Ho més nou

dimarts, 7 d’abril de 2015

El premi galàctic


La nova història de Pep Vitruvi: El premi galàctic


El llenguatge matemàtic és tan fascinant que, amb unes poques xifres, i un parell d'operacions, podem crear nombres formidables.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 6.2 Número Pi del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog La Aventura de la Ciencia.)

PRIMERA PART

L'equip de Los Angeles Galaxy guanya la Major League Soccer
Els jugadors de Los Angeles Galaxy estan molt contents. Acaben de guanyar el campionat de la Major League Soccer. 

Un cop passades les celebracions pel triomf, el president Chris Klein els ha promès una gratificació econòmica per la seva victòria:

- He vingut al vestidor a comunicar-vos que hem decidit fer-vos un present pel vostre èxit.

Us donarem tants centaus de dòlar com el nombre més gran que sigueu capaços de formar amb tres de les vostres samarretes (no valen les que tinguin dos dígits, ni tampoc s'hi val fer servir el nombre zero ni el símbol de l'infinit, és clar).

Chris Klein pensant en una divisió entre zero
Per exemple, si ajunteu les samarretes amb els nombres 5, 2 i 7, us regalarem 527 centaus de dòlar.

- Per a cada un?

- Oh, no! El nostre pressupost no és tan elevat. Seran 5,27 dòlars per a tots, per que els repartiu entre vosaltres com vulgueu.

- Podem repetir xifres?

- No, no s'hi val utilitzar tres samarretes del mateix jugador.

- I podem utilitzar símbols matemàtics?

Chris Klein pensant en una multiplicació
- Bé, d'acord. Sempre i quan no els hi repetiu, i si ho feu haurà d'èsser en substitució d'una xifra. Això és, si utilitzeu per exemple el signe més, llavors haureu d'eliminar un nombre i només podreu utilitzar-ne dos: 5 + 9.

- Així que per cada signe que fem servir haurem d'utilitzar una xifra menys, no?

- Sí, això és.

- I quan hem de donar-te la resposta?

- Doncs demà mateix. El desig del club és que pogueu gaudir ho més aviat possible de la vostra merescuda recompensa...

- D'acord. Demà et diem alguna cosa.

Els jugadors acorden reunir-se al vespre, després de l'entrenament, per veure quina serà la xifra que demanaran al club.

Pep Vitruvi a Hollywood

A més, han trucat a Pep Vitruvi, que está de vacances per la costa oest, per que els hi ajudi amb el problema.





Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo


SEGONA PART

Skyline de Los Angeles
Arriba el vespre, i els futbolistes es reuneixen a l'últim pis d'un gratacels de la ciutat de Los Angeles.

- Bé, doncs, anem a veure què fem.

- Per descomptat, si utilitzem només xifres, és clar que el nombre més alt serà el 987. Així obtindrem 987 centaus, és a dir, 9,87 dòlars. Tota una fortuna, a repartir entre tots nosaltres!

- Sí. A més, sembla que si utilitzem símbols matemàtics, l'únic que farem serà perdre diners.

- Del signe menys millor ens oblidem. Si l'emprem, tans sols ens hi servirà per obtenir menys centaus. La millor opció, sense poder fer servir el zero, seria 9 - 1 = 8 centaus. 

Signes matemàtics bàsics


- Pel que fa al signe més, tampoc ens és de gran ajuda. Partint del nostre nombre elegit, si substituïm qualsevulla de les xifres pel signe més, sens dubte perdrem bastants diners. En el millor dels casos, tindrem 9 + 8 = 17 centaus, molt lluny dels 987 inicials.

- Dons amb el signe de la multiplicació (al qual representarem amb un punt central) tampoc aconseguim millorar el nostre premi. En aquest cas, d'entre tots els productes possibles, el més beneficiós seria 9·8 = 72 centaus. Seguim molt lluny dels 987 centaus.

Samarretes amb els números 9, 8 i 7

- Evidentment, si introduïm el signe de la divisió, tampoc aconseguirem res positiu, per no parlar-ne de l'arrel quadrada...

Pep Vitruvi amb barret vaquer- No parlem més, demanarem 987 centaus, i assumpte arreglat!

- Et sembla bé, Pep? Has estat molt callat durant les nostres discussions...

- No, el que passa és que els vostres arguments eran tots correctes, llevat de la decisió final que heu pres.

- Per què?

- Crec que us heu oblidat d'una operació que pot resultar molt profitosa: la potenciació. Es tracta d'un cas particular de la multiplicació en què un dels nombres (l' exponent) indica els cops que s'ha de multiplicar l'altre nombre (la base) per si mateix.

Així, tenim per exemple 93, que vol dir 9·9·9 = 729.

L'únic que hem de fer és col·locar uns nombres a una alçada diferent dels altres.

Encara que això no ha estat sempre així. Tant els babilonis, com els grecs (especialment Diofant), els àrabs, o els matemàtics medievals van utilitzar diversos símbols i paraules per descriure els quadrats, els cubs, i les restants potències d'un nombre.

Michael Stifel, en la seva ‘Integra Arithmetica’ de 1544 va introduir el concepte d'exponent. James Hume, en 1636, va decidir situar l'exponent en una línia superior a la de la base, encara que utilitzava nombres romans per designar-los. I finalment Descartes, en la seva obra ‘Géométrie’ va substituir els incòmodes nombres romans pels indoaràbics.

Així que, gràcies a Descartes, aquesta operació ens sortirà gratis, ja que no hem d'emprar cap caràcter addicional que ens obligui a suprimir una de les xifres. El problema que tenim ara és veure com situem els diferents dígits de la forma més favorable.

Diferents poténcies que es poden formar amb els nombre 9, 8 i 7

Com podeu veure, he eliminat algunes combinacions. Per exemple, sabem que 897 ha d'èsser més petit que 987, així que no ho calcularem.
Calculadora científica
- Pep, jo en tinc una calculadora científica a la motxilla.

- Sí, i jo em vaig descarregar una aplicació de càlcul pel mòbil. Podríem utilitzar-la.

- Em penso que no serviran cap de les dues. Tots dos dispositius es bloquejaran amb els càlculs.

- De fet, hi ha nombroses pàgines a l'internet que ofereixen serveis de càlcul per a nombres enormes, què tampoc serien capaços de realitzar alguns d'aquests càlculs. Encara que n'hi ha un que no falla. Es tracta de la pàgina HyperCalc JavaScript. La utilitzarem per veure els resultats de las diferents opcions.

Poténcies senzilles amb resultats enormes

Ara anem amb la fila de sota de la meva taula de possibles combinacions: 987978897879798789. En aquest cas, cada combinació de nombres podem calcular-la de 2 formes diferents. Si agafem el nombre 987, podem calcular primerament 9i elevar el resultat a 7, o bé calcular primer 8i elevar 9 al resultat que obtinguem.

Anem a veure els diferents resultats:

Poténcies senzilles amb resultats enormes

Pep Vitruvi vestit de sheriff- Doncs, a la vista de tot això, la xifra més alta la formem amb la combinació 7(89). Així que li demanarem al club 789 dòlars.

- Decidit! Ja podem anar-nos!

- No correu tant, forasters! Encara ens queda quelcom a fer.  

- A què et refereixes?

- Bé, em sembla que us oblideu d'un altre símbol aritmètic.

- Ah, sí? No se m'acut quin.

- Bé. Hi ha un signe que a més d'un li causarà admiració... Es tracta del signe: 

Signe d'admiració o d'exclamació


- Això també és un signe matemàtic? I per a què serveix?

- És el signe que representa el factorial d'un nombre. Els nombres factorials consisteixen en el producte de tots els nombres enters positius des de l'1 fins al nombre indicat.

Així, el factorial de 5, que s'escriu 5! serà el producte dels cinc primers nombres enters: 

5! = 1·2·3·4·5 = 120

I el factorial de 9 serà:

9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362.880

- És clar per a què serveixen els signes de sumar o de multiplicar. Però, per a què serveixen aquests nombres factorials?

- Doncs s'han utilitzat des de fa molt de temps, sobre tot en combinatòria i en anàlisi matemàtica. Els matemàtics hindús ja els empraven al segle XII. I serveixen, per exemple, per calcular el nombre de formes diferents que hi ha d'ordenar diferents objectes.

Jugadors sortint al terreny de joc d'un en un
Per exemple, si volem saber de quantes formes distintes podeu sortir al camp de futbol els 11 jugadors d'un equip (sortint d'un en un, no en parelles, i suposant que sempre són titulars els mateixos 11 jugadors), tindrem un total de:

11! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11 = 39.916.800 formes diferents de sortir a l'estadi.

O sigui, que si cada dues hores jugueu un partit, i no descanseu durant les 24 hores del dia, podrieu estar més de 9.107 anys jugant al futbol sense repetir l'ordre de sortida al terreny de joc.

- Caram!

- I per què es representen els nombres factorials amb el signe d'exclamació?

Christian Kramp i el símbol factorial
- Bé, la primera persona a qui se li va ocórrer utilitzar aquest signe va ser Christian Kramp en 1808. Es tractava d'un professor de matemàtiques d'Estrasburg que va realitzar un estudi a fons sobre els nombres factorials. Al principi utilitzava un símbol amb forma d'angle recte, que situava a la cantonada inferior dreta del nombre.

Però tenia problemes amb la impremta, així que per a l'edició del seu llibre Elements d'arithmétique universelle, decidí utilitzar el signe d'admiració a continuació de la xifra.

El que no està clar és per què va escollir precisament aquest signe, que serveix per expressar alegria. El símbol ve de la paraula llatina iocundum, que significa agradable, alegre, plaent. Primer es va abreujar el mot (io), que es va convertir en una exclamació d'alegria, i en un segòn pas la 'I' majúscula es va ficar a sobre de la 'o' minúscula, i així es va obtenir el símbol, com a signe d'admiració.

La paraula llatina iocundum i el signe d'admiració

Potser la relació entre el símbol i la funció factorial sigui l'admiració que aquesta causa entre la gent quan calculem el resultat de l'operació. I si no, fixeu-vos en el que passa si canviem un dels nostres nombres, el 7, per un signe d'admiració:

98! = 9,4268 · 10153

Això és, un nombre de 154 dígits!

Factorial de 98

- Sí, es una xifra molt gran. Però recordo que amb la potenciació vam obtenir una quantitat molt més gran:

789 = 7,3785 · 10113.427.138 > 98! = 9,4268 · 10153

- Llavors ja ho tenim clar. Ens quedarem amb el 789O tens alguna sorpresa més per a nosaltres, Pep?

- Doncs sí, encara ens queda combinar ambdues operacions per tractar d'obtenir el nombre més alt possible.

Si volem complir amb les condicions imposades, sembla que n'hi han sis possibles combinacions. Però em resulta veritablement difícil decidir-me per una d'elles.

Combinacions possibles de factorials i potències

No sé pas si serà millor posar el dígit més gran a la base o a l'exponent:

23 (8) < 32 (9)     però     34 (81) > 43 (64)

I tampoc sé si serà millor col·locar el factorial a la base o a l'exponent:

2!3 (8) < 23! (64)     pero     3!2 (36) > 32! (9)

Haurem de recórrer de nou a la nostra pàgina d' HyperCalc JavaScript i calcular-hi els resultats:
Les millors combinacions possibles de potències i factorials

- Crec que finalment ens decantarem per l'opció de 89! abans que la de 789 


89! = 1,7828 · 101.032.606.169 > 789 = 7,3785 · 10113.427.138

- Sembla que es tracta d'una quantitat prou gran de centaus, però de segur que no representarà cap problema per a Los Angeles Galaxy, oi?

Samarretes amb els nombres 8 i 9, i el signe d'admiració


- Penso que sí serà un problema. Sou conscients del que significa aquesta xifra?

- Bé…

- Es tracta d'un nombre de més de 1.032 milions de dígits.

- Tampoc és tan gran, oi?

- Sap quants àtoms hi han a l'univers?  Uns 1087, això és, un 1 seguit de 88 zeros.

- Bé, tampoc hi ha tanta diferència entre el dos nombres. Tan sols unes quantes xifres més a l'exponent.

Comparació entre xifres elevades

- La veritat és que amb les notacions científiques hom perd una mica la proporció i la magnitut dels nombres. Per a iniciar-se'n en el tema, hi ha una magnífica pàgina que l'explica molt bé: L'escala de l'univers.

Fixeu-vos: s'estima que el volum d'un electró és de 9,36×10−44 m3, i que el volum de l'univers és de 7·1081 m3. Doncs bé, si omplíssim completament l'univers d'electrons, la xifra d'aquests seria de 7,4786 · 10124. Això sempre que no deixéssim cap espai entre ells, lo qual no sembla possible degut a les lleis del empaquetament d'esferes

Univers ple d'electrons

Ara imagineu-vos que tot l'univers, ple així d'electrons, el comprimíssim a la mida d'un electró, i tornéssim a omplir un univers igual que el nostre d'aquests petits 'universos' plens d'electrons.

I que repetíssim aquest procés 8 milions de vegades. L'univers final, ple de petits universos, plens de petits universos, plens de petits universos….(8 milions de vegades)… plens de petits universos plens d'electrons contindria tants electrons com centaus us hauria de donar el club.

Universos d'universos d'universos... plens d'electrons

- Doncs sí que sembla una quantitat molt gran. Potser hauriem de triar una de les altres combinacions de xifres, que sí pugui assumir el club…

- Bé, s'estima que els diners que circulen en tot el món són uns 80 bilions de dòlars (1012 $). Així que ja sabéu quin és el límit superior de la vostra petició.

El somriure dels joves aficionats
I el límit inferior crec que també el coneixeu: quan entrava a l'edifici he vist un munt de petits aficionats que s'han congregat a la porta perquè sabien que us havíeu reunit aquí, i m'han demanat que us digués que si els hi podeu signar uns autògrafs.

- Doncs sí, potser serà millor que ens oblidem de fer més comptes, doncs ja tenim prou recompensa amb la que obtindrem pel somriure d'aquests nois. Crec que la nostra satisfacció i la dels nois també la podriem calcular en forma de potència, veritat Pep?

Baixem ara mateix!






Si estàs interessat en aprofundir més en aquest tema, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: La historia de los símbolosCon tres cifrasBabilonia y EgiptoExponente de una potenciaLa historia de los exponentesLa evolución del simbolismo matemático.

No us oblidéu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.






Cap comentari :

Publica un comentari

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...