Ho més nou

dissabte, 24 de gener de 2015

Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.

Un fet històric de fa 20 segles va desembocar en un problema matemàtic que encara avui dóna bastant de què parlar: el problema dels jueus. En ell es combinen els algoritmes recursius, les permutacions, l'aritmètica modular i els processos d'eliminació dels elements d'un conjunt.
Pep Vitruvi s'enfronta en Groenlàndia al seu nou repte: el joc del puisi-nanoq.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 5.X Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog ::ZTF News.)

PRIMERA PART


Escut de la Federació de Futbol de Groenlàndia i bandera del país
L'entrenadora de la selecció de Groenlàndia està molt preocupada. Aquest cap de setmana es juguen la classificació pels Jocs Olímpics de Rio de Janeiro, i té un problema molt seriós amb la seva capitana.

Existeix a l'equip la tradició de tirar a sorts qui ha de llançar els penals, entre les diferents jugadores que vulguin tirar-los.

El problema és que, des de fa un temps, tots els ha llançat la capitana, i aquesta ha fallat els últims 10 que ha tirat.

Pipaluk, la seleccionadora,  ha decidit trucar al seu amic Pep Vitruvi, per que li ajudi a resoldre aquest misteri, i així aconseguir afrontar el proper partit amb les màximes garanties.

Pep accepta la invitació de Pipaluk, i aquesta el rep a l'aeroport de Nuuk.

Pep Vitruvi a la seva arribada a l'aeroport de Nuuk

- Hola Pep, estic encantada de que hagis vingut a ajudar-me.

- No és res. Digues quin és el problema.

- Serà millor que ho vegis per tu mateix. Et convido a l'entrenament de demà.

- D'acord, allà ens veiem.
Jugadores de futbol formant un cercle
L'endemà, Pep acudeix a l'estadi, i observa la curiosa forma d'elegir a la persona que llançarà el penal.

- Què és això que fan quan han de llançar un penal? Per què es posen totes en cercle?

- És la seva forma de triar quina d'elles ho llançarà: fan el joc del puisi-nanoq (que significa foca-óssa en groenlandès).

- I això què és?

- Doncs es col·loquen totes les jugadores dispostes a xutar el penal en un cercle, i es van eliminant de la següent forma. Comencen a comptar des d'una d'elles, dient: puisi-nanoq-puisi-nanoq... (foca-óssa-foca-óssa...) I totes a les quals les hi toca l'óssa, queden eliminades. La darrera ‘foca’ serà qui tiri el penal.

- Com dius?
puisi - foca en groenlandèsnanoq - óssa en groenlandès

- Sí, és molt senzill, aquí es juga des de la llar d'infants. Es comença a comptar des d'una d'elles (li assignarem el número 1), de manera que aquesta primera jugadora, a qui li correspon una foca, es queda al cercle, i la segona (óssa) és eliminada. La tercera (foca) es queda en el cercle, i la quarta (óssa) és eliminada. I així van fent, eliminant una jugadora de cada dos, i cada cop es va estrenyent més el cercle, fins que només queda una, que serà qui tiri el penal.

Les jugadores a les que li correspon l'óssa queden eliminades

Se segueix amb les eliminacions fins que només quedi una jugadora
- Doncs no veig on és el problema. Els tres penals que han llançat els ha tirat una jugadora diferent. Segons he vist, varia el nombre de jugadores que s'ofereixen a llançar el penal cada cop. I a més, cada vegada s'ordenen de manera diferent en formar el cercle, i comencen a comptar per una jugadora diferent.

- Sí, així és als entrenaments. Però als partits oficials, la capitana té el dret de ser ella qui faci el recompte, i de començar per la jugadora que ella vulgui. I curiosament, en les 10 últimes ocasions sempre ha estat ella l'elegida per a llançar els penals.

- Això no seria un problema si els llancés bé. Però és la pitjor de totes en aquest aspecte del joc, i ja hem perdut alguns partits per aquest motiu. El dissabte ens juguem la classificació per les Olimpiades, i no vull que ens passi el mateix. Ella diu que no fa trampes, que tot es deu a la sort. És realment així, Pep?


Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo


SEGONA PART

Bust de Flavio Josefo
- Una pregunta, Pipaluk: la capitana és matemàtica?

- No. És llicenciada en Història per la Universitat de Nuuk.

- Bé, això també explicaria la seva habilitat. Segurament que coneix la història de Flavi Josep.

- Qui és aquest?

- Bé, es tracta d'una història molt antiga, del segle I d.C., quan Roma dominava tota la Mediterrània. Els jueus s'havien revoltat contra l'imperi, però l'exèrcit romà era molt poderós.

Extensió de l'Imperi Romà al segle I d.C.

- Al capdavant de l'exèrcit de Galilea estava Flavi Josep, que era descendent d'una família de sacerdots lligada a la monarquia d'Israel. Portaven uns mesos defensant-se de les legions romanes a la fortalesa inexpugnable de Jotapata, però ja no podien resistir més el cèrcol romà.

Gravat del setge de Jotapata

- En veure que havien de ser capturats, van decidir suïcidar-se abans de ser presos per l'exèrcit enemic. Però com la llei jueva els prohibia el suïcidi, van adoptar un curiòs procediment per dur a terme el seu propòsit, que es coneix en Matemàtiques i Ciències de la Computación com el problema dels jueus.

- Els 41 soldats jueus que encara quedaven vius van formar un cercle, igual que fan les teves jugadores. En el seu cas, anaven comptant de 3 en 3, de forma que al soldat assenyalat en tercer lloc li matava el company a la seva dreta. I així van seguir comptant fins que només va quedar Flavi Josep, el qual sí havia de suïcidar-se, segons  havien acordat. Però no ho va fer, sinò que es va lliurar a les tropes romanes.

Bustos de Flavi Josep i Vespasià davant del Coliseu Romà
- Va ser enviat a Roma com a esclau de la família imperial Flàvia, de la qual va adoptar el seu nom. Gràcies a la seva formació acadèmica i a les seves dots diplomàtics, fou finalment alliberat per l'emperador Vespasià, desenvolupant una àmplia labor a Roma com a historiador i literat. Entre les seves obres, trobem la narració d'aquest succés que va marcar la seva vida.

- Hi ha qui pensa que es va salvar per casualitat, o gràcies a la Divina Providència, como ell afirmava, però sembla evident que sabia on s'havia de col·locar per lliurar-se del fatal desenllaç.

- I això mateix és el que passa amb la teva capitana. Ella és qui va comptamt qui se salva i qui s'elimina. Així que sap molt bé com fer per ser ella qui tiri el penal.

- Sí, però ella és la primera en col·locar-se al cercle. No sap pas com es col.locaran la resta de jugadores, ni quantes seràn.

- És veritat, però també es qui decideix per on començar a comptar. I aquí està el truc. Ella sap en quina posició ha de situar-se respecte a la primera jugadora en què comença a comptar, per així ser l'última eliminada.

- Ah! I com ho fa?

- T'ho explicaré amb un grup de 6 jugadores. Les posarem un nombre, començant per la de dalt, i seguint l'ordre de les agulles del rellotge.
Es comença des de la jugadora de dalt, i es van eliminant les jugadores a les quals les correspon una óssa

- I ara anem a jugar al vostre joc del foca-óssa-foca-óssa. Comencem per la jugadora número 1, a la qual li correspon una foca. A la 2 li correspon una óssa, i l'eliminem. A la 3 li toca la foca, i la 4 és óssa i queda també eliminada.

- Ja només queden 4 jugadores en el cercle. Continuem amb la 5 (foca), que se salva, i eliminem a la número 6 (óssa). Seguim donant la volta, de forma que a la 1 li correspon un altre cop la foca. La 3 és óssa, així que l'eliminem. La 5 és foca, i es lliura, i ara la 1 és óssa i queda eliminada. Serà la número 5 qui llanci el penal.

- Ja sabem que amb 6 jugadores, l'elegida serà la número 5. Si seguim aquest procediment amb diferents quantitats de jugadores, tindrem els següents resultats:

Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2

- Ara ho entenc, el que ha fet la capitana ha estat aprendre tota aquesta seqüència de nombres, per saber en quina posició s'ha de col·locar en funció de la quantitat de jugadores que formen el cercle, oi?

- Pot ser, encara que no cal aprendre'ls de memòria. Podem trobar una fòrmula.

- I com seria?

-Si ens fixem en la taula, veurem que quan el nombre de jugadores és potència de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32), la jugadora que se salva és la número 1, és a dir, la jugadora per qui comencem el joc.

Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2

- Doncs sí, és veritat.

- Això és fàcil d'entendre si l'analitzem una mica. Posem que tenim 16 jugadores (16 és potència de 2: 24 = 16).
Cercle amb 16 jugadores

- En la primera volta al cercle, s'eliminaran totes les jugadores que ocupin posicions parelles, i ens quedaran la meitat de les jugadores.


Primera volta d'eliminacions

- Seguim amb el joc, i novament s'eliminen totes les que ocupen posicions parelles en la segona volta.


Segona volta d'eliminacions

- Donem la tercera volta al cercle, i novament la número 1 es lliura de l'eliminació. I finalment, quan resten solament 2 jugadores (la número 1 i la número 9), també s'elimina la segona. Així que la número 1 se salva en totes les voltes. I això passarà sempre que el nombre de jugadores sigui potència de 2, perquè desprès de cada volta sempre queden un nombre parell de jugadores.


Tercera i última volta d'eliminacions

- Sí, però què fem quan no és potència de 2?

- Llavors hem de tenir l'habilitat de calcular les jugadores que hem d'eliminar fins que quedin un nombre que sigui potència de 2, de tal forma que en aqueix moment ens hi trobem just al lloc que ocuparia el número 1 d'aquest nou cercle que es forma desprès d'eliminar a la darrera de les jugadores que excedeixen de la potència de 2.

- Com dius?

- Suposem que n'hi han 11 jugadores en comptes de 8. Hem d'aconseguir estar en la posició número 1 quan quedin només 8, per així poder aplicar el mètode que hem vist abans, ja que 8 és potència de 2 (23 = 8).

- Així que hem de comptar cap enrere des de la nostra posició, de forma que hi hagin 3 'ósses' abans que nosaltres. I d'aquesta manera obtenim que hem de colocar-nos en la posició número 7, perquè així ocupem la posició número 1 del nou cercle de 8 jugadores que es forma després de les tres primeres eliminacions del grup d'11.
Comptem 3 ósses cap enrere des de la posició número 1

- Si volem generalitzar el procediment, haurem de tenir en compte el nombre total de jugadores, que anomenarem n (en el nostre cas 11). Desprès calcularem en quina quantitat k excedeix aqueste nombre de la potència de 2 immediatament inferior:

k = n - 2m, sent m un nombre natural possitiu tal que 2m < n < 2m+1

(al nostre exemple k = 11 - 23 = 3, ja que 23 < 11 < 24)

- I la nostra posició òptima (p) en el cercle la calcularem amb la fòrmula:

p = 2 · k + 1

(al nostre cas p = 2 · 3 + 1 = 7)

- I això és el que fa la teva capitana, situar-s'hi al setè lloc del cercle. O el que és el mateix, començar a comptar per la setena jugadora que queda a la seva dreta.

- I no n'hi ha una forma més fàcil de calcular on deu colocar-se?

- Sí, si coneixes bé el sistema binari. Només heu de convertir en binari el nombre de persones que integren el cercle. Llavors tresllades el primer un a l'últim lloc de la xifra en binari, i tornes a convertir el número resultant al sistema decimal. I així obtenim el lloc al que t'has de ficar per ser el guanyador.

- Per exemple, per a 21 persones, el lloc òptim és l'onzè, com pots veure:

Solució binària pel problema de Flavi Josep

- Ja ho entenc. I, com podríem evitar-lo? I si en comptes d'eliminar-se amb salts de 2 en 2, ho fan de 3 en 3 (foca-foca-óssa-foca-foca-óssa...), o amb qualsevol altre nombre?

Taula de jugadores guanyadores amb salts de 3 en 3


- És ho mateix, encara que amb nombres més alts resulta més complicat el seu càlcul, almenys amb el cap. Amb un ordinador a mà, podem veure la solució en diverses pàgines com aquesta o aquesta altra.

- I tampoc serviria de res encarregar-li la feina a una altra jugadora, perquè en un temps també aprendria l'algoritme.

- Doncs només us resta canviar el sistema d'elecció. Podrieu triar a la jugadora que tingui la millor estadística de penals marcats, malgrat que això també pot generar polèmiques i paradoxes, com passava en la història: I ara, qui llança el penal?


- No, això mai. El joc de la foca-óssa és tota una institució a la nostra terra.

Foca i óssa de Groenlàndia

- Crec que hi ha una solució. I és la següent:

- Després de fer la primera parella foca-óssa, de manera que la capitana pugui eliminar a la persona que pitjor els llança, després mirarà el nombre que té la jugadora a la seva esquena, i utilitzarà aquest número de dorsal per arribar a la següent ‘óssa’ a eliminar. Així, si és un 5, haurà de comptar foca-foca-foca-foca-óssa.

- Si la següent eliminada porta el número 7, contarà sis foques i una óssa, i així. D'aquesta forma li resultarà gairebé impossible esbrinar qui serà la darrera foca, encara que el joc estigui determinat des de la primera elecció.


Cercant la guanyadora amb salts en funció del dorsal

- Però, i si és capaç de calcular mentalment i de forma ràpida qui serà l'última, ja que coneix els dorsals de totes les jugadores?

- Tot i aixó, moltes vegades li serà impossible trobar una combinació guanyadora que li permiti ser ella la darrera.

- Suposem, per exemple, que en el cercle es col·loquen les jugadores amb els dorsals 5, 6, 7, 8 i 9, en aquest mateix ordre, i que la capitana té el número 5, vegem què passaria amb el nostre joc amb les noves regles que hem imposat.

Taula de jugadores guanyadores amb salts en funció del dorsal i de la primera eliminada

- Podem comprovar que la guanyadora final depen de qui s'elimini en primer lloc, però que en cap dels casos quedaran últimes la dorsal número 5 ni la número 7, i que no obstant això, les jugadores 6 i 9 comptaran amb més probabilitats de ser les elegides.

- Doncs m'agrada força aquesta variant que has inventat. Segurament que amb ella evitarem a la fi que la capitana llanci sempre els penals, i així podrem arribar als Jocs Olímpics. Moltes gràcies pel teu ajut, Pep.
Cerimònia inaugural dels Jocs Olímpics de Rio de Janeiro

- Estic segur de que ho aconseguiréu, Pipaluk. Bona sort amb la classificació!






No us oblidéu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.

A més, si se t'ocorreix una altra forma de jugar al puisi-nanoq en la què la capitana no puguir elegir per avançat qui serà la guanyadora, la pots compartir escrivint un comentari més avall.

I si t'ha agradat aquesta història, pots compartir-la en alguna de les següents arrels sociales (no cal que ho feu en totes, només en quatre o cinc d'elles;-)




Cap comentari :

Publica un comentari

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...