc, i Q₂ és l’oferta que encara no hem descobert, tenim que Q₂ pot valer (Q₁ · r) o bé (Q₁ / r).

Calculem el valor estimat de Q₂, que anomenarem E(Q₂), pel cas que hi ha la mateixa probabilitat de que qualsevulla de les dues ofertes sigui la més gran:

Si definim k com

Tenim que

Anem a veure gràficament com es comporta el valor de k en funció dels valors de r, és a dir, segons la diferencia que hi hagi entre les dues ofertes:

Veiem que k serà sempre més gran que 1, llevat del cas que les dues ofertes siguin iguals). de manera que el valor estimat de l'oferta desconeguda E(Q₂) sempre serà més gran que el de l’oferta que coneixem Q₁. Així que, sigui com sigui la primera opció, sempre haurem d'escollir la segona.

O sigui, que Laudrup haurà de contestar: fitxaré pel Real Madrid!

Sí, però... t’imagines què passaria si l’agent hagués citat en primer lloc l’oferta del Real Madrid? Tot i seguint el mateix raonament, ara Laudrup estaria pensant en fitxar per la Juve...

Malgrat això, tot això passa tan sols quan la relació entre ambdues ofertes l'expressem en termes relatius. Imaginem que el seu representant, en comptes de dir que una oferta és el doble que l'altra, hagués dit que una oferta és superior a l'altra en 1.000.000 € per exemple, és a dir, que hi hagués quantificat la diferència en valors absoluts. Què és el que passaria?

No ho sé.

Anem a calcular de nou el guany estimat de Laudrup si tria l’opció del Real Madrid:

Resulta que obtenim un guany estimat de 2.000.000 €, tot just la mateixa quantitat que li ofereix la Juventus!

Anem a veure-ho en termes matemàtics . Si ara definim r com:

tenim que:

Així que si la diferència la comptabilitzem en termes absoluts, i no relatius, passa que obtenim una solució matemàtica més 'lògica'...

És cert, en aquest cas el resultat matemàtic coincideix amb el que ens dicta el sentit comú.

I com les ofertes de tots dos clubs són iguals, i Laudrup té la mateixa simpatia per tots dos, li costaria molt decidir-se’n per un dels dos, pel qual Michael potser constestaría finalment: Em quedo al meu equip actual!

Bé, però aquestes oportunitats no sorgeixen cada dia. No podem ajudar-li d'alguna manera a decidir-se’n per una de les dues ofertes?

Està bé, després de tants càlculs, no li deixarem sense una solució pel seu problema.

Ja hem vist que segons interpretem les dades, la decisió pot ser diferent. Llavors, què ha de fer Laudrup per prendre una decisió correcta?

Te'n recordes de quan Llorente no sabia què fer, si fitxar pel Tottenham Hotspur o per l'Aston Villa? El vam veure fa un temps, a la nostra història ‘La difícil decisió de Llorente’.

Ah, sí, ja me'n recordo. En aquell cas el que havia de fer era aplicar la teoria de la parada òptima, oi?

Així és. El primer que ha de fer Laudrup és pensar quant vol guanyar per entrenar la temporada que ve, i si n’hi ha una oferta que iguali o superi aquesta quantitat, prendre-la, sense pensar que posteriorment pot tenir ofertes millors. I ja que en un principi l'oferta de la Juventus li semblava prou interessant i complia les seves expectatives, sens dubte hauria acceptar-la.

Llavors, podem concloure que Laudrup contestarà : Fitxo per la Juventus!

Ho sento, però tampoc serà així.

Com ? Hi ha algun raonament més que se'ns hagi escapat?

Sens dubte. Aquest problema que se li ha plantejat a Laudrup té una relació directa amb la teoria de la decisió i la interpretació bayesiana de la probabilitat, i ha estat estudiat des de fa temps per experts en lògica, filosofia, matemàtiques, etc. S'anomena la paradoxa dels dos sobres o paradoxa del canvi. En aquest enllaç, podràs trobar més informació sobre el tema: La paradoxa dels dos sobres: models del joc i simulacions.

Sí, però, al final, què és el que va fer Laudrup? Si no va fitxar pel Real Madrid, i tampoc per la Juve, què és el que va fer?

Efectivament, després de les 2 hores de passeig per la platja, va decidir que en cap dels dos llocs, ni a Madrid ni a Torí, podria veure les magnífiques matinades d'aquesta illa. I va decidir que tampoc tornaria a entrenar al seu equip actual. Es prendria un any sabàtic, descansant en aquest magnífic lloc amb la família.

I després d'enviar el missatge de resposta al seu representant, va fer el que havia d'haver fet quan va arribar a l'illa: apagar el telèfon.

Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en menéame y divoblogger. Muchas gracias.