Ho més nou

dimarts, 24 de juny de 2014

L'assassí matemàtic

Un jugador ha estat assassinat als vestidors, al descans d'un partit del Mundial de Brasil 2014. Una sèrie de pistes matemàtiques et conduiran a resoldre el misteri, amb l'ajuda de l'inspector Larry Flanagan i l'agent Pep Vitruvi, que t'hi introduiran en el fascinant món de la combinatòria. T'atreveixes a resoldre el cas?

Un jugador ha estat assassinat als vestidors, al descans d'un partit del Mundial de Brasil 2014. Una sèrie de pistes matemàtiques et conduiran a resoldre el misteri, amb l'ajuda de l'inspector Larry Flanagan i l'agent Pepe Vitruvi, que t'hi introduiran en el fascinant món de la combinatòria.

T'atreveixes a resoldre el cas?

(Aquesta entrada participa a l'Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió de la qual és el blog pimedios.)

L'assassí matemàtic


Ningú no podía creure-s’ho. Estaven esperant-li per començar la segona part de l’encontre, però no acabava de sortir al terreny de joc. Finalment, el preparador físic va baixar als vestidors per veure què era el que passava, i allà se’l va trobar, estès a terra, amb un punyal clavat al pit.


Era Drakulic, el davanter centre i capità de la selecció de Transsilvània, que s’havia classificat brillantment per primera vegada per un Mundial de Futbol, que enguany se celebrava al Brasil.

Cap dels jugadors recordava qui havia estat el darrer a abandonar el vestidor, ja que estaven tots prou afectats per la xerrada que els hi havia fet el seleccionador, Pep Tourinyo, després d’anar perdent al descans per 2 gols a 0 amb la selecció de Micronèsia Occidental.



Els organitzadors del Campionat volien que l’assumpte s’aclarís amb rapidesa i discreció, de manera que van demanar a la Policia que els enviessin als millors agents, per així poder resoldre el cas el més aviat possible.

En pocs minuts, s’hi van presentar a l’estadi l’inspector Larry Flanagan, i Pep Vitruvi, oficial del Departament de Matemàtica Científica de la Policia.


Per què van ser ells els escollits? Bé, Larry Flanagan (F) era el més brillant inspector de la policia. Però no en sabia molt, de Matemàtiques.

La col·laboració d’un agent del Departament de Matemàtiques esdevenia fonamental, ja que, clavats al puñal, hi havien tres retalls del diari d’avui, tots ells relacionats amb el partit que anaven a disputar, i amb una sèrie d’anotacions matemàtiques escrites als mateixos.

A més, els retalls de les notícies no tenien la tradicional forma rectangular, sinó que estaven tallats en forma de triangle, i estaven travessats pel puñal pel seu centre.



Tot semblava indicar que l’autor de l’assassinat es tractava d’hom aficionat a les Matemàtiques, i que, a més, havia anat deixant una sèrie de pistes la resolució de les quals els hi conduiria fins a ell.

Per tant, la intervenció de Pep Vitruvi (V) semblava imprescindible per resoldre el cas, ja que era un expert en la resolució d’aquest tipus d’enigmes.

L’inspector es va posar mans a l’obra. Va prendre els retalls, i va llegir el primer d’ells, que deia així: ‘Pel partit d’avui, el nostre seleccionador dubta sobre quina parella de centrals alinearà d’entre els 4 que té disponibles’. A la part superior del retall, figurava una misteriosa anotació en vermell: (4 2).



F: No entenc quina relació pot tenir aquesta notícia dels defenses amb el jugador assassinat, que és davanter. I a més, què significaran aqueixos números en vermell, 4 i 2, escrits un damunt l’altre, i entre parèntesis? – va dir l’inspector Larry Flanagan.

V: Podria tractar-se d’una anotació matemàtica, un coeficient binomial, que representa la combinació de 4 elements presos de 2 en 2. En aquest cas, pot indicar el nombre de possibles combinacions de 2 centrals que pot fer el seleccionador si té 4 jugadors que poden jugar en aquesta posició. Como diríem al nostre Departament, les combinacions (sense repetició) són el nombre de subconjunts de k elements que s’hi poden extreure d’un conjunt donat de n elements, sense tenir en compte l’ordre. – Va contestar Pep Vitruvi.

F: Ja veig. Si tenim 4 jugadors, als que anomenarem A, B, C i D (els nombres transsilvans són realment complicats, així que serà millor utilitzar les lletres), el seleccionador podrà escollir les següents parelles: AB, BC, CD, AC, BD, i AD. És a dir, un total de 6 parelles distintes, oi?



V: Cert. Aixó sempre que no ens importi en quina posició juguin. Vull dir, que ens és igual si cada un d’ells juga a l’esquerra o a la dreta de la defensa. D’altra manera, tindríem un total de 12 combinacions, ja que hauríem de comptar les mateixes parelles, però canviant el seu ordre: BA, CB, DC, CA, DB, i DA. En aquest cas, parlaríem de variacions (sense repetició) de 2 elements presos d’un conjunt de 4 elements, i no de ‘combinacions’.



F: Bé, doncs sembla que la primera pista ens condueix al nombre 6. Anem a veure el següent retall: ‘Indignació a Brașov. Després de la bona temporada de l’Sporting de Brașov, el seleccionador només alinearà a 2 jugadors dels 7 de l’equip que se’n va dur al Brasil’. També en aquest retall algú havia escrit un 7 i un 2, entre parèntesis i l’un sota l’altre.



F: No m’ho diguis, Pep. Crec que aquesta vegada ho puc fer jo solet: l’anotació (7 2) representa les possibles combinacions de 7 elements presos de 2 en 2, que pot fer el seleccionador. Aixó és, el nombre de possibles parelles distintes de jugadors de l’Sporting que l’entrenador pot escollir per que juguin el partit. M’estic equivocant?

V: No, inspector Larry. Ja veig que aprens molt de pressa.

F: D’acord, anem a veure quines poden ser. Si tenim 7 jugadors, als què anomenarem A, B, C, D, E, F i G, les combinacions seran: AB, FE, AC, CD, AD, BD, CF...

F: Uff! Crec que m’he perdut. Ara no és tan fàcil calcular-les... Vaig a començar un altre cop, d’una manera més ordenada: AB, AC, AD, AE....

Després d’una estona, l’inspector va arribar al resultat:

AB AC AD AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE DF DG EF EG FG

F: Penso que són 21, però no n’estic segur de si m’he oblidat d’alguna parella…

V: Sí, és correcte. Encara que, en aquest cas, seria millor acudir a les Matemàtiques. La fòrmula per trobar les combinacions de k elements presos d’un conjunt d’n elements, és la següent:


F: D’on surt aquesta fòrmula?

V: Bé, pensem en el primer jugador que pot triar l’entrenador. És clar que hi han 7 possibles candidats, els 7 jugadors de l’Sporting. Quan vulgui triar el segon jugador, ja només tindrà 6 jugadors entre els que escollir-lo, veritat? Per tant, per a cada un dels set jugadors escollits inicialment, hi haurà sis possibles companys. Així que tenim 7 x 6 = 42 possibles parelles:

AB AC AD AE AF AG BA BC BD BE BF BG CA CB CD CE CF CG DA DB DC DE DF DG EA EB EC ED EF EG FA FB FC FD FE FG

V: Però en aquest cas tornem a obtenir les variacions de 2 elements presos d’un conjunt de 7, ja que tenim parelles repetides: AB i BA, per exemple. I hem quedat que ens fa el mateix la posició a la que hi juguin. Què podem fer per eliminar-les de la nostra fòrmula?

F: No sé pas cóm...

V: Hauríem de dividir el resultat entre el nombre de formes possibles en què podem trobar la mateixa combinació de jugadors, encara que ordenada de diferent manera. És ho que al nostre Departament anomenem ‘permutacions’ (sense repetició): el nombre de distintes ordenacions que podem fer en un conjunt d’elements, utilizant-hi tots els números, però sense que s’hi repiteixin.  



F: I cóm calculem el nombre de permutacions?

V: És molt senzill: Si tenim k elements, haurem de pensar que qualsevol d’ells pot èsser el primer. Desprès, hi haurà (k-1) elements que puguin estar en segon lloc (ja que no s’hi poden repetir). Hi haurà (k-2) elements que puguin estar en tercer lloc. I així succesivament. El total de formes distintes en que es poden ordenar k elements serà igual a

P(k) = k • (k-1) • (k-2) • … • 3 • 2 • 1

V: Al nostre Departament no ens agrada perdre el temps escrivint aquest tipus de fòrmules tan llargues, així que hem inventat per definir aquest producte la clau secreta ‘factorial de k’, que escrivim així: k! Per tant, podem escriure-ho així:

P(k) = k!

V: Pel nostre cas amb conjunts de 2 jugadors, tindrem que  k! = 2! = 2 • 1 = 2

V: Així que ja tenim el resultat pel nostre problema. Per a obtenir les combinacions de 2 elements presos d’un total de 7, dividim les variacions de 7 elements presos de 2 en 2 entre les permutacions de 2 elements:


F: Això és el que vaig dir al començament, sense tanta fòrmula!

V: És veritat, però vas trigar molt de temps en obtenir el resultat. I només eren 7 jugadors. Què faries si has de triar, per exemple, a 5 jugadors d’entre els 23 seleccionats? Hauries escrit totes les possibles combinacions?

F: Hummm… Bé, d’acord. Prossegueix amb la teva explicació, si us plau.

V: Ara anem a modificar lleugerament la fòrmula anterior, multiplicant el numerador i el denominador per 5!


V: Hem arribat a la fòrmula que et vaig indicar inicialment, ho veus?


F: Correcte. Però començo a estar una mica cansat de tants números, tantes variacions, combinacions, permutacions… Crec que el millor seria prendre les empremptes dactilars del punyal, i assumpte arreglat.

V: Inspector, ja saps que els assassins solen utilitzar guants en aquests casos… A més, per motiu de la celebració del Mundial, el personal del Laboratori està sota mínims. I sabem que no es distingeixen precisament per la rapidesa de les seves anàlisis.

F: D’acord. Seguim amb la investigació. Agafem el tercer retall: ‘Avui es preveu una lluita molt important al centre del camp, així que el seleccionador diu que alinearà a 5 dels 7 migcampistes que s’ha emportat al Mundial.’ Damunt de la notícia es pot llegir una nova anotació (7 5).



F: Bé, doncs ara tenim la combinació de 7 jugadors presos de 5 en 5, oi? Anem a calcular-lo amb la fòrmula que m’has ensenyat abans.

V: També dona 21.

F: Cóm ho has calculat tan ràpidament?

V: En realitat no he realitzat cap càlcul. Tenim que


V: En termes generals,


F: I per què dona el mateix resultat?

V: Bé, pensa que el problema de calcular les combinacions possibles de 5 jugadors si tenim 7 en total es pot plantejar d’altra manera. Podem pensar en els 2 jugadors que s’hi queden a la banqueta cada cop que el seleccionador tria a 5 d’ells per a jugar. 

ABCDEFG
ABCDF EG
ABCEF DG
ABCEG DF

V: Així que a cada grup de 5 jugadors seleccionats li correspon un grup de 2 jugadors no seleccionats. Hi haurà tants grups distints de 5 jugadors titulars com grups de 2 jugadors que es queden a la banqueta.

V: Per tant, en comptes de calcular quants grups de 5 jugadors titulars es poden formar, podem veure quànts grups de 2 jugadors suplents pot haver-hi, si tenim 7 jugadors en total, ja que la solució serà la mateixa. I com al retall anterior ja havíem calculat que hi havia 21 possibles combinacions per l’esmentat cas, aquesta vegada no ens cal fer cap cálcul.

F: Perfecte. Ara només ens resta encaixar les peces amb les què comptem. Els resultats dels 3 parèntesis misteriosos (4 2),(7 2) i (7 5) han estat els nombres 6, 21 i 21. Jo crec que si el punyal travessava els tres retalls pel seu centre, potser el que hauríem de fer seria trobar el ‘centre’ aritmètic dels nombres obtinguts, és a dir, la seva mitjana:

F: Apa, 16! Tot just el nombre que té com a dorsal el jugador assassinat!  


F: És clar que l’assassí és un aficionat a las Matemàtiques i als problemes de lògica, i que a més no ens ho va posarà gens fàcil. I ara, Pep, què fem?

V: Encara hi ha una dada que no hem utilitzat a la nostra investigació, potser la més evident de totes: els retalls presenten una forma triangular.

V: Si a l’assassí li agraden les Matemàtiques, i a més tots els problemes que hi ha als retalls són sobre la branca de Combinatòria, sens dubte tot ens condueix al triangle de Pascal. Coneixes aquest triangle, Flanagan?

F: No, no sé pas el que és.

V: Bé, és normal. Aquest triangle, a l’igual que els criminals més astuts, adopta un munt de personalitats distintes. Per exemple, també se’l coneix per triangle de Tartaglia. En tot cas, i tornant al tema que ens ocupa, et diuré que es tracta d’un triangle de confecció molt senzilla. Primerament escrivim un 1 al vèrtex superior, i a sota, succesivament i en diagonal, escrivim el resultat de sumar els dos nombres situats per sobre. Si no hi ha cap nombre, sumem un zero.



V: Ara anem a assenyalar en aquest triangle de Pascal els resultats obtinguts. Fixa’t, inspector. En el primer cas (4 2), si agafem la quinta fila (deixem de banda el primer 1 solitari) i ens anem fins al tercer nombre, obtenim el valor de 6. El mateix resultat que utilitzant-hi la nostra fòrmula.



F: Per què has assenyalat el tercer nombre de la cinquena fila, i no el segon nombre de la quarta fila?

V: Perquè el vértex del triangle correspon al coeficient binomial (0 0). I, a cada línia n, el primer nombre representa la combinació (n 0). Així, a la nostra cinquena línia (4 0) és igual a 1, (4 1) és igual a 4, (4 2) és igual a 6, i així succesivament. Comprès?

F: Sí. Abans no vaig pensar en el número 0.

V: Ara farem el mateix amb el (7 2) i amb el (7 5). Pots comprobar que els nombres formen un preciós triangle, de forma pareguda als retalls del diari.



F: I com el triangle és simètric, ara entenc per què (7 2) és igual que (7 5).

V: Fantàstic. Ara només ens queda assenyalar el nombre que es troba al centre geomètric del triangule que hem format, que és just el lloc on el punyal travessava els retalls. I obtenim el número 20. 20.



F: A quin jugador correspon aquest nombre? Que el portin aquí inmediatament! – Va cridar l’inspector Larry Flanagan.

Es tractava de Vladimiric. La policia no va trigar molt en trobar-li dins de l’estadi, i el va acostar fins al vestidor.



Allà Vladimiric va confesar el seu crim. Era amic de Drakulic des de la infància. Des de ben petits Drakulic li havia superat en tot: tenia millor expedient acadèmic, lligava molt més, tenia més amics i jugava millor al futbol. De fet, Drakulic era el capità de la selecció de Transsilvània, i Vladimiric era suplent, amb prou feines si jugava un parell de minuts en alguns partits. Però cap d’aquests motius havia estat la causa que havia desencadenat el fatal desenllaç.

F: I llavors, per què ho has fet? – Va preguntar Larry Flanagan.

Bé, va dir Vladimiric, hi havia solament un parell d’assumptes als quals Drakulic mai m’havia superat: a les Matemàtiques i als problemes de Lògica. Al menys fins avui... Quan veníem a l’autobús des de l’hotel de concentració cap a l’estadi, vam fer una aposta sobre qui resoldria abans el sudoku del diari. I per primera vegada a la vida, Drakulic ha sigut més ràpid que jo. No vaig poder suportar-lo...



Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en menéame y divoblogger. Muchas gracias.

Cap comentari :

Publica un comentari a l'entrada

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...