tag:blogger.com,1999:blog-55023989367657271192024-03-19T02:13:55.014-07:00Matifutbol Matemàtiques divertides: jocs lógics, estadístiques, probabilitats, geometria, aritmètica, paradoxes... I una mica de futbol.
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.comBlogger22125tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-4351987451295362202016-08-30T08:51:00.003-07:002016-08-31T14:23:19.609-07:00Índex d'històries<div align="center">
<div style="text-align: justify; width: 670px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhF-AlRzF6oKTdSSfzl5yFcV6HXVUjetwcyPZLrtsFGhUudtjD97k8y1EsNFO69VRsQ82pbkIqg-d_B1fZw6j9dc0NPfCRuIIMHwiT7nsfL278wIiBM5HjSoVD0KmE1ed_au4iEx4sK9Ag/s1600/150+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhF-AlRzF6oKTdSSfzl5yFcV6HXVUjetwcyPZLrtsFGhUudtjD97k8y1EsNFO69VRsQ82pbkIqg-d_B1fZw6j9dc0NPfCRuIIMHwiT7nsfL278wIiBM5HjSoVD0KmE1ed_au4iEx4sK9Ag/s200/150+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" width="98" /></a>Moltes <b><span style="color: #741b47; font-size: 140%;">gràcies</span></b> per visitar aquest blog!<br />
<br />
Aquí hi trobaràs problemes de <span style="color: red; font-family: "helvetica neue" , "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 140%;"><b><i>matemàtiques</i></b></span> al món del <b><span style="color: #274e13; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; font-size: 140%;">futbol</span></b>. N'estic segur que t'ho pasaràs bé pensant cóm resoldre'ls, abans de veure la solució.<br />
<br />
Per quin d'ells vols començar?<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMKAQSEGhvPV5fKyaF5aOHgkHYif_2oJjEUWG4i-YaHMWBl5r487QCrbafb7u39kSK_D6MZBXSFxTNke-VERueYZVBswesbDOAvLxa99VcVKiUkRYxjDsuApIoXXDKfSm5_jQYMCksssA/s1600/new-27864_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="164" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMKAQSEGhvPV5fKyaF5aOHgkHYif_2oJjEUWG4i-YaHMWBl5r487QCrbafb7u39kSK_D6MZBXSFxTNke-VERueYZVBswesbDOAvLxa99VcVKiUkRYxjDsuApIoXXDKfSm5_jQYMCksssA/s1600/new-27864_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Darreres entrades
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/09/sabotatge-botiga.html" target="_blank">Sabotatge a les botigues</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">La pregunta incòmoda</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">El premi galáctic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/12/tarja-felicitacio-matematica.html" target="_blank">Una tarja de felicitació molt especial</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/10/halloween-matematic-nombres-vampir.html" target="_blank">Halloween matemàtic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/assassi-matematic-combinatoria-triangle-pascal.html" target="_blank" title="L'assassí matemàtic. Combinatòria, triangle de Pascal">L'assassí matemàtic.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/arbres-binaris-matematics-topologia-arboria.html" target="_blank" title="Arbres i googols al Mundial 2014. Arbres binaris, topologia arbória, Wedderburn-Etherington">Arbres i googols al Mundial 2014.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/03/probabilitat-paradoxa-dos-sobres-canvi.html" target="_blank" title="La probabilitat i la sortida del sol. La paradoxa dels dos sobres, teoria de la parada òptima, presa de decisions.">La probabilitat i la sortida del sol.</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ1Lpvkqzl2nQz78wdZJ9Z21c7OnLMkyZIOhfY9jkrxLNpciJl_AEhDE9FTXZv0Ur-w-u6XYKAPv5g9iT1QpCHf-JIxx3vCmzGreXm3dvk3x5r-2CfzJQeu0tNgGYXvuGh9oseiplF-q0/s1600/eye-151331_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="110" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ1Lpvkqzl2nQz78wdZJ9Z21c7OnLMkyZIOhfY9jkrxLNpciJl_AEhDE9FTXZv0Ur-w-u6XYKAPv5g9iT1QpCHf-JIxx3vCmzGreXm3dvk3x5r-2CfzJQeu0tNgGYXvuGh9oseiplF-q0/s1600/eye-151331_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Pàgines més vistes
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">El premi galáctic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/10/halloween-matematic-nombres-vampir.html" target="_blank">Halloween matemàtic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">La pregunta incòmoda</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/assassi-matematic-combinatoria-triangle-pascal.html" target="_blank" title="L'assassí matemàtic. Combinatòria, triangle de Pascal">L'assassí matemàtic.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/08/equip-guanyara-champions.html" target="_blank">Endevins. Quin equipo guanyarà la Champions?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/triangle.cat.html" target="_blank" title="Özil i el punt de Fermat. Punts notables del triangle. Geometria.">Özil i el punt de Fermat.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/penal.html" target="_blank" title="I ara, qui llença el penal? Estadística, La paradoxa de Simpson, Gerrymandering, l'efecte Yule-Simpson.">I ara, qui llença el penal?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/guant.html" target="_blank" title="El porter d'Or. La paradoxa d'Arrow. Sistemes de votació.">El porter d'Or.</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgI9Hr46SX61Yj6TbbF5V8R_Fx33_wStatU3ZS5pJILycL4fqWuXJd3mgLUx-X2I97P9C4UQ_fjfoTgkUYJivsvutFRi4oyEU0AjZdgIDJ-5RtPw-Hi7kZfUzthmNH96PiJDAtS2i7oUDE/s1600/dice-147157_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgI9Hr46SX61Yj6TbbF5V8R_Fx33_wStatU3ZS5pJILycL4fqWuXJd3mgLUx-X2I97P9C4UQ_fjfoTgkUYJivsvutFRi4oyEU0AjZdgIDJ-5RtPw-Hi7kZfUzthmNH96PiJDAtS2i7oUDE/s1600/dice-147157_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Probabilitat
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/suplent.html" target="_blank" title="Falcao i l'oportunitat del suplent. El problema de Monty Hall, Probabilitat">Falcao i l'oportunitat del suplent.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/08/equip-guanyara-champions.html" target="_blank" title="Quin equip guanyarà la Champions League? Probabilitat, probabilitat inversa.">Quin equip guanyarà la Champions League?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/bandera.cat.html" target="_blank" title="La importància d'una bandera. Probabilitat condicionada.">La importància d'una bandera.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/euroaniversaris.html" target="_blank" title="Euroaniversaris 2012. La paradoxa dels aniversaris, probabilitat.">Euroaniversaris 2012.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/10/esmorzar-amb-matematiques.html" target="_blank" title="Esmorzar amb Matemàtiqueas. La paradoxa de l'amistat, probabilitat, mitjana i variància.">Esmorzar amb Matemàtiques.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/03/probabilitat-paradoxa-dos-sobres-canvi.html" target="_blank" title="La probabilitat i la sortida del sol. La paradoxa dels dos sobres, teoria de la parada òptima, presa de decisions.">La probabilitat i la sortida del sol.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">La pregunta incòmoda</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc_JFGpEQD9iaw9ZweI4aEM7bTw5MUyVPNEPF2M63bzj6Ld2VRVbLPHip9lFakGa2RpTWzlT9mJPi4qVLRphIe5TddTNcFJJIv-pxbqLVbV0QfTjIj0AC_l3Rg9jpyfDYoCVm9Q_cgEik/s1600/cubes-161964_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc_JFGpEQD9iaw9ZweI4aEM7bTw5MUyVPNEPF2M63bzj6Ld2VRVbLPHip9lFakGa2RpTWzlT9mJPi4qVLRphIe5TddTNcFJJIv-pxbqLVbV0QfTjIj0AC_l3Rg9jpyfDYoCVm9Q_cgEik/s1600/cubes-161964_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Geometria
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/triangle.cat.html" target="_blank" title="Özil i el punt de Fermat. Punts notables del triangle. Geometria.">Özil i el punt de Fermat.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/pilotes.html" target="_blank" title="Anem a regalar pilotes de futbol. Empaquetament compacte. Geometria.">Anem a regalar pilotes de futbol.</a></li>
</ul>
<br />
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ9ZB7VKS1W45O00aZ_wKqw6V07CGiZpSqG-eqyAQOjBEfx8tZVaRQa5EY3bhXNX_Gwovdob0N6xzSQzVoELtSIZzIA_ltjKGHYqeVNyEEWJauwtfl8MA3gFL2W-Ia91wBHhM-8LYsXGo/s1600/rubiks-cube-41382_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="198" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ9ZB7VKS1W45O00aZ_wKqw6V07CGiZpSqG-eqyAQOjBEfx8tZVaRQa5EY3bhXNX_Gwovdob0N6xzSQzVoELtSIZzIA_ltjKGHYqeVNyEEWJauwtfl8MA3gFL2W-Ia91wBHhM-8LYsXGo/s1600/rubiks-cube-41382_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Lògica
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/mentiders.html" target="_blank" title="Algú diu la veritat? Raonament lògic. La paradoxa de l'eruga i el llangardeix.">Algú diu la veritat?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" target="_blank" title="La difícil decisió de Llorente. Teorema de la parada òptima, presa de decisions, pensament lògic i estratégia">La difícil decisió de Llorente.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/09/ramats-de-cabres-i-decisions-de-grup.html" target="_blank">Ramats de cabres i decisions de grup</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/12/tarja-felicitacio-matematica.html" target="_blank">Una tarja de felicitació molt especial</a></li>
</ul>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8u0v-UcewqyohgHfC-pm9EwDJmzxCnt7B87hbThdb1REYYTM8bqtTmWSfmSogAIur35TaCSkJZzPBaowAzilg-qNGFJYOKa-fxU3nStllIcBtRuZERDvbkKjER1PRprtWiB6txaceHd4/s1600/abacus-33275_640.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="141" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8u0v-UcewqyohgHfC-pm9EwDJmzxCnt7B87hbThdb1REYYTM8bqtTmWSfmSogAIur35TaCSkJZzPBaowAzilg-qNGFJYOKa-fxU3nStllIcBtRuZERDvbkKjER1PRprtWiB6txaceHd4/s1600/abacus-33275_640.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Aritmètica
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/gespa.html" target="_blank" title="La Juventus i la gespa xinesa. Aritmètica simple, regla de tres composta, el problema dels nenúfars.">La Juventus i la gespa xinesa.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/portes.html" target="_blank" title="L'accidentada sortida de l'estadi. Progressions aritmètiques i geomètriques.">L'accidentada sortida de l'estadi.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/foratnegre.html" target="_blank" title="Un forat negre... i vermell. Forats negres matemàtics.">Un forat negre... i vermell.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/07/el-futbol-i-la-felicitat.html" target="_blank" title="El futbol i la felicitat. Nombres feliços.">El futbol i la felicitat.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/10/esmorzar-amb-matematiques.html" target="_blank" title="Esmorzar amb Matemàtiqueas. La paradoxa de l'amistat, probabilitat, mitjana i variància.">Esmorzar amb Matemàtiques.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/06/arbres-binaris-matematics-topologia-arboria.html" target="_blank" title="Arbres i googols al Mundial 2014. Arbres binaris, topologia arbória, Wedderburn-Etherington">Arbres i googols al Mundial 2014.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">El premi galáctic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/09/sabotatge-botiga.html" target="_blank">Sabotatge a les botigues</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidbl1_FKUTYR2vrcaMb1QJgiFk6Jbxn212sB9rgBPQtdzSoeMZFa5Qscm5SPSn_CHq2YAD5s20T1eXevxz0AZ156m0PVB9Mjh5a9U4FsjFMIPL6D4VMAnTwwSjQEwobIFdMsVipXd1fEM/s1600/pensamiento+lateral.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidbl1_FKUTYR2vrcaMb1QJgiFk6Jbxn212sB9rgBPQtdzSoeMZFa5Qscm5SPSn_CHq2YAD5s20T1eXevxz0AZ156m0PVB9Mjh5a9U4FsjFMIPL6D4VMAnTwwSjQEwobIFdMsVipXd1fEM/s1600/pensamiento+lateral.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Pensament lateral
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/repartimentjust.html" target="_blank" title="El problema del repartiment just. Pensament lateral.">El problema del repartiment just.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/porteria.cat.html" target="_blank" title="L'extrany entrenament de Ribéry. Pensament lateral. Pars i senars.">L'extrany entrenament de Ribéry.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/encreuaments.html" target="_blank" title="T'atreveixes a comptar? Un problema d'anada i tornada. Pensament lògics. El problema dels vaixells">T'atreveixes a comptar? Un problema d'anada i tornada.</a></li>
</ul>
<br />
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmSKgoKKb28AMxmCtyC5uLzTf0nc6YJsrbBsZuRJs6_xmHPli9MeG1NiMOcmYzAnAECB4TyMAEqZtkMDYs6FNMgF0J8pLGXtcRvDsP1tCThYND5QkutmqftcjQ612bdn7sYn40ysSQABk/s1600/2694239747_21bbdeb560_z.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmSKgoKKb28AMxmCtyC5uLzTf0nc6YJsrbBsZuRJs6_xmHPli9MeG1NiMOcmYzAnAECB4TyMAEqZtkMDYs6FNMgF0J8pLGXtcRvDsP1tCThYND5QkutmqftcjQ612bdn7sYn40ysSQABk/s1600/2694239747_21bbdeb560_z.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Nombres
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/llapis.html" target="_blank" title="El llapis fantàstic de Sir Alex Ferguson. La constant de Champernowne, Estadística.">El llapis fantàstic de Sir Alex Ferguson.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/foratnegre.html" target="_blank" title="Un forat negre... i vermell. Forats negres matemàtics.">Un forat negre... i vermell.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/07/el-futbol-i-la-felicitat.html" target="_blank" title="El futbol i la felicitat. Nombres feliços.">El futbol i la felicitat.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/06/arbres-binaris-matematics-topologia-arboria.html" target="_blank" title="Arbres i googols al Mundial 2014. Arbres binaris, topologia arbória, Wedderburn-Etherington">Arbres i googols al Mundial 2014.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/10/halloween-matematic-nombres-vampir.html" target="_blank">Halloween matemàtic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/12/tarja-felicitacio-matematica.html" target="_blank">Una tarja de felicitació molt especial</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">El premi galáctic</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7eZcGItQZZ7Qvjw9ZP28UU2J_ouUA5v_gkJrScqFR-JWcbEu7RURF0cwqOQB2HS223FllGtE3vMfWnws-XlgJ1P4H63CzsJ71X2y_c1ebhrxGf3KVGtp24sGIFct1HW8CdiiXMbAGanc/s1600/como-utilizar-google-trends.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="171" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7eZcGItQZZ7Qvjw9ZP28UU2J_ouUA5v_gkJrScqFR-JWcbEu7RURF0cwqOQB2HS223FllGtE3vMfWnws-XlgJ1P4H63CzsJ71X2y_c1ebhrxGf3KVGtp24sGIFct1HW8CdiiXMbAGanc/s1600/como-utilizar-google-trends.png" width="200" /></a><br />
<h3>
Estadística
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/penal.html" target="_blank" title="I ara, qui llença el penal? Estadística, La paradoxa de Simpson, Gerrymandering, l'efecte Yule-Simpson.">I ara, qui llença el penal?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/guant.html" target="_blank" title="El porter d'Or. La paradoxa d'Arrow. Sistemes de votació.">El porter d'Or.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/autobus.cat.html" target="_blank" title="La prodigiosa memòria de Van Bommel. Estadística, el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedi.">La prodigiosa memòria de Van Bommel.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/solidari.html" target="_blank" title="Un partit solidari. Una reflexió sobre les mitjanes aritmètiques.">Un partit solidari.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2013/06/premsa-estadistica-i-clubs-de-futbol.html" target="_blank" title="Premsa, estadístiques i partits de futbol. Paradoxes estadístiques amb números índex.">Premsa, estadístiques i partits de futbol.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/10/esmorzar-amb-matematiques.html" target="_blank" title="Esmorzar amb Matemàtiqueas. La paradoxa de l'amistat, probabilitat, mitjana i variància.">Esmorzar amb Matemàtiques.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">La pregunta incòmoda</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINu-gL-HYS2CwzWUtTSmj9gYKEQuObi8Er8aN1U0T7XFtRR7SU3to_9MYHcXmGe1Z4nJ26psf3fJsPXHyEWD3Qwl9aQNZslFAQTNROPs4IxW022JfuKnyO3FMG4hWejM_l5tWGuiGxEE/s1600/mathematics-299384_640.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINu-gL-HYS2CwzWUtTSmj9gYKEQuObi8Er8aN1U0T7XFtRR7SU3to_9MYHcXmGe1Z4nJ26psf3fJsPXHyEWD3Qwl9aQNZslFAQTNROPs4IxW022JfuKnyO3FMG4hWejM_l5tWGuiGxEE/s1600/mathematics-299384_640.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Altres matèries
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/tocs.html" target="_blank" title="Guardiola: el darrer entrenament. Pensamient lateral, el problema del pont i la llanterna.">Guardiola: el darrer entrenamen.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/06/arbres-binaris-matematics-topologia-arboria.html" target="_blank" title="Arbres i googols al Mundial 2014. Arbres binaris, topologia arbória, Wedderburn-Etherington">Arbres i googols al Mundial 2014.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/assassi-matematic-combinatoria-triangle-pascal.html" target="_blank" title="L'assassí matemàtic. Combinatòria, triangle de Pascal">L'assassí matemàtic.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/12/tarja-felicitacio-matematica.html" target="_blank">Una tarja de felicitació molt especial</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvzQPyfJDH4-94bEqplyPxrsfF6OeS9Xv7efZAp8Ye2W43qXBcXlxz5Bc8OfDQVJ7KlAil1154lh1Nx2bwjFzFV5rSz93gGQS5KZZZhe7SOqcUwtdxkqR8R_FrH0ewKlZXfK3qQWwcQvM/s1600/fractals-65831_640.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvzQPyfJDH4-94bEqplyPxrsfF6OeS9Xv7efZAp8Ye2W43qXBcXlxz5Bc8OfDQVJ7KlAil1154lh1Nx2bwjFzFV5rSz93gGQS5KZZZhe7SOqcUwtdxkqR8R_FrH0ewKlZXfK3qQWwcQvM/s1600/fractals-65831_640.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Llistat de totes les històries publicades
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/triangle.cat.html" target="_blank" title="Özil i el punt de Fermat. Punts notables del triangle. Geometria.">Özil i el punt de Fermat.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/penal.html" target="_blank" title="I ara, qui llença el penal? Estadística, La paradoxa de Simpson, Gerrymandering, l'efecte Yule-Simpson.">I ara, qui llença el penal?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/guant.html" target="_blank" title="El porter d'Or. La paradoxa d'Arrow. Sistemes de votació.">El porter d'Or.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/mentiders.html" target="_blank" title="Algú diu la veritat? Raonament lògic. La paradoxa de l'eruga i el llangardeix.">Algú diu la veritat?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" target="_blank" title="La difícil decisió de Llorente. Teorema de la parada òptima, presa de decisions, pensament lògic i estratégia">Llorente's hard decision.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/suplent.html" target="_blank" title="Falcao i l'oportunitat del suplent. El problema de Monty Hall, Probabilitat">Falcao i l'oportunitat del suplent.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/08/equip-guanyara-champions.html" target="_blank" title="Quin equip guanyarà la Champions League? Probabilitat, probabilitat inversa.">Quin equip guanyarà la Champions League?</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/bandera.cat.html" target="_blank" title="La importància d'una bandera. Probabilitat condicionada.">La importància d'una bandera.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/euroaniversaris.html" target="_blank" title="Euroaniversaris 2012. La paradoxa dels aniversaris, probabilitat.">Euroaniversaris 2012.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/gespa.html" target="_blank" title="La Juventus i la gespa xinesa. Aritmètica simple, regla de tres composta, el problema dels nenúfars.">La Juventus i la gespa xinesa.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/portes.html" target="_blank" title="L'accidentada sortida de l'estadi. Progressions aritmètiques i geomètriques.">L'accidentada sortida de l'estadi.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/autobus.cat.html" target="_blank" title="La prodigiosa memòria de Van Bommel. Estadística, el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedi.">La prodigiosa memòria de Van Bommel.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/solidari.html" target="_blank" title="Un partit solidari. Una reflexió sobre les mitjanes aritmètiques.">Un partit solidari.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/porteria.cat.html" target="_blank" title="L'extrany entrenament de Ribéry. Pensament lateral. Pars i senars.">L'extrany entrenament de Ribéry.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/encreuaments.html" target="_blank" title="T'atreveixes a comptar? Un problema d'anada i tornada. Pensament lògics. El problema dels vaixells">T'atreveixes a comptar? Un problema d'anada i tornada.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/llapis.html" target="_blank" title="El llapis fantàstic de Sir Alex Ferguson. La constant de Champernowne, Estadística.">El llapis fantàstic de Sir Alex Ferguson.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/tocs.html" target="_blank" title="Guardiola: el darrer entrenament. Pensamient lateral, el problema del pont i la llanterna.">Guardiola: el darrer entrenamen.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/repartimentjust.html" target="_blank" title="El problema del repartiment just. Pensament lateral.">El problema del repartiment just.</a></li>
<li><a href="http://www.matifutbol.com/ca/pilotes.html" target="_blank" title="Anem a regalar pilotes de futbol. Empaquetament compacte. Geometria.">Anem a regalar pilotes de futbol.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2013/06/premsa-estadistica-i-clubs-de-futbol.html" target="_blank" title="Premsa, estadístiques i partits de futbol. Paradoxes estadístiques amb números índex.">Premsa, estadístiques i partits de futbol.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2013/07/el-futbol-i-la-felicitat.html" target="_blank" title="El futbol i la felicitat. Nombres feliços.">El futbol i la felicitat.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2013/08/ramats-de-cabres-i-decisions-de-grup.html" target="_blank" title="Ramats de cabres i decisions de grupo. Lògica. Pensament de grup. Votacions. Paradoxa d'Abilene.">Ramats de cabres i decisions de grup.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/03/probabilitat-paradoxa-dos-sobres-canvi.html" target="_blank" title="La probabilitat i la sortida del sol. La paradoxa dels dos sobres, teoria de la parada òptima, presa de decisions.">La probabilitat i la sortida del sol.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/arbres-binaris-matematics-topologia-arboria.html" target="_blank" title="Arbres i googols al Mundial 2014. Arbres binaris, topologia arbória, Wedderburn-Etherington">Arbres i googols al Mundial 2014.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/06/assassi-matematic-combinatoria-triangle-pascal.html" target="_blank" title="L'assassí matemàtic. Combinatòria, triangle de Pascal">L'assassí matemàticr.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/10/halloween-matematic-nombres-vampir.html" target="_blank">Halloween matemàtic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2014/12/tarja-felicitacio-matematica.html" target="_blank">Una tarja de felicitació molt especial</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">El premi galáctic</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">La pregunta incòmoda</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com/2015/09/sabotatge-botiga.html" target="_blank">Sabotatge a les botigues</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn-QMXqaXMPQDHmfasg0boTagnLq-CJwtClfQRz6arYrxxnPYETW-COVIh8syhgMREtfCoDIHBgD5v7odbxA21Z2Wt7szkwoqtsCXpKTWBQY8ea75YoaxpFqwJv31K-QHa-NBQjBvuttw/s1600/ball-142738_640.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="141" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn-QMXqaXMPQDHmfasg0boTagnLq-CJwtClfQRz6arYrxxnPYETW-COVIh8syhgMREtfCoDIHBgD5v7odbxA21Z2Wt7szkwoqtsCXpKTWBQY8ea75YoaxpFqwJv31K-QHa-NBQjBvuttw/s1600/ball-142738_640.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Altres pàgines que t'agradarà visitar
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank" title="Carnaval de Matemáticas">Carnaval de Matemáticas</a></li>
<li><a href="http://cifrasyteclas.com/" target="_blank" title="Cifras y teclas">Cifras y teclas</a></li>
<li><a href="http://contesmatematics.blogspot.com.es/" target="_blank">Contes matemàtics</a></li>
<li><a href="http://espejo-ludico.blogspot.com.es/" target="_blank" title="">Espejo lúdico</a></li>
<li><a href="http://topologia.wordpress.com/" target="_blank" title="Topología">Juegos topológicos</a></li>
<li><a href="https://www.facebook.com/pages/Math-Explosioncom/161708027242841" target="_blank" title="Mathematics connection with the world around us">Math-explosion.com</a> (en anglés)</li>
<li><a href="http://www.matematicasdigitales.com/" target="_blank">Matemáticas Digitales</a></li>
<li><a href="http://science4all.xn--org%20%28en%20ingls%29-s8b/" target="_blank">No molestes mis círculos</a></li>
<li><a href="http://www.science4all.org/" target="_blank" title="Quality popular science.">Science4All.org</a> (en anglés)</li>
<li><a href="http://www.cangur.org/" target="_blank">Societat Catalana de Matemàtiques</a></li>
<li><a href="http://xeix.org/" target="_blank">Xeix. Societat Balear de Matemàtiques</a></li>
<li><a href="http://pinterest.com/matifutbol/the-world-and-the-mathematics-el-mundo-y-las-matem/" target="_blank" title="Páginas web interesantes para visitar, relacionadas con las Matemáticas">El mundo y las Matemáticas</a></li>
<li><a href="http://eliatron.blogspot.com.es/" target="_blank" title="Tito Eliatron dixit">Tito Eliatron dixit</a></li>
<li><a href="http://fm.feemcat.org/" target="_blank">Fem Matemàtiques</a></li>
<li><a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/" target="_blank" title="Las mates de David">Blog sobre Matemáticas</a></li>
<li><a href="http://www.edu365.cat/eso/muds/matematiques/" target="_blank">Edu365.cat</a></li>
<li><a href="http://pimedios.es/" target="_blank" title="Pimedios">PiMedios</a></li>
<li><a href="http://pasatiemposmatematicosdelaprensa.blogspot.com.es/" target="_blank">Pasatiempos matemáticos de la prensa</a></li>
<li><a href="http://gaussianos.com/" target="_blank" title="Gaussianos">Gaussianos</a></li>
<li><a href="http://cuentos-cuanticos.com/" target="_blank" title="Cuentos cuánticos">Cuentos cuánticos</a></li>
<li><a href="http://matesnoaburridas.wordpress.com/" target="_blank" title="Mates no aburridas">Mates no aburridas</a></li>
<li><a href="http://ztfnews.wordpress.com/" target="_blank" title="Ztfnews">ZTFNews.org</a></li>
<li><a href="http://blogs.algebra.us.es/" target="_blank">Blog del Departamento de Álgebra</a></li>
<li><a href="http://scientiablog.com/" target="_blank" title="Scientiablog">Scientia</a></li>
<li><a href="http://matematicascercanas.com/" target="_blank" title="Matemáticas cercanas">Matemáticas cercanas</a></li>
<li><a href="http://www.geometriadinamica.cl/" target="_blank" title="Geometría dinámica">Geometría dinámica</a></li>
<li><a href="http://i-matematicas.com/blog/" target="_blank" title="i-Matemáticas">Matemáticas interactivas y manipulativas</a></li>
<li><a href="http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/" target="_blank" title="La aventura de la ciencia">La aventura de la ciencia</a></li>
<li><a href="http://elmundoderafalillo.blogspot.com.es/" target="_blank" title="El mundo de Rafalillo">El mundo de Rafalillo</a></li>
<li><a href="http://juanmtg1.blogspot.com.es/" target="_blank" title="Juan mtgl">Los matemáticos no son gente seria</a></li>
<li><a href="http://equipopi.wordpress.com/" target="_blank" title="Equipopi">El equipo pi</a></li>
<li><a href="http://animandolaweb.blogspot.com.es/?m=1" target="_blank" title="Animando la web 2.0">Animando la web 2.0</a></li>
<li><a href="http://hojaynumeros.blogspot.com.es/" target="_blank">Números y hojas de cálculo</a></li>
<li><a href="http://lapizarradehomer.blogspot.com.es/" target="_blank" title="La pizarra de Homer">La pizarra de Homer</a></li>
<li><a href="http://masscience.com/" target="_blank" title="Masscience">MasScience</a></li>
<li><a href="http://masideas-menoscuentas.com/" target="_blank" title="Más ideas menos cuentas">Más ideas menos cuentas</a></li>
<li><a href="http://joselorlop.blogspot.com.es/" target="_blank" title="José Lor">Chapuzas matemáticas</a></li>
<li><a href="http://simplementenumeros.blogspot.com.es/" target="_blank">Números y algo más</a></li>
<li><a href="http://mati.naukas.com/" target="_blank" title="Mati Naukas">Mati y sus matiaventuras</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiihA9H_6Q5VriHm_EYuwbzbnP3qUhUcrBKPo5fUhiGpHVmWg7WtPKdRsTavvZgkUzVelC_ZvU16qMRrL3U6tAMmQdIXWPkRz-I-ASCuCn2-rTXuYg1VNg5bnKju3f6XLftxAwDkF3FH4/s1600/beach-hut-237489_640.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="133" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiihA9H_6Q5VriHm_EYuwbzbnP3qUhUcrBKPo5fUhiGpHVmWg7WtPKdRsTavvZgkUzVelC_ZvU16qMRrL3U6tAMmQdIXWPkRz-I-ASCuCn2-rTXuYg1VNg5bnKju3f6XLftxAwDkF3FH4/s1600/beach-hut-237489_640.jpg" width="200" /></a><br />
<h3>
Pàgines web que pots veure quan t'avorris de les Matemàtiques
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://aula21.net/aulablog21/" target="_blank">Aulablog21</a></li>
<li><a href="http://pinterest.com/matifutbol/the-world-is-not-just-math-el-mundo-no-es-tan-solo/" target="_blank" title="El mundo no es solo Matemáticas">El mundo no es sólo Matemáticas</a></li>
<li><a href="http://photoxperiences.blogspot.com.es/" target="_blank" title="Una galería de reportajes fotográficos, para amantes de la fotografía y de los viajes.">Photoxperiences</a></li>
<li><a href="http://manualnavidades.blogspot.com.es/" target="_blank" title="Manualidades sencillas basadas en la papiroflexia, para decorar nuestra casa en Navidad.">ManualNavidades</a></li>
<li><a href="http://chusifer.blogspot.com.es/" target="_blank">Niños que es lo mío</a></li>
<li><a href="http://historiasdelahistoria.com/" target="_blank">Historias de la historia</a></li>
<li><a href="http://4vium.blogspot.com.es/" target="_blank">4vium</a></li>
<li><a href="http://lavueltaalondresensietedias.blogspot.com.es/" target="_blank">La vuelta a Londres en siete días</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoP_bBZDe9S-9kIlHxlOH8bkTFzm89WH3QiK08q9CDKoz4hcqBrE9XgDi8Hsd241VnMpq9NTicHJJG7cmxRDlmkywCEufD2-ANitZttWCyci39UOWgHr473VXppVRsC4RFdbmftONguis/s1600/cosmic_gc3_new_med.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoP_bBZDe9S-9kIlHxlOH8bkTFzm89WH3QiK08q9CDKoz4hcqBrE9XgDi8Hsd241VnMpq9NTicHJJG7cmxRDlmkywCEufD2-ANitZttWCyci39UOWgHr473VXppVRsC4RFdbmftONguis/s1600/cosmic_gc3_new_med.gif" width="200" /></a><br />
<h3>
Matifutbol a tot arreu
</h3>
<br />
<ul>
<li><a href="http://pinterest.com/matifutbol/matifutbol-worldwide-matifutbol-en-el-mundo-matifu/" target="_blank" title="Matifutbol worldwide">Know who's following our website</a></li>
<li><a href="https://www.facebook.com/pages/Matifutbolcom/417774584902761" target="_blank" title="Matifutbol on Facebook">Visit our profile on Facebook</a></li>
<li><a href="http://twitter.com/matifutbolcom" target="_blank" title="Matifutbol on Twitter">Keep in contact with us on Twitter</a></li>
<li><a href="http://pinterest.com/matifutbol/new-issues-nuevas-publicaciones-nous-problemes/" target="_blank" title="Matifutbol on Pinterest">Find Matifutbol on Pinterest</a></li>
<li><a href="https://plus.google.com/115955093014908454406/posts" target="_blank" title="Matifutbol en Google+">Add Matifutbol to your circles</a></li>
<li><a href="http://mathsball.blogspot.com.es/" target="_blank">Matifutbol en inglés</a></li>
<li><a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/" target="_blank">Matifutbol en catalán</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div align="center">
<div style="background-color: #eaffdd; border: 1px double #000000; color: black; padding: 10px; text-align: justify; width: 630px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi6UHD8l_jvrqOMWfEPJGyAQG3Qo0SF5J4hfccaqow5Vker5tX6O0OD1Jyt5pKQuhnmRx4NdQtWeSGpMyNqRi3Uj7AG5OW7K8DBz5iyCO9ph_N-UsXOCnNaCGiu_wOg3AZYpK-KC6ogkw/s1600/Vicente_del_Bosque_Euro_2012_final.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi6UHD8l_jvrqOMWfEPJGyAQG3Qo0SF5J4hfccaqow5Vker5tX6O0OD1Jyt5pKQuhnmRx4NdQtWeSGpMyNqRi3Uj7AG5OW7K8DBz5iyCO9ph_N-UsXOCnNaCGiu_wOg3AZYpK-KC6ogkw/s1600/Vicente_del_Bosque_Euro_2012_final.jpg" width="132" /></a><b>
Entrenador
</b><br />
<ul>
<li><a href="http://www.linkedin.com/profile/view?id=149486372&trk=hb_tab_pro_top&locale=en_US" target="_blank" title="Coach">El meu perfil al Linkedin</a></li>
<li><a href="http://pinterest.com/profeshermyguad/" target="_blank" title="Coach">Els meus taulers al Pinterest</a></li>
<li><a href="https://plus.google.com/u/0/115979955961342404369/posts?tab=XX" target="_blank" title="Coach">El meu pergil al Google+</a></li>
<li><a href="http://herminiolopez.blogspot.com.es/p/my-profile.html" target="_blank" title="Coach">El meu perfil al blogspot</a></li>
<li><a href="http://about.me/herminiolopez" target="_blank">El meu perfil a l' about.me</a></li>
<li><a href="http://herminiolopez.blogspot.com.es/" target="_blank">Totes les meves publicacions</a></li>
</ul>
<br />
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-70063193698890903342015-12-28T14:02:00.001-08:002015-12-28T14:11:44.812-08:00Resum de l'any 2015<div style="display: none; text-align: justify;">
<b>Un resum dels articles publicat durant el 2015, per si se'ns va passar algun.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Abans de res, vull donar-vos les <b>gràcies </b>per ser-hi un any més.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquests darrers dotze mesos han passat molt ràpid, i no he tingut massa temps per escriure. Gairebé tot, he publicat mitja dotzena d'articles, als quals he tractat uns quants de nous temes matemàtics, amb els que confio que haureu gaudit una bona estona.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquí teniu la relació dels articles de l'any 2015 que acomiadarem en breu.</div>
<br />
<ul>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000; text-align: justify;">Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq</span></a>.<br />
<br />
Vam començar l'any a Groenlàndia, entre foques i óssos polars, amb un repte d'aritmètica modular en el que vam descobrir el problema de Flavi Josep.
</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/01/flavi-josep-proces-eliminacio.html" target="_blank">
<img height="160" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_bX-seAzm4uWq_0gCbyOjvgb7_RNg6zXtZj9MDW7f5T0mv_-WBNl3bssI-7fIwZ3AR9ZsTGvMPrZh-K6OYa-S2vOiWHLB18aSCr-wpzb1WCmMgsIke6WIrSeMALYAHiCafSL0b0QMZb8/s1600/cuadro+resumen+de+la+historia+groenlandesa.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000; text-align: justify;">El premi galàctic</span></a>.<br />
<br />
Després vam viatjar fins al salvatge oest, per a tractar de construir nombres formidables amb molt poques xifres. Aquesta entrada va rebre el Premi al millor post de l' "Edición 6.2 Número Pi" del Carnaval de Matemàtiques.
</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/04/potencia-factorial-nombre.html" target="_blank">
<img height="256" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQz-tMDcpTt1ORVXkAPq4t3ZPNZeYpNyvFgXh-0te5oxyMbDE_Hon1C60qcroBHVna-u1kPULtxHJfYpikA-gbuuTUZ73Y_YI2iHcE1cFS8fNFRkXUcPpIrRucnzwb6sM2zOq_M4iDTNk/s1600/Pep+Vitruvi+en+Un+premi+gal%C3%A0ctic.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">La pregunta incòmoda</span></a></span>. <br />
<br />
Més endavant vam fer una visita a Canton, en Xina, per a esbrinar quins mètodes matemàtics es fan servir en les enquestes sobre temes incòmodes de respondre.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/06/la-pregunta-incomoda.html" target="_blank">
<img height="220" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzPWbfIUBiTJSIhdFCZqo_tn1YsvFg7OA-vauCm6BfEwH_-7xmNdT08mAfZASrFbJQK7ziA-r6hEFr9VjgJxs_O3Vv6UK3BMuNjfSSe2QAhrbTFm_KKNiIKiCZYNdAZf4RvfU61TBOuos/s1600/Pep+Vitruvi+a+Guangzhou.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/09/sabotatge-botiga.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">Sabotatge a les botigues</span></a></span>. <br />
<br />
Vam tornar a Madrid, per a enfrontar-nos a un problema de simplificació.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/09/sabotatge-botiga.html" target="_blank">
<img height="240" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMPIFn-ai0qFapSZgWB885WyHmDMOXuVjbNUs2nUDzQMidVBfAQ7B3zYD0tMnW9s3-xcaJMr7jGei9_ku0MuxfeiKT3Owvmn8ZucS6APFklnpVtVnyr_zS2EJinvMfkyfbEUTfBx-to-E/s640/Sabotatge+a+les+botigues.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/12/espiral-arquimedes.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">Espirals i ruletes</span></a></span>. <br />
<br />
I per a tancar l'any, donem un petit repàs a les espirals i a les hèlixs al Principat de Mònaco.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2015/12/espiral-arquimedes.html" target="_blank">
<img height="181" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaGewV-hHOfk1OQ7_2nQ9-dSuq0ECYxrQ299j9KPSe0-G7y5pFPl6R9Z04fW_z16GZLHqpVLEJlAvv5xsovUBZrV-UpflQSpREalUHyp3m5kLUkv5WJCEwuHnLZQGgX0ZYYubdAWbrhp8/s640/Portada+cat+del+post.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
A més a més, enguany he tingut l'honor de allotjar, a la web en castellà, l'edició d'octubre del <b>Carnaval de Matemàtiques</b>, en la que van participar nombrosos divulgadors amb uns extraordinaris treballs:</div>
<br />
<ul>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/10/edicion-6-7-el-punto-del-carnaval-de-matematicas-17-25-de-octubre.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">“Edición 6.7: El punto” del Carnaval de Matemáticas (17-25 de octubre 2015)</span></a></span>. <br />
<br />
Vam obrir l'Edició amb un petit assaig sobre el punt.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/10/edicion-6-7-el-punto-del-carnaval-de-matematicas-17-25-de-octubre.html" target="_blank">
<img height="320" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgC91IPeeEympotFZV1pNZZYts5QJaRIGz8NXhJpozxc6N-uHX28Eg1E5s4uMkFl9_uBSjfvTGG3t_lRQQ3JHEKwK-hhPKKIlJdHM7d6CiBjis0sbzXBkJeOqrDozBVaJMxrUDNMy31Cjo/s1600/Otro+conejo.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/10/resumen-carnaval-matematicas-6.7-el-punto.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">Resumen de la 'Edición 6.7: El punto' Carnaval de Matemáticas</span></a></span>. <br />
<br />
Finalitzat el termini de presentació d'articles, publiquem el resum.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/10/resumen-carnaval-matematicas-6.7-el-punto.html" target="_blank">
<img height="320" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvrXLFARJq21vxoTdk1rY2Z1PUpm0cxZCoi90gNQwhw_RFh-Xk1jxT-HlzlWUqLWrg2jXmCpugd5aAu1o9kpux0KK_YSmHlpWp5N1Anblakyqa8ni0PIaClHbI8bzvt-lYgiI-AkVIFeQ/s1600/pepe+vitruvio+agradeciendo+participaci%25C3%25B3n+carnaval.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
<li>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/11/premio-carnaval-matematicas-edicion-6.7.html" style="font-weight: bold; text-align: justify;" target="_blank"><span style="color: #cc0000;">Premio a la mejor entrada de la 'Edición 6.7: El punto' del Carnaval de Matemáticas</span></a></span>. <br />
<br />
I finalment vam publicar les puntuacions i el guanyador del Carnaval.
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2015/11/premio-carnaval-matematicas-edicion-6.7.html" target="_blank">
<img height="320" imageanchor="1" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLK8kE9V3FAclPgshkZMiG2_lbldEWykE7xfFvUmpzEP1qw0t7oCsSMJ1NGcIobvUdvYU7JQZaMPtJ5AyR_eq9YCjBIeA9do58hjpFL5K8-tTq3pP8ssxnM1Z1HX2gexcWynneteYs85k/s320/podium+matematico.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" width="320" /></a>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
Espero que l'any que ve sigueu visitant el meu blog, i que gaudiu amb les noves històries que aniré publicant.
Moltes gràcies a tots, i Bon any 2016!<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqDPiDPbhlP_znAREb_8p_WoX-Tg46gS80uKT0I8FcbOhqdpXWAveu_tW2nDcD3bw9B7BpEC2MSWBFZe_J_8l8VofSfCvB6yo_dEx-FYal7UcRT6_gwUwV4CnDkExCejUsp1fAgQrWF7w/s1600/Feli%25C3%25A7+2016.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="478" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqDPiDPbhlP_znAREb_8p_WoX-Tg46gS80uKT0I8FcbOhqdpXWAveu_tW2nDcD3bw9B7BpEC2MSWBFZe_J_8l8VofSfCvB6yo_dEx-FYal7UcRT6_gwUwV4CnDkExCejUsp1fAgQrWF7w/s640/Feli%25C3%25A7+2016.jpg" width="640" /></a></div>
<br /></div>
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolversiCatalana-Http/matesifutbolblogspotcomes&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a>
<br />
<br />WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-4945074271669865232015-12-20T07:10:00.001-08:002015-12-20T07:10:15.528-08:00Espirals i ruletes<!-- Imatge d'entrada de la història -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaGewV-hHOfk1OQ7_2nQ9-dSuq0ECYxrQ299j9KPSe0-G7y5pFPl6R9Z04fW_z16GZLHqpVLEJlAvv5xsovUBZrV-UpflQSpREalUHyp3m5kLUkv5WJCEwuHnLZQGgX0ZYYubdAWbrhp8/s1600/Portada+cat+del+post.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi es disposa a passar un relaxat i econòmic cap d'any a Mònaco." border="0" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaGewV-hHOfk1OQ7_2nQ9-dSuq0ECYxrQ299j9KPSe0-G7y5pFPl6R9Z04fW_z16GZLHqpVLEJlAvv5xsovUBZrV-UpflQSpREalUHyp3m5kLUkv5WJCEwuHnLZQGgX0ZYYubdAWbrhp8/s640/Portada+cat+del+post.jpg" title="Pep Vitruvi es disposa a passar un relaxat i econòmic cap d'any a Mònaco." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Text de presentació -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>El cap d'any no seria igual sense els confetis, unes espirals que es converteixen en hèlices quan les llancem a l'aire. Hi ha milers d'exemples de corbes matemàtiques que ens acompanyen sense que ens hi adonem: espirals d'Arquimedes, espirals logarítmiques, espirals de Fermat, clotoides ... si parlem de dues dimensions. I hèlices cilíndriques, còniques, esfèriques... si pensem en tres dimensions. Abans de les 12 campanades, algunes d'aquestes corbes es creuaran en el camí de Pep Vitruvi. </b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
(Aquesta entrada participa en l'<a href="https://ztfnews.wordpress.com/2015/12/14/edicion-6-9-del-carnaval-de-matematicas-el-conjunto-de-cantor/" target="_blank"><span class="negrita">Edición 6.9: El conjunto de Cantor</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és, en aquesta ocasió, <a href="https://ztfnews.wordpress.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">::ZTFNews.org</span></a>).<br />
<br /></div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; font-family: Verdana, sans-serif; margin-left: 2em; text-align: center;">
PRIMERA PART</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<!-- Text principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1eLk4qKXjn5Dbf07wx4GMH6tWFhKo4Uorg480EVgNZK2-TcrwMYr9t9ZM_mQUFXWvM3xOjZBCqWzgb5fjYFchSbvT8bfE4FD5imHGLiIUuziAkA9qasi0lGu9ICSb6EHDpjsMmiFccEM/s1600/Monaco+vs.+Mobsters.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Com no apareixin els balones, hauran de jugar una partida al bridge, que està molt de moda." border="0" height="190" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1eLk4qKXjn5Dbf07wx4GMH6tWFhKo4Uorg480EVgNZK2-TcrwMYr9t9ZM_mQUFXWvM3xOjZBCqWzgb5fjYFchSbvT8bfE4FD5imHGLiIUuziAkA9qasi0lGu9ICSb6EHDpjsMmiFccEM/s320/Monaco+vs.+Mobsters.jpg" title="Com no apareixin els balones, hauran de jugar una partida al bridge, que està molt de moda." width="320" /></a>
Els equips de l'AS Mònaco i del Las Vegas Mobsters van a disputar un partit benèfic el dia de Cap d'Any, a favor de les víctimes del <b>mètode de Montecarlo</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Els jugadors es disposen a saltar al terreny de joc per començar a realitzar l'escalfament, quan el delegat del club s'adona que no han tret les <b>pilotes</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
L'<b>encarregat del material </b>ha agafat uns dies de <b>vacances</b>, així que van a recollir les claus del magatzem de material al seu despatx, però en el seu lloc, en comptes de les claus, han trobat un disc nadalenc penjat de la perxa. Intenten cridar-li per telèfon, però no hi ha manera de contactar amb ell.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Es tracta d'una persona a la qual li agraden les <b>endevinalles</b>, de manera que el detall del disc pot ser que no tan sols representi la seva <b>felicitació</b> del nou any als seus companys, sinó que a més suposi algun tipus de pista per trobar la ubicació de les claus. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL0FBI0TtJS_RIrcFLIY5nBLYrO79CnfFZhJnsaZTaY-2YPC3_zofQkZDcBBxVrlspzMKG7er3FXn8Jlt2CUiAc8V39XPBuqseDGH5BXtl_Q_4d7IpPkLNw_qJm3ne69lFqKHhFzeL84k/s1600/Disco+colgado.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Aquest utiller em sembla una mica estrany. No podia haver escrit una postal, com tothom?" border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL0FBI0TtJS_RIrcFLIY5nBLYrO79CnfFZhJnsaZTaY-2YPC3_zofQkZDcBBxVrlspzMKG7er3FXn8Jlt2CUiAc8V39XPBuqseDGH5BXtl_Q_4d7IpPkLNw_qJm3ne69lFqKHhFzeL84k/s320/Disco+colgado.jpg" title="Aquest utiller em sembla una mica estrany. No podia haver escrit una postal, com tothom?" width="320" /></a>
- Pep Vitruvi havia acudit a l'estadi per veure el partit, així que el president el convida a baixar amb ell als vestidors per veure si poden solucionar el problema.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Vaja, un disc d'U2! New Year's Day! Quina cançó tan bella per festejar l'any nou!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però seria encara més bonic si en el seu lloc hi hagués unes <b>claus</b>. Amb el disc no podem obrir la porta del magatzem on guardem els pilotes.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I, què voleu que faci jo? Seria millor que avisàreu a un manyà.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ja, però és que avui és <b>Cap d'Any</b>, i no hi ha cap professional disponible. Quan vulguem trobar algú que vulgui venir a obrir la porta, ja s'haurà passat l'hora del començament del partit.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Jo no sé res d'obrir portes...<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Però sí d'endevinalles. I estem convençuts que el disc n'és una. A més, al responsable del material li encanten les <b>matemàtiques</b>, així que de segur que ha d'haver-hi alguna relació.</div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-ptnS-uwarNWYsURwC01fxfijPUYl-8HZm-zh8L4cLmMOZcVISpJG_AHYL5fqSbVYauu7tQ3ZpmkshIjblWy_lqRJEV50Sd2LDStOR88J8T_IZtQNBSOZ5_aWgcHz7vSf6BaMXYqoxH8/s1600/Tocadiscos+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Doncs ja és casualitat que encara conservessin el vell trasto." border="0" height="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-ptnS-uwarNWYsURwC01fxfijPUYl-8HZm-zh8L4cLmMOZcVISpJG_AHYL5fqSbVYauu7tQ3ZpmkshIjblWy_lqRJEV50Sd2LDStOR88J8T_IZtQNBSOZ5_aWgcHz7vSf6BaMXYqoxH8/s200/Tocadiscos+2.JPG" title="Doncs ja és casualitat que encara conservessin el vell trasto." width="200" /></a>
- Heu provat a escoltar el disc, per veure si conté algun <b>missatge gravat</b> en què indiqui el lloc on ha deixat les claus? </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Afortunadament encara conservem un vell tocadiscs al club. L'hem utilitzat, i l'únic que s'escolta és la cançó. És estrany que hagi deixat un <b>disc de vinil</b>, i no alguna cosa més moderna com un CD o un format digital.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Pot ser que aquesta sigui la pista.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ah, sí?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És possible. Vosaltres sabeu com està gravat un disc de vinil?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigL9MYNCBmDMnu2K8vvPNmyB1nJ2Cy1KQZR6v6J1s3ezuvaMpB51m9FZrzKZg_rIEUcXZTelymj_nZJj9oAb85QA09KpD1uN-Ka180VxyFde78V4M54aI-9fzRQCL4SOLgb2sh4QhwgQU/s1600/Vinilo+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Mai vaig ser capaç de treure els borrissols que s'agarren a la superfície degut a l'electricitat estàtica." border="0" height="164" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigL9MYNCBmDMnu2K8vvPNmyB1nJ2Cy1KQZR6v6J1s3ezuvaMpB51m9FZrzKZg_rIEUcXZTelymj_nZJj9oAb85QA09KpD1uN-Ka180VxyFde78V4M54aI-9fzRQCL4SOLgb2sh4QhwgQU/s320/Vinilo+2.JPG" title="Mai vaig ser capaç de treure els borrissols que s'agarren a la superfície degut a l'electricitat estàtica." width="320" /></a>
- A diferència dels discs compactes, en un disc de vinil la informació està gravada en <b>una sola pista</b>. Es tracta d'una espiral, que l'agulla lectora va recorrent des de la vora del disc fins al seu centre.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Així que es tracta d'un únics solc, no?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Efectivament. Aquest tipus de corba té una denominació especial en Matemàtiques. Se li anomena <b>espiral d'Arquimedes</b>, ja que aquest antic savi grec la va descriure en els seus tractats..<br />
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
- Ja gravaven llavors la música en discs?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No. Arquimedes la va utilitzar per als seus estudis sobre <b>la quadratura del cercle</b>...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- ¿I només val per això?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Té múltiples aplicacions. S'utilitza en els mecanismes dels compressors d'<b>aire condicionat</b>, en certes proves per al diagnòstic de <b>malalties neurològiques</b>, per calcular les <b>concentracions de bacteris</b>, o per temes realment importants com comptar els metres de <b>paper higiènic</b> que conté un rotllo, per exemple. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ja veig. M'imagino que les fórmules que s'utilitzaran per a la seva descripció seran molt complexes, no?
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Depèn. Si la definim en <b>coordenades polars</b> (r,<i style="font-size: 110%;">θ</i>), ens resta una expressió molt
senzilla:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;">r = a + b·<i>θ</i></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És veritat, sembla senzilla, però no entenc res.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8tQQScOqForPMaw3GA6R2Cb_ycV9h0Fn00mSHY4hktCNpv1DOZ61ub1KrV0KwMBTIQqezuH_GxbNZNFefv1K75wE04EF97un41YmLi5sqPoYbdRxKohirRsBiL1oSLppH8GlolT4DVmY/s1600/espirala1_normal.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Una espiral cortesia d'El Zombie de Shcröndiger, a qui li desitjo que es restableixi aviat de la seva natalitat." border="0" height="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8tQQScOqForPMaw3GA6R2Cb_ycV9h0Fn00mSHY4hktCNpv1DOZ61ub1KrV0KwMBTIQqezuH_GxbNZNFefv1K75wE04EF97un41YmLi5sqPoYbdRxKohirRsBiL1oSLppH8GlolT4DVmY/s200/espirala1_normal.gif" title="Una espiral cortesia d'El Zombie de Shcröndiger, a qui li desitjo que es restableixi aviat de la seva natalitat." width="200" /></a>
</div>
<div style="text-align: justify;">
- La fórmula defineix la distància (r) de l'origen que està cada punt de la corba, en funció de les voltes que vagi donant (<i>θ</i>) i d'un coeficient (b), que quan més gran sigui, major serà la distància entre les voltes de l'espiral.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no era tan complicat. Però crec que estem donant voltes a l'assumpte de la mateixa manera que l'espiral d'Arquimedes, sense arribar a cap conclusió.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, crec que hauríem de buscar algun lloc de l'estadi on puguem trobar
una <b>altra espiral d'Arquimedes</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Hmmm. No se m'acut.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs a mi sí. Just a l'entrada he vist un magnífic <b>arbre de Nadal</b>. M'he fixat en la disposició de les llums, i he vist que formaven una espiral d'Arquimedes perfecta.
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ah, sí?<br />
<br />
- Bé, no exactament. Es tractaria més exactament d'una <b>hèlix cònica</b>, ja que és una corba contínua que es desenvolupa en tres dimensions. Però si observem l'arbre <b>des de dalt</b>, i projectem l'hèlix en només dues dimensions, veurem que les bombetes estan disposades segons l'espiral d'Arquimedes.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaabKBABs2EykzBa26d8pfnMdQLNDQV68X8xKeAiiaQ62qGCo5SVooRJXR-PSGyWceRLlzdUGcazwF0WGUnSL-9npI8CDaI4ZgN5zDdLK1Bil0SLv6TtDfnMIHX5aa44WgWACKJlF_Gi4/s1600/%25C3%2581rbol+fuera+de+estadio.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Una preciosa imatge zenital de l'estadi. Pero no s'hi distingeix res." border="0" height="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaabKBABs2EykzBa26d8pfnMdQLNDQV68X8xKeAiiaQ62qGCo5SVooRJXR-PSGyWceRLlzdUGcazwF0WGUnSL-9npI8CDaI4ZgN5zDdLK1Bil0SLv6TtDfnMIHX5aa44WgWACKJlF_Gi4/s200/%25C3%2581rbol+fuera+de+estadio.jpg" title="Una preciosa imatge zenital de l'estadi. Pero no s'hi distingeix res." width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFdbqQAT4O4W-HaxO14bQ6JqcrGjIfOPVbSaFZjcQUMdvxUUhX5qMb0PLskmGZlrimTWkjlbaIudH7ZMbEj-T4_0MQ4ji_BeF8z7TdgLxRQ1STQQgRBJtmJbVdPtco8YwP5ej__gf_B6A/s1600/Vista+cenital+de+%25C3%25A1rbol+de+Navidad+en+calle.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Ara sí es distingeix la magnífica espiral d'Arquimedes que formen les bombetes, i les boles numerades." border="0" height="254" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFdbqQAT4O4W-HaxO14bQ6JqcrGjIfOPVbSaFZjcQUMdvxUUhX5qMb0PLskmGZlrimTWkjlbaIudH7ZMbEj-T4_0MQ4ji_BeF8z7TdgLxRQ1STQQgRBJtmJbVdPtco8YwP5ej__gf_B6A/s320/Vista+cenital+de+%25C3%25A1rbol+de+Navidad+en+calle.jpg" title="Ara sí es distingeix la magnífica espiral d'Arquimedes que formen les bombetes, i les boles numerades." width="320" /></a></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0WdeLaqHXMyjhKfTNrOdm2qwkO14aNQUbwdypVedwbWXd276B7UPwrIPzc9dnBVdPR4n7AA7bMjAQQdCC9Tw2ca5GaIEAoniYVq3pAbRooGzHg0wiNpwZRWRhc7XG8C6VihLgX-nZFTI/s1600/Vista+cenital+de+%25C3%25A1rbol+de+Navidad+en+calle.jpg" imageanchor="1" style="margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAg8ENBOw8diLoiWiW-Xg4jXRUt69pjJDbjfGrG7ke355M0t6zk6MJ5-UKSwARKVUWMikCtdGmNfhBnN942Qz5WcjkCJNGHlMk6ZoUm3CXkwWQUPJ1JM7o81vYog_RyIm-eAYMb3sodbY/s1600/%25C3%2581rbol+fuera+de+estadio+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a></div>
<span style="text-align: justify;">
- Qui va muntar aquest arbre?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- L'utiller.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, doncs ja anem acostant-nos a la solució.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Però, on les pot haver amagat? Penjades d'una <b>branca</b>?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No crec. Potser són a dins d'alguna de les boles que adornen l'arbre. Si us fixeu, totes <b>tenen un nombre</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però en quina estaran? No tenim temps de trencar totes les boles per veure si dins d'alguna d'elles hi són les claus.
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEvPMaQiaZ1KtbYIF-iAkMWhtDnEMdRO02dH7STJiJ0uwB_YZ0m31ww1zvukFVeXn_-w3rmDmlzzPgLhKWKTkgSiKkKbO4l-mxctx7ctNIfkmIUscI2FWoiEUcFgHxsVpZLMGsoTKnTjw/s1600/Ruleta+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Obrin joc, senyors! No va més!" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEvPMaQiaZ1KtbYIF-iAkMWhtDnEMdRO02dH7STJiJ0uwB_YZ0m31ww1zvukFVeXn_-w3rmDmlzzPgLhKWKTkgSiKkKbO4l-mxctx7ctNIfkmIUscI2FWoiEUcFgHxsVpZLMGsoTKnTjw/s1600/Ruleta+2.JPG" title="Obrin joc, senyors! No va més!" /></a>
- No ens ha deixat més pistes, llevat del disc amb l'espiral d'Arquimedes. Així que hauríem de centrar-nos en ella. A aquesta espiral també se la coneix per un altre nom: <b>ruleta d'Arquimedes</b>...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ah! Ara que ho esmentes, recordo que abans de treballar pel nostre club, l'encarregat de material va estar empleat com a <b>crupier</b> del Gran Casino. Potser hi hagi algun tipus de relació amb la ruleta que dius.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És possible. La ruleta és un joc inventat pel matemàtic <b>Blaise Pascal</b>, qui a més va crear les seves normes al segle XVII, sense que aquestes hagin variat substancialment des de llavors. La novetat més important introduïda va ser la d'incloure, al costat dels 36 números existents, vermells i negres, pels quals els jugadors poden apostar, un nombre extra, el zero, exclusiu del casino, amb el qual aquest aconsegueix els seus beneficis.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Atès que ell va treballar com crupier al casino, potser hauríem d'obrir la bola amb el <b>número 37</b>.<br />
<br />
- Quin nombre tan lleig!<br />
<br />
- No hi ha números lletjos, i menys aquest. És un nombre fascinant, ja que, a més de ser primer, és divisor de tots els números repdigit de tres xifres.<br />
<br />
- Números <b>repdigit</b>?<br />
<br />
- Sí, nombres en els quals s'hi repeteix sempre la mateixa xifra: 111, 222, 333 ...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ_AEqZIiPDMs2QMU7wTNmQrRToe1QNLH3TZA1kEp7GxOZVbqL4bgqWCPvLzqUX0ib-6t1DFLKOxIRPrRvq8h6-bwxUPy41R8FW00suAZ_V1O9i4lRIU9C1vHCCeKijfXqAMjxnndZ-vo/s1600/Bola+37.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="El nombre 37 es mereixia tot un homenatge, sí senyor." border="0" height="159" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ_AEqZIiPDMs2QMU7wTNmQrRToe1QNLH3TZA1kEp7GxOZVbqL4bgqWCPvLzqUX0ib-6t1DFLKOxIRPrRvq8h6-bwxUPy41R8FW00suAZ_V1O9i4lRIU9C1vHCCeKijfXqAMjxnndZ-vo/s200/Bola+37.jpg" title="El nombre 37 es mereixia tot un homenatge, sí senyor." width="200" /></a>
- Està bé. Provem amb la bola 37.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs és veritat: aquí estan les claus! Aneu de seguida a treure les pilotes del magatzem perquè es pugui disputar el partit.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I nosaltres anem a la llotja, a obrir unes ampolles per celebrar la resolució del problema i per brindar per tots els nostres seguidors i desitjar-los que tinguin un <b>Feliç Any Nou</b>!</div>
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiML0ujU7j0gJpzQxUuQJnwOVNahALRnHktRPRdVtXfRW5WnYfwQYAcoEcjQ4XUs6McgBTJArZDomLi9F72qxCUEgyl_Jg9028LZJXEj8kXrgOXmsaPEiZ47_Rw9BIr4UHgG1CodR6BBwQ/s1600/Feli%25C3%25A7+2016.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Gràcies per acompanyar-me un any més. Desitjo que tinguéu un extraordinari any 2016!" border="0" height="478" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiML0ujU7j0gJpzQxUuQJnwOVNahALRnHktRPRdVtXfRW5WnYfwQYAcoEcjQ4XUs6McgBTJArZDomLi9F72qxCUEgyl_Jg9028LZJXEj8kXrgOXmsaPEiZ47_Rw9BIr4UHgG1CodR6BBwQ/s640/Feli%25C3%25A7+2016.jpg" title="Gràcies per acompanyar-me un any més. Desitjo que tinguéu un extraordinari any 2016!" width="640" /></a></div>
<br />
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolversiCatalana-Http/matesifutbolblogspotcomes&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a>
<br />
<br /></div>
<!-- Enllaços a pàgines amb contingut similar -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si l'entrada us ha sabut a poc, podeu profunditzar més sobre el seu contingut en aquests magnífics articles: <a href="http://www.grupo-victory.com/historia-ruleta/historia-ruleta.html" target="_blank">Historia de la ruleta</a>, <a href="http://www.ieshumanes.com/nw/Espiral/espirales.pdf" target="_blank">Introducción a las espirales</a>, <a href="http://www.pereplanells.com/projectefitxes/Cicicliques/Cicliques.htm" target="_blank">Corbes cícliques</a>, <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polares-cartesianas.html" target="_blank">Coordenadas polares y cartesianas</a>.<br />
<br /></div>
<!-- Enllaç a la pàgina del Carnaval de Matemàtiques -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblideu de <b>donar un tomb</b> pel <a href="https://ztfnews.wordpress.com/2015/12/14/edicion-6-9-del-carnaval-de-matematicas-el-conjunto-de-cantor/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i <b>votar </b>la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels quals gaudireu amb la seva lectura.</div>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-78885371416238935682015-09-27T04:06:00.001-07:002015-09-30T08:51:44.658-07:00Sabotatge a les botigues<!-- Imatge d'entrada de la història -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMPIFn-ai0qFapSZgWB885WyHmDMOXuVjbNUs2nUDzQMidVBfAQ7B3zYD0tMnW9s3-xcaJMr7jGei9_ku0MuxfeiKT3Owvmn8ZucS6APFklnpVtVnyr_zS2EJinvMfkyfbEUTfBx-to-E/s1600/Sabotatge+a+les+botigues.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi i la nit madrilenya" border="0" height="380" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMPIFn-ai0qFapSZgWB885WyHmDMOXuVjbNUs2nUDzQMidVBfAQ7B3zYD0tMnW9s3-xcaJMr7jGei9_ku0MuxfeiKT3Owvmn8ZucS6APFklnpVtVnyr_zS2EJinvMfkyfbEUTfBx-to-E/s640/Sabotatge+a+les+botigues.jpg" title="Pep Vitruvi i la nit madrilenya" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b>
<b>El mètode de simplificació consisteix a transformar una expressió en una altra equivalent més simple, més senzilla per treballar-hi amb ella, o més fàcil de memoritzar. Simplifiquem fraccions, polinomis, potències i radicals... És una eina molt útil en Matemàtiques, però també resulta un mètode molt perillós si no el fem servir amb les degudes precaucions.</b></div>
<br />
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
(Aquesta entrada participa en l'<a href="https://scirescience.wordpress.com/2015/09/30/resumen-de-la-edicion-6-6-del-carnaval-de-matematicas-numeros-vampiro/" target="_blank"><span class="negrita">Edición 6.6 Números vampiro</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="https://scirescience.wordpress.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">Scire Science</span></a>.)</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<!-- Text principal -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidrFU2SyMBRT9YVVSI6c0MpIwX5LlNGvmZyW7q9N77WB6peuXACfcRbNkgOc1fjceSNRdyBO6tq5txmpW6f5Jp5zdysbPGRvXY2Ia55m-AxLLqqAZ1q_wPQTVcV8iCpKT-CkUPwSnefTc/s1600/Iker+Casillas%252C+del+Real+Madrid+al+Oporto.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Iker Casillas fitxa pel Porto" border="0" height="193" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidrFU2SyMBRT9YVVSI6c0MpIwX5LlNGvmZyW7q9N77WB6peuXACfcRbNkgOc1fjceSNRdyBO6tq5txmpW6f5Jp5zdysbPGRvXY2Ia55m-AxLLqqAZ1q_wPQTVcV8iCpKT-CkUPwSnefTc/s200/Iker+Casillas%252C+del+Real+Madrid+al+Oporto.JPG" title="Iker Casillas fitxa pel Porto" width="200" /></a>
El president del Real Madrid és molt amoïnat. <b>No li surten els comptes</b> de la venda de samarretes.<br />
<br />
Després del fitxatge d’Iker Casillas pel Porto, Florentino vol <b>vendre </b>com més aviat <b>l’estoc de samarretes</b> de l'anterior porter.<br />
<br />
Per aconseguir-ho, ha donat instruccions a les dues botigues oficials del club. A la que és més a prop del Santiago Bernabéu, es venen <b>2 samarretes per <span style="white-space: nowrap;">20 €</span></b> en total, mentre que a la que és més lluny de l’estadi, l’oferta és de <b>3 samarretes per <span style="white-space: nowrap;">20 €</span></b>.<br />
<br />
En la <b>primera setmana</b>, s’han venut un total de 6.000 samarretes, 3.000 en cadascuna de les botigues. En total, s’han obtingut <span style="white-space: nowrap;"><b>50.000 €</b></span>.<br />
<br />
Però resten encara moltes de samarretes per vendre, així que, a la <b>segona setmana</b>, han optat per canviar l’oferta.<br />
<br />
Si abans, de cada 5 samarretes, venien 2 per <span style="white-space: nowrap;">20 euros</span> i altres 3 per <span style="white-space: nowrap;">20 euros</span>, ara en ambdues botigues vendran lots de <b>5 samarretes per <span style="white-space: nowrap;">40 €</span></b>, obtenint els mateixos guanys per cada 5 samarretes.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPQVZEQo3shxx83Q77PZPFNYSeZzDkd1j6ZZ0DdxGFRo4fk1lAT5gb-nQuHbtcjJSsja219-e_ThM0vqhN2IbL84RBTwYi2ocffh3dleAuqrvmsmbUQewM1lqZem_7zXIVXToZdIasaM8/s1600/Liquidaci%25C3%25B3n+total.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Samarretes d'Iker en oferta" border="0" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPQVZEQo3shxx83Q77PZPFNYSeZzDkd1j6ZZ0DdxGFRo4fk1lAT5gb-nQuHbtcjJSsja219-e_ThM0vqhN2IbL84RBTwYi2ocffh3dleAuqrvmsmbUQewM1lqZem_7zXIVXToZdIasaM8/s400/Liquidaci%25C3%25B3n+total.jpg" title="Samarretes d'Iker en oferta" width="400" /></a></div>
<br />
Durant la segona setmana, s’han tornat a vendre el mateix nombre de samarretes (6.000), també 3.000 a cada botiga, però la recaptació ha baixat a <span style="white-space: nowrap;"><b>48.000 euros</b></span>.<br />
<br />
Al club no s’expliquen per què han recaptat menys. Pensen que potser han patit un robatori per part d’algun empleat de les botigues.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiepS6DgC0Xi7QIpIWIZsVgANnJs6mdyACMkkSQqTXqhaXH6aYUzJybaTuNqrWrDESy-NZpQ9BqmNZf63Y3BZpwyF_zz8IA0eSm3bR6DRXTW8Sz5JA3RYntylMX-5H9iCuPsrKV_4qBYc/s1600/caja+registradora.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Caixa registradora" border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiepS6DgC0Xi7QIpIWIZsVgANnJs6mdyACMkkSQqTXqhaXH6aYUzJybaTuNqrWrDESy-NZpQ9BqmNZf63Y3BZpwyF_zz8IA0eSm3bR6DRXTW8Sz5JA3RYntylMX-5H9iCuPsrKV_4qBYc/s200/caja+registradora.gif" title="Caixa registradora" width="199" /></a>
El fet és que encara queden/resten 6.000 samarretes d’Iker per a vendre. Aquesta vegada han decidit fer un repartiment diferent. De cada 5 samarretes, vendran lots de <b>3 samarretes a <span style="white-space: nowrap;">15 €</span></b> a la botiga de l’estadi, i lots de <b>2 samarretes a <span style="white-space: nowrap;">25 €</span></b> a la botiga de Gran Via. Així, per cada 5 samarretes tornaran a obtenir <span style="white-space: nowrap;">40 euros</span> en total.<br />
<br />
A la fi es venen les 6.000 samarretes restants, novament 3.000 a cada botiga. Però aquesta vegada es recapten <span style="white-space: nowrap;"><b>52.500 euros</b></span>.<br />
<br />
Ara sí que la junta directiva no comprèn res. És possible que l’empleat que va robar els diners els hagi retornat, o potser van comptar malament els diners la setmana passada. Però, com expliquem llavors els <span style="white-space: nowrap;">500 euros</span> sobrants de la<b> tercera setmana</b>?<br />
<br />
Sense dubte, aquest és un misteri que només <b>Pep Vitruvi</b> pot resoldre, així que Florentino li truca perquè vingui a aclarir l'enigma.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBkY-kIA0yQpL6ysD_iHcbce8F-BydaaeCeeUoPiHT51qseU6AUOf-zXVpmRvaAzxXY4hDqTCuyKAlUpO38W7urRkfGfpkitDA79UeJUyf0z1cnRfMJpBfmBRk_W2UAdlkun34yRjnjVY/s1600/Skyline+de+Los+Angeles.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmeXl5jhJy_pEF1n79jXASIGktNsEU1TBjUXDSacomiCB-EhU8hRLGNqW57np0P2iVDVPfpQTPtFafvZM6I0vPRDewb5CbylXgemjWL7Sk3wGoIdQJbck0GJr6G5zaooVzMqyGdmtbLx0/s1600/Florentino+y+Pepe+Vitruvio.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Pep Vitruvi amb Florentino" border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmeXl5jhJy_pEF1n79jXASIGktNsEU1TBjUXDSacomiCB-EhU8hRLGNqW57np0P2iVDVPfpQTPtFafvZM6I0vPRDewb5CbylXgemjWL7Sk3wGoIdQJbck0GJr6G5zaooVzMqyGdmtbLx0/s320/Florentino+y+Pepe+Vitruvio.jpg" title="Pep Vitruvi amb Florentino" width="320" /></a>
- Hola, Florentino, com va tot?<br />
<br />
- Bé, tenim un petit problema. Hem venut <b>18.000 samarretes</b> en tres setmanes. Per cada 5 samarretes hem demanat <span style="white-space: nowrap;">40 €</span>, així que hauríem d'haver ingressat <span style="white-space: nowrap;"><b>144.000 euros</b></span>. I no obstant això, hem recaptat <b>6.<span style="white-space: nowrap;">500 euros</span> més</b>.<br />
<br />
- Això està bé. Amb aquests diners sobrants podreu fitxar un nou porter, oi? O també podeu comprar un fax d’última tecnologia...<br />
<br />
- El fet és que les tres setmanes hem venut <b>el mateix nombre de samarretes</b> i, no obstant això, cada setmana hem recaptat un<b> import diferent</b>.<br />
<br />
- Ja ho veig. Totes les samarretes es veníen al mateix preu?<br />
<br />
- No. Tenim dos punts de venda, i en cada un d'ells teníem una oferta diferent.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK8WgZbBecXZXYjp725VYWwPcMTfSS1FlslObbOD4pmgEVIhDSDJ83HXo-wVB2OmToHQ531XlP6Zu9iIwzdE17prcr03nNkI0oiG_Ha5E9wyzXP2s4KIy9S65b0heOrsOgqcGs9ks2JJw/s1600/Las+dos+tiendas+oficiales.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Botigues de la Gran Vía i del Santiago Bernabéu" border="0" height="162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK8WgZbBecXZXYjp725VYWwPcMTfSS1FlslObbOD4pmgEVIhDSDJ83HXo-wVB2OmToHQ531XlP6Zu9iIwzdE17prcr03nNkI0oiG_Ha5E9wyzXP2s4KIy9S65b0heOrsOgqcGs9ks2JJw/s400/Las+dos+tiendas+oficiales.gif" title="Botigues de la Gran Vía i del Santiago Bernabéu" width="400" /></a></div>
<br />
- Bé, això ho explica tot.<br />
<br />
- Doncs no, ja que per cada 5 samarretes, el que vam ingressar de <b>menys</b> en una botiga el vam recaptar de <b>més</b> en l'altra.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiT6N7l5E_4Px5WyOh7C4JVUvy1t2RrSTJohjAiARczPQIyOsEUA2e2tMhtXLTkJAs1KlIf0YA7CkkkxS6zNaEa_uJnZGrUa0vUIXAbAcSMDR8mcHPBriuvzVY9TS1TrmgxMPGByeBIXb8/s1600/Lotes+de+5+camisetas.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Lots de 5 samarretes d'Iker Casillas" border="0" height="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiT6N7l5E_4Px5WyOh7C4JVUvy1t2RrSTJohjAiARczPQIyOsEUA2e2tMhtXLTkJAs1KlIf0YA7CkkkxS6zNaEa_uJnZGrUa0vUIXAbAcSMDR8mcHPBriuvzVY9TS1TrmgxMPGByeBIXb8/s320/Lotes+de+5+camisetas.gif" title="Lots de 5 samarretes d'Iker Casillas" width="320" /></a><br />
<br />
- Llavors està clar. A la botiga on tinguéssiu una millor oferta segur que <b>es venien més samarretes</b> que en l'altra. Aquí teniu la diferència.<br />
<br />
- No és com dius. Resulta que, malgrat les ofertes, sempre veniem el mateix nombre de samarretes en cada una de les botigues. Així que les diferències tampoc es devien al fet que es venien més samarretes a la botiga més barata/econòmica.<br />
<br />
Crec que hi ha algun empleat que ens vol tornar bojos amb tot això, potser algun seguidor incondicional d'Iker a qui no li ha agradat que se'n vagi del Reial Madrid, o quelcom així. M'agradaria <b>trobar el sabotejador</b>.<br />
<br />
- Doncs em sembla que tal persona no existeix. Simplement es tracta d'una petita <b>paradoxa matemàtica</b>, deguda a la <b>simplificació</b> que feu als càlculs.<br />
<br />
- Ah, sí? De què es tracta?<br />
<br />
- Anem a veure. Comencem per la <b>setmana central</b>, en què en les dues botigues es venien lots de 5 samarretes a <span style="white-space: nowrap;">40 euros</span>. Si es van vendre 6.000 samarretes en total, podem dir que es van vendre <b>1.200 lots de 5 samarretes</b>, o el que és el mateix,<b> samarretes a <span style="white-space: nowrap;">8 euros</span></b>, oi?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizHhC4lTEx8ENX7LFh1zGvB17ckfWxDQ2Dflm-GafUy_yvpDUHMEn4zN-xeD2ghQDhiIWr5aT0FQJq-WDckeHoSjvV9GSleI9rgzlqaxwyZxi51XMXbSu4NDFWYSOylB_wrkaDU-ux7do/s1600/Vendes+de+samarretes+a+la+segona+setmana.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Distribució de les vendes entre les dues botigues" border="0" height="428" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizHhC4lTEx8ENX7LFh1zGvB17ckfWxDQ2Dflm-GafUy_yvpDUHMEn4zN-xeD2ghQDhiIWr5aT0FQJq-WDckeHoSjvV9GSleI9rgzlqaxwyZxi51XMXbSu4NDFWYSOylB_wrkaDU-ux7do/s640/Vendes+de+samarretes+a+la+segona+setmana.jpg" title="Distribució de les vendes entre les dues botigues" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
- Sí, crec que està bastant clar.<br />
<br />
- Doncs ara anem a veure el que va passar la <b>primera setmana</b>.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiba42bALTx4Tr92dlRw4LxlZH3MUQ8jjz8reXVEFRxi538YYQpA3e_leF6a7bHFc2gUY8ltKPoTLyeTYpr7uYgTEsSb01_LnkiEyWaGau1PQ7RZTXe5vCRZ_BtqLAf0BMzLc1JpQWEfwA/s1600/Camiseta+de+Iker+Casillas+a+8+euros.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Samarretes d'Iker a 8 euros" border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiba42bALTx4Tr92dlRw4LxlZH3MUQ8jjz8reXVEFRxi538YYQpA3e_leF6a7bHFc2gUY8ltKPoTLyeTYpr7uYgTEsSb01_LnkiEyWaGau1PQ7RZTXe5vCRZ_BtqLAf0BMzLc1JpQWEfwA/s200/Camiseta+de+Iker+Casillas+a+8+euros.gif" title="Samarretes d'Iker a 8 euros" width="163" /></a>
- Llavors també veníem lots de 5 samarretes a <span style="white-space: nowrap;">40 euros</span>, només que per separat. A la botiga del Bernabéu es venien 2 samarretes a <span style="white-space: nowrap;">20 euros</span>, i a la Gran Via es venien les 3 samarretes restants a <span style="white-space: nowrap;">20 euros</span>.<br />
<br />
- Aquí hi és el parany. En aquest cas no podem parlar de lots de 5 samarretes, ja que no és del tot cert. Esteu simplificant erròniament la distribució de les vostres vendes.<br />
<br />
- Per què?<br />
<br />
- A cada botiga es van vendre 3.000 samarretes, oi?<br />
<br />
- Així és.<br />
<br />
- Doncs en aquest cas només podem parlar de <b>1.000 lots de 5 samarretes</b> (venudes a una mitjana de <span style="white-space: nowrap;"><b>8 euros</b></span> cadascuna). I un sobrant de <b>1.000 samarretes</b>, que es van vendre a la botiga del Bernabéu a raó de 2 samarretes per <span style="white-space: nowrap;">20 euros</span>, és a dir, <b>a <span style="white-space: nowrap;">10 euros</span></b> la samarreta.<br />
<br />
Per això, com una part de les samarretes es van vendre més cares, és pel que en la primera setmana s'hi va recaptar més calers.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFe3PG4e4VAjP6k_TjC9r44Z1ttN4ytclo55LT59R07RPSFmGcJHkP18qvVf-OfRhMA7Sk5DnOfgCpxKw-Hy9vRPoiFItARas-OZJaHSm11PQUIzDurYUZs8O2uxBRd7VvRATqfd0U50M/s1600/Vendes+de+samarretes+a+la+primera+setmana.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Distribució de les vendes entre les dues botigues" border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFe3PG4e4VAjP6k_TjC9r44Z1ttN4ytclo55LT59R07RPSFmGcJHkP18qvVf-OfRhMA7Sk5DnOfgCpxKw-Hy9vRPoiFItARas-OZJaHSm11PQUIzDurYUZs8O2uxBRd7VvRATqfd0U50M/s640/Vendes+de+samarretes+a+la+primera+setmana.jpg" title="Distribució de les vendes entre les dues botigues" width="564" /></a><br />
<br />
- I si ens hi fixem en l'<b>última setmana</b>, veiem que es van vendre un total de <b>1.000 lots de 5 samarretes</b> a <span style="white-space: nowrap;">40 euros</span> en total <span style="white-space: nowrap;">(a una mitjana de <b>8 euros</b> cadascuna)</span>. I van sobrar <b>1.000 samarretes</b> a la botiga de Gran Via, que es van vendre a 2 per <span style="white-space: nowrap;">25 €</span>, és a dir, <b>a <span style="white-space: nowrap;">12,5 euros</span></b> la samarreta.<br />
<br />
I aquest és el motiu pel qual aquesta setmana és la que s'hi va recaptar més diners de les tres setmanes.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBkMJdA8A0Yp7dIMUbikgzqMvE_75-kf8QfU3JjpkJSdC13yPeHtxxI_FjB9Ub2wuEBgqdiXdd36vuWcqjQ3rN4_2vosGfBwe7oqHne95DD0qk-uFe9MNF_RnlFpWfgtOrAJU-qXNBcdQ/s1600/Ventas+de+camisetas+en+la+tercera+semana.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Distribució de les vendes entre les dues botigues" border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBkMJdA8A0Yp7dIMUbikgzqMvE_75-kf8QfU3JjpkJSdC13yPeHtxxI_FjB9Ub2wuEBgqdiXdd36vuWcqjQ3rN4_2vosGfBwe7oqHne95DD0qk-uFe9MNF_RnlFpWfgtOrAJU-qXNBcdQ/s640/Ventas+de+camisetas+en+la+tercera+semana.jpg" title="Distribució de les vendes entre les dues botigues" width="564" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
- Ara ho entenc. Així que no hem de buscar cap sabotejador...<br />
<br />
- Doncs no. L'error es devia a considerar que sempre es venien 1.200 lots de 5 samarretes, quan això només va ocórrer una de les setmanes.<br />
<br />
- I això ha passat alguna altra vegada?<br />
<br />
- Doncs sí. El divulgador <b>Malba Tahan</b>, al seu llibre '<b><i>L'home que calculava</i></b>', presenta el cas similar d'uns venedors de pinyes. I <b>Martin Gardner</b>, al seu llibre '<b><i>Ajà! Paradoxes que fan pensar</i></b>', mostra un cas semblant que té lloc en una botiga de discos.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBbeo73CKUV1EwaGe4E_CDL8AwrcU6-ISy0am_v5-WcTEq5hwEQ_iJmMbkju8vZlXn-UZ_wBh7vW5RXc2sXin2RLx_WJ8jqCfnzYEyc_esPw4Mf7cjE4_AZ5_J4arMnUR816GF8WQAJck/s1600/Matem%25C3%25A1ticas+divertidas.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Matemàtiques recreatives" border="0" height="185" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBbeo73CKUV1EwaGe4E_CDL8AwrcU6-ISy0am_v5-WcTEq5hwEQ_iJmMbkju8vZlXn-UZ_wBh7vW5RXc2sXin2RLx_WJ8jqCfnzYEyc_esPw4Mf7cjE4_AZ5_J4arMnUR816GF8WQAJck/s200/Matem%25C3%25A1ticas+divertidas.gif" title="Matemàtiques recreatives" width="200" /></a>
- Ja ho veig. Doncs res, ja em quedo més tranquil. Ara caldrà veure què podem fer amb els diners que hem recaptat de més.<br />
<br />
- Bé, de ben segur que n’hi ha alguna <b>associació filantròpica</b> a la què regalar aquests diners sobrants. O bé, pots comprar una partida de llibres de <b>matemàtiques recreatives</b>, i regalar-los a l'inici del pròxim partit, a tots els cabdells que acudin a l'estadi. Segurament que així aconseguiràs incrementar l'afluència al camp.<br />
<br />
- L'estudiarem. Sembla una bona idea. Fins aviat, Pep, i moltes gràcies per tot.<br />
<br />
- Fins aviat, Florentino.<br />
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolEsp-Matematicasyfutbol&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a>
<br />
<br /></div>
<!-- Enllaç a la pàgina del Carnaval de Matemàtiques -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblideu de <b>donar un tomb</b> pel <a href="https://scirescience.wordpress.com/2015/09/30/resumen-de-la-edicion-6-6-del-carnaval-de-matematicas-numeros-vampiro/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i <b>votar </b>la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels quals gaudireu amb la seva lectura.</div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-55947031166093927122015-06-04T08:21:00.001-07:002015-06-09T08:18:12.335-07:00La pregunta incòmoda<!-- Imatge d'entrada de la història -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzPWbfIUBiTJSIhdFCZqo_tn1YsvFg7OA-vauCm6BfEwH_-7xmNdT08mAfZASrFbJQK7ziA-r6hEFr9VjgJxs_O3Vv6UK3BMuNjfSSe2QAhrbTFm_KKNiIKiCZYNdAZf4RvfU61TBOuos/s1600/Pep+Vitruvi+a+Guangzhou.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi en la seva nova història en Guangzhou: La pregunta incòmoda." border="0" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzPWbfIUBiTJSIhdFCZqo_tn1YsvFg7OA-vauCm6BfEwH_-7xmNdT08mAfZASrFbJQK7ziA-r6hEFr9VjgJxs_O3Vv6UK3BMuNjfSSe2QAhrbTFm_KKNiIKiCZYNdAZf4RvfU61TBOuos/s1600/Pep+Vitruvi+a+Guangzhou.jpg" title="Pep Vitruvi en la seva nova història en Guangzhou: La pregunta incòmoda." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b>
<b>Sovint és difícil aconseguir que la gent respongui d'una forma veraç en les enquestes. Sortosament, hi han mètodes matemàtics que ens permeten salvar la reticència de les persones a contestar certes preguntes incòmodes.</b></div>
<br />
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://pimedios.es/2015/05/31/resumen-de-la-edicion-6-4-pseudoprimos/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 6.4 Pseudoprimers</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://pimedios.es/" target="_blank"><span class="negrita unidas">PiMedios</span></a>.)</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhu-Aia4CiKNS-ZznMVSXsh3F9OQ69PyBCvAkTP6n2z5FOTGoDDB0_lky4u6faOKprhruebkIgylX-UOCP7Fln6t7Bgd1RTZirmfymKnrTUYpQ-nbCHIvxhJJqgT9SSRtwGOHUqkrc7sJo/s1600/Asian+Champions+League+2.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Semifinal de la Lliga de Campions de l'AFC entre el Guangzhou Evergrande i el Kashiwa Reysol." border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhu-Aia4CiKNS-ZznMVSXsh3F9OQ69PyBCvAkTP6n2z5FOTGoDDB0_lky4u6faOKprhruebkIgylX-UOCP7Fln6t7Bgd1RTZirmfymKnrTUYpQ-nbCHIvxhJJqgT9SSRtwGOHUqkrc7sJo/s400/Asian+Champions+League+2.jpg" title="Semifinal de la Lliga de Campions de l'AFC entre el Guangzhou Evergrande i el Kashiwa Reysol." width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquesta setmana es disputarà la semifinal de la Lliga de Campions de l'AFC 2015 entre el <b>Guangzhou Evergrande</b> xinés i el <b>Kashiwa Reysol </b>coreà.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Fabio Cannavaro</b>, entrenador de l'equip xinés, ha advertit que en les últimes setmanes ha baixat força el nivell de joc del seu equip.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Alguns asseguren que els jugadors del Guangzhou surten per les nits a <b>passar-s'ho bé</b>, i que per això no rendeixen als entrenaments ni als partits. Però ningú ha pogut provar que sigui cert.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El club ha contractat a investigadors privats perquè els segueixin, però fins ara els jugadors han aconseguit sempre lliurar-se de la persecució dels detectius.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN3wHSd07iGjY2F0T1AQphFfSJaawQ0Sl1YzSEH8ufN29Q3fYOfSoRerhLSHekgn8BXQB4BMlnJSf527yemqUILPd3uO6GsXmX4i3LvkjGkCUn9yETD3yRNLhZEFuR9AkwGK_0tBQgr6A/s1600/Discoteca+china+3.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Fantàstica discoteca xinesa. Al fons crec que he vist un jugador de futbol." border="0" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN3wHSd07iGjY2F0T1AQphFfSJaawQ0Sl1YzSEH8ufN29Q3fYOfSoRerhLSHekgn8BXQB4BMlnJSf527yemqUILPd3uO6GsXmX4i3LvkjGkCUn9yETD3yRNLhZEFuR9AkwGK_0tBQgr6A/s400/Discoteca+china+3.JPG" title="Fantàstica discoteca xinesa. Al fons crec que he vist un jugador de futbol." width="400" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGKsM3nVjRTpLUH8v8M9pOR5iJmw5FicDNJoH5PZfaYPDC_7I3WITJt4-dgUSUBTnKMdhqH1l32VxgKw-QYs5U4VXw02i1IdEuTU8YTz2DOCYrDxaRlnpWKChJSUDRj5E_KmJnBXLmX6c/s1600/Escudo+del+Guangzhou+Evergrande.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut de l'equip xinès del Guangzhou Evergrande. Curiosa paraula aquesta última, no sé pas d'on l'hauran tret." border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGKsM3nVjRTpLUH8v8M9pOR5iJmw5FicDNJoH5PZfaYPDC_7I3WITJt4-dgUSUBTnKMdhqH1l32VxgKw-QYs5U4VXw02i1IdEuTU8YTz2DOCYrDxaRlnpWKChJSUDRj5E_KmJnBXLmX6c/s200/Escudo+del+Guangzhou+Evergrande.gif" title="Escut de l'equip xinès del Guangzhou Evergrande. Curiosa paraula aquesta última, no sé pas d'on l'hauran tret." width="145" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Fabio està preocupat, i no sap molt bé què fer. Els hi ha cridat d'un en un al seu despatx, i els hi ha preguntat directament a cada un d'ells si són veritat els rumors que corren. Però cap d'ells ha admès que surt per les nits. I tampoc han volgut dir-li quants dels seus companys ho fan.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHI8CysBwulgBeM843ynUab4TwePPf717BcfjoLAAZONF1Y_WQ5N7PTicWXW6246WMhzvXq_4AkvtBX4Hdx0ZfBPZIRqVka6a4HZI-X0oeZUHHVOx6WI3ra-3Yn1p0VXhGIT-iRV46tkQ/s1600/Jugadores+del+Guanzhou+Evergrande+posando+para+los+fot%C3%B3grafos+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Jugadors del Guangzhou Evergrande posant per a la premsa. No sé per què s'ajupen els dos de l'esquerra." border="0" height="126" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHI8CysBwulgBeM843ynUab4TwePPf717BcfjoLAAZONF1Y_WQ5N7PTicWXW6246WMhzvXq_4AkvtBX4Hdx0ZfBPZIRqVka6a4HZI-X0oeZUHHVOx6WI3ra-3Yn1p0VXhGIT-iRV46tkQ/s200/Jugadores+del+Guanzhou+Evergrande+posando+para+los+fot%C3%B3grafos+2.JPG" title="Jugadors del Guangzhou Evergrande posant per a la premsa. No sé per què s'ajupen els dos de l'esquerra." width="200" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
És ben clar que l'han mentit, i que són un grup molt unit, que no volen trair-se entre ells. Però Fabio necessita saber si <b>el problema de les sortides nocturnes</b> està molt estès o no entre la plantilla.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Aquesta nit, quan sopava en un restaurant de Hong Kong, ha coincidit amb <b>Pep Vitruvi</b>, que ha anat a la ciutat per participar en un congrés de Matemàtiques. Li ha comentat el problema que té, i Pep pensa que potser hauria de tornar a citar-los al seu despatx.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-6GGHVtAuRCr4Ko0x36GWxeiA6L_pFWF1jP_odnOBJl_FqC3nI897mAjU2JfhI_zVG0f__S7ttLnZADHifpLs1ThdSTgvxmjc91Xj90O9FQ_4fHtmdNojSJPxx1CuozNdQNLIYyJjf-o/s1600/Restaurante+de+Hong+Kong.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Restaurant de Hong Kong en què es troben Fabio Cannavaro i Pepe Vitruvi. Quina casualitat!" border="0" height="348" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-6GGHVtAuRCr4Ko0x36GWxeiA6L_pFWF1jP_odnOBJl_FqC3nI897mAjU2JfhI_zVG0f__S7ttLnZADHifpLs1ThdSTgvxmjc91Xj90O9FQ_4fHtmdNojSJPxx1CuozNdQNLIYyJjf-o/s640/Restaurante+de+Hong+Kong.JPG" title="Restaurant de Hong Kong en què es troben Fabio Cannavaro i Pepe Vitruvi. Quina casualitat!" width="640" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Però em tornaran a respondre una altra vegada el mateix, Pep.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No necessàriament. Pots <b>aconseguir </b>que alguns d'ells et contestin la <b>veritat</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no veig com. No m'agradaria d'<b>amenaçar-los</b>, ni tampoc d'oferir-los cap tipus de <b>recompensa </b>per trair els seus companys.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, hi ha una forma de fer que et diguin la veritat, sense coaccionar-los ni premiar-los...</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi72-gQoLOWzGm4YIAkJEMBQcTQOYFx0OtePViTumSor6KUPXtDQf0uwzHtKsWyl2iYBxcQP30-cdrjhej2DYTuyXbaHcKqM9p28O-yAZZ_vTCFXg9MSSqBFsjhvb40Cn3qNwKFIt1iLY4/s1600/Fabio+Cannavaro+1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Fabio Cannavaro, entrenador del Guangzhou Evergrande, al qual ja se li estan axinant els ulls." border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi72-gQoLOWzGm4YIAkJEMBQcTQOYFx0OtePViTumSor6KUPXtDQf0uwzHtKsWyl2iYBxcQP30-cdrjhej2DYTuyXbaHcKqM9p28O-yAZZ_vTCFXg9MSSqBFsjhvb40Cn3qNwKFIt1iLY4/s320/Fabio+Cannavaro+1.JPG" title="Fabio Cannavaro, entrenador del Guangzhou Evergrande, al qual ja se li estan axinant els ulls." width="277" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDsak6T78jpPc4Ka5ve1VrUjcw7khjioO-Pwd6qUidRzrPvw5GmFhpip27FnatcDS17tywpfMudx4dsvkT8RXNLl7BeiUT4GBaZDz5jGpa5ThWkeV35JWdYeWW7VO0D2oHDSxRwegj6gQ/s1600/Pepe+Vitruvio+en+China+-+Joe+Vitruvius+in+China+-+Pep+Vitruvi+a+la+Xina.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi, després d'haver perdut el seu equipatge a l'aeroport." border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDsak6T78jpPc4Ka5ve1VrUjcw7khjioO-Pwd6qUidRzrPvw5GmFhpip27FnatcDS17tywpfMudx4dsvkT8RXNLl7BeiUT4GBaZDz5jGpa5ThWkeV35JWdYeWW7VO0D2oHDSxRwegj6gQ/s400/Pepe+Vitruvio+en+China+-+Joe+Vitruvius+in+China+-+Pep+Vitruvi+a+la+Xina.GIF" title="Pep Vitruvi, després d'haver perdut el seu equipatge a l'aeroport." width="195" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Pots endivinar de quina forma aconseguiran que els jugadors els hi contin la veritat del que està passant?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqnjhr5Hw33W1bfIAv94eRxKO-Xae4xKVDaflj_AaLY1d8j5_7l-17NcG33JEF_dbxL5rrh-q1WLcbbMOq5O9NEDPsPcYdUQCeWjVhvw93RZrKxKCIGQYlog52fCREoB2d5bfYJfvsgx4/s1600/Estadio+de+Guanzhou+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Extraordinari estadi, el del Guangzhou Evergrande." border="0" height="149" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqnjhr5Hw33W1bfIAv94eRxKO-Xae4xKVDaflj_AaLY1d8j5_7l-17NcG33JEF_dbxL5rrh-q1WLcbbMOq5O9NEDPsPcYdUQCeWjVhvw93RZrKxKCIGQYlog52fCREoB2d5bfYJfvsgx4/s200/Estadio+de+Guanzhou+2.JPG" title="Extraordinari estadi, el del Guangzhou Evergrande." width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBkY-kIA0yQpL6ysD_iHcbce8F-BydaaeCeeUoPiHT51qseU6AUOf-zXVpmRvaAzxXY4hDqTCuyKAlUpO38W7urRkfGfpkitDA79UeJUyf0z1cnRfMJpBfmBRk_W2UAdlkun34yRjnjVY/s1600/Skyline+de+Los+Angeles.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Anem a veure, Fabio, quines <b>preguntes </b>els hi has fet?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- En primer lloc, els hi he fet: <b>Tu surts</b> per les nits? I tots ells m'han contestat que no.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I després els he preguntat: <b>Saps quants companys </b>de l'equip <b>surten </b>a divertir-se de nit? I m'han contestat que cap.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, crec que hauries de cridar-los novament d'un en un i tornar a formular-los les mateixes preguntes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- No ho entenc, Pep. Si torno a preguntar-los el mateix, les seves repostes seran iguals.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- No, perquè ara tenim una <b>moneda màgica</b>.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBAvC7pg-oNTLaBL8OuHJI59SrGJhDkRz7NHzdOFpC0LXh3fI7bOvdaJnmZHbDRtWD8rYt4PLvM9o04B09DwdPNty-61mo-veyUYi3Pmn_g-MjinTuAaTmmspxiGCGbjM9Q4-hUvy-Fc0/s1600/Moneda+china+con+panda+y+serpiente+2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Moneda xinesa de 50 iuans. Em sembla que a Pep Vitruvi li han enganyat com a un xinès i li han colat una moneda falsa." border="0" height="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBAvC7pg-oNTLaBL8OuHJI59SrGJhDkRz7NHzdOFpC0LXh3fI7bOvdaJnmZHbDRtWD8rYt4PLvM9o04B09DwdPNty-61mo-veyUYi3Pmn_g-MjinTuAaTmmspxiGCGbjM9Q4-hUvy-Fc0/s400/Moneda+china+con+panda+y+serpiente+2.gif" title="Moneda xinesa de 50 iuans. Em sembla que a Pep Vitruvi li han enganyat com a un xinès i li han colat una moneda falsa." width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ja t'he dit que no els hi podràs subornar. I menys encara amb una simple moneda, per molt màgica o estranya que sigui.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Estic segur que amb aquesta moneda esbrinarem el que hi està passant a l'equip. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no sé pas de quina manera.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ja ho veuràs, és molt senzill. Els hi rebràs d'un en un al teu despatx, i els hi proposaràs el següent: els hi donarem aquesta moneda, i els direm <b>que la llencin a l'aire</b> sense que nosaltres els vegem. </div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si surt el <b>panda</b>, hauran de contar-nos la <b>veritat </b>sobre si surten de gresca o no.<br />
<br />
No obstant això, si surt la <b>serp</b>, hauran de contestar-nos <b>en tot cas que sí</b> surten a les nits.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3sOkPGM5ZfV3xQP0Sfhhz_Ff-0328JPrUirqqlY7byzkIJ_rTBVJmT3ukHv_ThKQ0cDLMUCwCunwAUiaJIcNCg5J-1qckSHE7GovECoe1YvLJGdR8Uhv06CqV59VGaHwT1VjQT3D99e8/s1600/Salir+o+no+salir.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Està clar: amb el tendre ós panda diran tota la veritat; amb la malvada serp diran en tots els casos que els agrada sortir de festa. Fàcil, oi?" border="0" height="228" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3sOkPGM5ZfV3xQP0Sfhhz_Ff-0328JPrUirqqlY7byzkIJ_rTBVJmT3ukHv_ThKQ0cDLMUCwCunwAUiaJIcNCg5J-1qckSHE7GovECoe1YvLJGdR8Uhv06CqV59VGaHwT1VjQT3D99e8/s640/Salir+o+no+salir.jpg" title="Està clar: amb el tendre ós panda diran tota la veritat; amb la malvada serp diran en tots els casos que els agrada sortir de festa. Fàcil, oi?" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Llavors llençaran una altre cop la moneda. Si surt <b>panda</b>, hauran <b>de dir-nos el nombre de jugadors</b> que coneixen que surten de marxa, mentre que si surt la <b>serp</b>, podran <b>inventar-se </b>la xifra que vulguin<b> entre el 0 i el 20</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Nosaltres, <b>en cap moment, sabrem</b> si a cada jugador particular li ha sortit panda o serp, és a dir, no sabrem si està mentint-nos o no, així que als qui els surti el panda no tindran cap por de dir-nos la veritat. Creus que acceptaran aquest tracte?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Jo crec que sí. Sembla que el mètode no els compromet res.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs anem-hi. Digues-li al primer jugador que passi...</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1_waRpfJWwH7kiQzEx-DJT6qU7NfhhQgrdkhwYHtxQVhFdY3EO6-9zT1P8U2SZjeVedgdBgc6fIhE1tBko3xm_IWOymF4Tk9-1m5OAZlp-_zSxpVKJCT0uX-FcB1as5NziRo2MxJB3K4/s1600/Despacho+de+Fabio+Cannavaro.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Despatx de Fabio Cannavaro a les instal·lacions del Guangzhou Evergrande. Més ben dit, la porta del mateix." border="0" height="427" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1_waRpfJWwH7kiQzEx-DJT6qU7NfhhQgrdkhwYHtxQVhFdY3EO6-9zT1P8U2SZjeVedgdBgc6fIhE1tBko3xm_IWOymF4Tk9-1m5OAZlp-_zSxpVKJCT0uX-FcB1as5NziRo2MxJB3K4/s640/Despacho+de+Fabio+Cannavaro.jpg" title="Despatx de Fabio Cannavaro a les instal·lacions del Guangzhou Evergrande. Més ben dit, la porta del mateix." width="640" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- ...a la fi hem<b> acabat l'enquesta</b>, Pep!<br />
<br />
- Bé, ara ja podem obtenir una idea prou clara del que passa al teu equip.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ah, sí? Doncs ja m'ho explicaràs, si no sabem si ens han dit la veritat o en han mentit.<br />
.</div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZs1MbBYbg8yCAfhPEt8Vgy5DoQTnJRVuc9ydWxC3S4vOKYPU46qzf9D4TTrsTOgvD2KXxTQqtrNIlV7dlz77wo-KWK-TizhPaXTV8S4Nkv0OLC3aAqSyQBHIKRqbM-krhPuCMWq0gwPg/s320/Resultats+de+l%2527enquesta+entre+els+jugadors.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Resultats de l'enquesta efectuada entre els jugadors. Espero que no s'hagin embolicat amb la serp i l'ós panda." border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZs1MbBYbg8yCAfhPEt8Vgy5DoQTnJRVuc9ydWxC3S4vOKYPU46qzf9D4TTrsTOgvD2KXxTQqtrNIlV7dlz77wo-KWK-TizhPaXTV8S4Nkv0OLC3aAqSyQBHIKRqbM-krhPuCMWq0gwPg/s400/Resultats+de+l%2527enquesta+entre+els+jugadors.JPG" title="Resultats de l'enquesta efectuada entre els jugadors. Espero que no s'hagin embolicat amb la serp i l'ós panda." width="293" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- No pateixis, Fabio. Vegem els resultats de la nostra enquesta. Pel que fa amb la primera pregunta, en què directament els hi preguntem si ells surten de festa o no, hem hagut un total de <b>12 respostes afirmatives i 8 negatives</b>. </div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La probabilitat de que surti panda o serp a la moneda és del <b>50%</b>, així que ho més normal és que la meitat dels jugadors amb els que hem parlat ens hauran dit la veritat, i l'altra meitat ens hauran contestat obligatòriament que sí surten de festa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Això vol dir que aproximadament <b>10 jugadors </b>han dit que surten de festa perquè els ha sortit la <b>serp </b>(independentment de que sigui veritat o no). I dels altres <b>10 jugadors</b> als quals els ha sortit el <b>panda</b>, i que per això havien de dir la veritat, 2 han contestat que surten, i 8 han fet que no surten.<br />
<br />
Són 2 respecte de 10, és a dir, <b>un 20%</b>, així que en el total de 20 jugadors de la plantilla podem pensar que hi haurà només 4 que surten de festa per la nit.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però si per casualitat han sortit 20 pandes, llavors tots haurien fet la veritat, i serien 12 jugadors els que tenen aquest problema.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlcs1ucYiiRb0KylrJYjjpvrKEUSSAnMX8mgaOAzEGV4_VYQ9dC8NU8HHhmN4Y70ZWYLTz90Oa36tcB75qHzV00XH0rodwH8tKfxEWXWSPv2gjrmrHaHJrKe0DtzttWybmri6WOGCiOFU/s1600/Probabilitat+de+que+surtin+n+cares+o+creus.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Probabilitat que surtin un nombre determinat de cares llançant una moneda 20 vegades, fins i tot en el cas que aquesta sigui xinesa." border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlcs1ucYiiRb0KylrJYjjpvrKEUSSAnMX8mgaOAzEGV4_VYQ9dC8NU8HHhmN4Y70ZWYLTz90Oa36tcB75qHzV00XH0rodwH8tKfxEWXWSPv2gjrmrHaHJrKe0DtzttWybmri6WOGCiOFU/s400/Probabilitat+de+que+surtin+n+cares+o+creus.JPG" title="Probabilitat que surtin un nombre determinat de cares llançant una moneda 20 vegades, fins i tot en el cas que aquesta sigui xinesa." width="345" /></a>
- Es veritat. Però fíxa't en aquesta altra taula. Si calculem la <b>probabilitat de que surti un nombre determinat de pandes</b>, quan llancem 20 vegades una moneda, podem veure, primer, que l'opció més probable de totes és que surtin 10 pandes, un 17,62% de las vegades.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
I, en segòn lloc, que la probabilitat de que surtin 20 pandes és del 0,0001%, és a dir, una vegada de cada milió de cops que féssim la prova. De fet, hi ha una probabilitat de gairebé un 98% de que puguin sortir 14 pandes com màxim.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De totes formes, resulta una mica arriscat extreure conclusions d'<b>una mostra de nomé 10 jugadors</b>. Així que ens vindran bé les contestacions que ens han donat a la segona pregunta, per veure així si les nostres suposicions són correctes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAh5RKIy_hT-7c2zHytCKrXp3FeU6TGdNjHyIynTPWV8YxZAgKFp0avZV6AW_UO2aUbPYam_cu2n-nmIOGSJeJAe1yi6svKJblWoXZslQvbe9-RMBGpqXKZTf_otp5n4kRHLgn9BACrk4/s1600/Enquesta+amb+respostes+ordenades.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Àvia, per què hem ordenat les dades de l'enquesta? Per estudiar-los millor..." border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAh5RKIy_hT-7c2zHytCKrXp3FeU6TGdNjHyIynTPWV8YxZAgKFp0avZV6AW_UO2aUbPYam_cu2n-nmIOGSJeJAe1yi6svKJblWoXZslQvbe9-RMBGpqXKZTf_otp5n4kRHLgn9BACrk4/s640/Enquesta+amb+respostes+ordenades.JPG" title="Àvia, per què hem ordenat les dades de l'enquesta? Per estudiar-los millor..." width="275" /></a>
- Pero aquí, Pep, ens trobem amb el mateix problema. Tampoc sabem quines són les dades veritables i les inventades. De fet, tenim un munt de respostes, prou diferents. N'hi han des dels que han contestat que cap jugador surt per les nits, fins als que han dit que són 20 els pendons.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- De segur que podrem fer alguna cosa, Fabio. Així, si calculem <b>la mitjana</b> de les respostes que hem obtingut, ens dóna que hauria 5,25 persones als què els agrada sortir. Però el <b>coeficient de variació</b>, que mesura la dispersió de les dades de la mostra és enorme. Caldrà treballar amb les dades per obtenir uns valors estadístics més acceptables.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sabem que aproximadament la meitat de les respostes són inventades, i que probablement tan sols la meitat de les dades són fiables. Així que hauríem de tractar d'<b>eliminar determinades dades</b>, per tal que la mijana fos més ajustada a la realitat.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- I, <b>com separarem les dades correctes de les inventades</b>? Si haguéssim llençat la moneda una sola vegada coneixeríem algunes dades corrects, les d'aquells jugadors als que el ha tocat el panda i que han contestat que no surten per les nits, però en llançar la moneda de nou per respondre aquesta segona pregunta, no sabem a què atenir-nos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- És ben cert. Els he fet llençar novament la moneda tot i per evitar que ens menteixin en contestar la segona pregunta tots aquells que ens han dit la veritat en la primera, especialment aquells que han contestat que no surten, ja que aquesta resposta solament la poden donar aquells als que els hi ha tocat el panda, i per tant estan obligats a dir la veritat.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Afortunadament, en estadística <b>existeixen diversos <a href="http://es.wikihow.com/calcular-datos-at%C3%ADpicos" target="_blank">mètodes</a></b><a href="http://es.wikihow.com/calcular-datos-at%C3%ADpicos" target="_blank"><b> per a eliminar certes dades incorrectes</b></a> que poden desvirtuar força les mitjanes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRgW5CDdNT7t3FpnVhyphenhyphengFlPgSfg4tIIMOh6CHeQ_CeqxAVuDypcE47Tym08ZT9qoBQ3_7znp2Esj3bV0O8Z1ZyxuJCXwLwAwg_L5pvGpQ5Yjws40686hLSlzHCqVQkc7vcB2emF3IwD7A/s1600/Dades+ordenats+eliminant+quartils+o+dades+allunyats+de+la+mitjana.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Hi ha dades que no són reals. Com les eliminarem?" border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRgW5CDdNT7t3FpnVhyphenhyphengFlPgSfg4tIIMOh6CHeQ_CeqxAVuDypcE47Tym08ZT9qoBQ3_7znp2Esj3bV0O8Z1ZyxuJCXwLwAwg_L5pvGpQ5Yjws40686hLSlzHCqVQkc7vcB2emF3IwD7A/s640/Dades+ordenats+eliminant+quartils+o+dades+allunyats+de+la+mitjana.JPG" title="Hi ha dades que no són reals. Com les eliminarem?" width="531" /></a><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hi ha qui elimina aquells <b>valors més allunyats de la mitjana </b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3LlGbDPIZ2ShbXvPwO_onlh5tVdWAyy7pUSjlTHAQBfcAaR-eqfcajfKM1NJlTa9SsSLKfmQB3PWm_aAADpwhwzGfVn82XUK6GE9cb7148l50xp6S9cWxB9Z1nZPDctMWaejcMAb3nUs/s1000/media+aritm%25C3%25A9tica.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 0em; margin-right: 0em; text-align: center;"><img alt="Mitjana aritmètica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3LlGbDPIZ2ShbXvPwO_onlh5tVdWAyy7pUSjlTHAQBfcAaR-eqfcajfKM1NJlTa9SsSLKfmQB3PWm_aAADpwhwzGfVn82XUK6GE9cb7148l50xp6S9cWxB9Z1nZPDctMWaejcMAb3nUs/s1000/media+aritm%25C3%25A9tica.JPG" title="Mitjana aritmètica" /></a>, distanciats de la mateixa per un múltiple determinat de la desviació típica <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiP8Yi-5Yi4bsbzX6ucPKgAHhQujL56GclUZ9gDbG-BmWiec2ZG16CQllxlP2FYPhA0ACg3KrjbElUn3MNbQdylrE_Rt_VXJGObKuBP1UbVQw-_ySEjabL4JryMQFQ3qrsZ9V2gLfGqQSc/s1000/desviaci%25C3%25B3n+t%25C3%25ADpica.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 0em; margin-right: 0em; text-align: center;"><img alt="Desviació típica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiP8Yi-5Yi4bsbzX6ucPKgAHhQujL56GclUZ9gDbG-BmWiec2ZG16CQllxlP2FYPhA0ACg3KrjbElUn3MNbQdylrE_Rt_VXJGObKuBP1UbVQw-_ySEjabL4JryMQFQ3qrsZ9V2gLfGqQSc/s1000/desviaci%25C3%25B3n+t%25C3%25ADpica.JPG" title="Desviació típica" /></a>, quedant-se així amb l'interval de dades <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6A0aKo5lH2Lg9RqUjb23eNPhL15KaV0zS9m_5E1lGRv1Q799f69ohgVuN6sg0ZHhmuWXacKZh9yUL-ZtGCbvDDatSRyysHMBOcjuaiL7CRyP1ArmLjzHtuBowu3bCT4ITwR5haH-hcJ8/s800/intervalo.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 0em; margin-right: 0em; text-align: center;"><img alt="Interval de dades entorn a la mitjana aritmètica" border="0" height="24" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6A0aKo5lH2Lg9RqUjb23eNPhL15KaV0zS9m_5E1lGRv1Q799f69ohgVuN6sg0ZHhmuWXacKZh9yUL-ZtGCbvDDatSRyysHMBOcjuaiL7CRyP1ArmLjzHtuBowu3bCT4ITwR5haH-hcJ8/s800/intervalo.JPG" title="Interval de dades entorn a la mitjana aritmètica" width="150" /></a>. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En altres casos, s'hi poden ordenar les dades de menor a major, i <b>eliminar el primer i el quart quartil</b>, quedant-nos només amb les dades dels dos quartils centrals, més propers a la <b>mediana</b>.<br />
<br />
Amb qualsevulla d'aquestes dues opcions, veiem que la desviació típica baixa considerablement, fins a uns valors més <b>acceptables</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tot i que en el nostre cas concret, i atès que amb prou feines si disposem de 20 dades, hem de ser cauts a l'hora d'eliminar algunes d'elles. En tot cas, tenim 3 valors que podem donar considerar <b>impossibles</b>.<br />
<br />
- I, quins són?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Si n'hi han 8 persones que asseguren que no surten, no pot haver-hi ni 17 ni 20 festers. I tampoc pot haver 0 jugadors que surtin, perquè llavors tots els jugadors als que els ha sortit el panda haurien d'haver contestat que no coneixen a ningú que surti, és a dir, hauria d'haver diversos zeros, llevat del molt improbable cas de que hagin sortit 20 serps.<br />
<br />
- Ja, una vegada de cada milió de cops que féssim l'enquesta, oi?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFqwQIVb7pwID4BT0go9RYlZJI7XRdloK_lou0KavZYUOeNpeHTRUnxddhIw3jvmRkhIgb7oDBCvGuANUvDjOLPVAfeA14Qc4Cqgsgm9fP3PYAtYFbBpSKiG3dJFIqoE7u4UTlhvFXcrs/s1600/Dades+ordenades+eliminant+els+incorrectes.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Més conclusions sobre l'enquesta. Prometo que és l'última taula de la història." border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFqwQIVb7pwID4BT0go9RYlZJI7XRdloK_lou0KavZYUOeNpeHTRUnxddhIw3jvmRkhIgb7oDBCvGuANUvDjOLPVAfeA14Qc4Cqgsgm9fP3PYAtYFbBpSKiG3dJFIqoE7u4UTlhvFXcrs/s640/Dades+ordenades+eliminant+els+incorrectes.JPG" title="Més conclusions sobre l'enquesta. Prometo que és l'última taula de la història." width="396" /></a>
- Aixó és. Podríem seguir amb el procés <b>eliminant aquells resultats poc probables de ser certs</b>, que serien els que són més allunyats de la mediana o de la mitjana. Encara que en aquest cas pot causar-nos més confusió, ja que pot ser que no tots els jugadores sàpiguen el que fan els restants per les nits.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ja saps que tots ells <b>no són amics</b> entre sí, ni es diverteixen tots junts, pel qual, si eliminem la dada del 2, potser aquesta dada l'ha proporcionat una persona que ha dit la veritat, però que al mateix temps és incorrecta, ja que el jugador que ho ha dit tan sols està segur de que 2 jugadors surten, i no sap res dels altres que també ho fan.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Com la mostra que tenim ara és molt petita, potser el <b>biaix </b>que generem realitzant una <b>selecció </b>de les dades restants sigui més perjudicial que la d'eliminar algunes d'elles, així que ens conformarem amb fer la mitjana de les dates que ens resten.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Llavors, a la fi, quin mètode de depuració de dades triarem?<br />
<br />
- Doncs en un principi, el mètode que ens dóna un <b>coeficient de variació</b> més petit és el dels quartils centrals. En tot cas, la mitjana tots el mètodes en qué hem eliminat dades està propera al valor de 4. I aquesta data coincideix amb la que vam obtenir amb la primera pregunta, així que podem donar per bo que prop d'<b>un 20%</b> dels teus jugadors surten per les nits.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
- Per tant, pots estar content, Fabio. Hi ha una alta probabilitat de que tan sols siguin 4 els jugadors als quals els hi agrada la gresca!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí, ja que això vol dir que el baix rendiment podem corregir-lo amb més entrenament o més sessions tàctiques. Ara només cal convèncer els 4 jugadors que surten de marxa de que es controlin fins després que guanyem el campionat...<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA7MsWr8PstJdU68xD8Ms_-6BIhOmo4aJ0VDIjYLyYuRd3bWX01phocXfzUIhNH0U8QkHudA30vccO3fcFS-e9daAa1VRmNf3BELkg3yclrVT3B8h555Yl8GQhxEpq1UpKVSQx9EsH9i8/s1600/Jugadores+del+Guanzhou+Evergrande+levantando+el+t%C3%ADtulo.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Els jugadors de l'equip xinès, celebrant el títol. Aquesta nit sí que ningú els impedirà que es vagin de marxa." border="0" height="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA7MsWr8PstJdU68xD8Ms_-6BIhOmo4aJ0VDIjYLyYuRd3bWX01phocXfzUIhNH0U8QkHudA30vccO3fcFS-e9daAa1VRmNf3BELkg3yclrVT3B8h555Yl8GQhxEpq1UpKVSQx9EsH9i8/s320/Jugadores+del+Guanzhou+Evergrande+levantando+el+t%C3%ADtulo.JPG" title="Els jugadors de l'equip xinès, celebrant el títol. Aquesta nit sí que ningú els impedirà que es vagin de marxa." width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
I n'estàs segur de que aquesta <b>tècnica </b>que hem emprat és <b>fiable</b>?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Sens dubte. S'atribueix aquest enginyós mètode a <b><a href="http://people.math.umass.edu/~cattani/" target="_blank">Eduardo Cattani</a></b>, professor argentí de Matemàtiques i Estadística de la Universitat de Massachusetts, segons ens refereix Adrián Paenza al seu llibre “Matemática... ¿estás ahí?". D'altra banda, <b>Stanley L. Warner</b>, matemàtic estatunidenc, va publicar al març de 1965 <a href="http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic1463715.files/Randomized%20response%20approach%20to%20sensitive%20issues%20in%20surveys.pdf" target="_blank">un article</a> sobre <a href="http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1965.10480775" target="_blank">tècniques de resposta aleatòria per a eliminar respostes evasives</a> al Journal of the American Statistical Association.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
És clar que hi han certes <b>preguntes sobre temes sensibles</b> com el consum de <b>drogues</b>, el comportament <b>sexual</b>, temas il·legals o prohibits, violència, assetjament, <b>conductes </b>no ben vistes socialment, etc., en què els entrevistats solen respondre amb respostes incorrectes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
La única forma de garantitzar l'<b>anonimat </b>i la <b>confidencialitat</b>, i guanyar-se la <b>confiança </b>del subjete entrevistat és mitjançant aquestos <b>sistemes de respostes aleatòries</b>, encara que no sempre funcionen, uns cops perqué els consultats no acaben d'entendre la mecànica, perquè no acaben de fiar-se del procediment, o perquè malgrat tot, no responen de forma veraç.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8HmcHrmo5I6gL28AWweYJ5G9CyioO_9oskfNQj-eL17C5MEfklqH2UUrWN49gAcSKAkbJKGLCDJTwhp3GCv65M2sDRzrWTf_gim8m58mGGLufQqT8rYuL_0E5GQvMFFx1Mb8J4c-0KoQ/s1600/Pepe+Vitruvio+en+el+centro+de+Cant%25C3%25B3n.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Pepe Vitruvi al principi del carrer de vianants Shangxiajiu, pensant si sopar una hamburguesa o un rotllet de primavera." border="0" height="264" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8HmcHrmo5I6gL28AWweYJ5G9CyioO_9oskfNQj-eL17C5MEfklqH2UUrWN49gAcSKAkbJKGLCDJTwhp3GCv65M2sDRzrWTf_gim8m58mGGLufQqT8rYuL_0E5GQvMFFx1Mb8J4c-0KoQ/s320/Pepe+Vitruvio+en+el+centro+de+Cant%25C3%25B3n.jpg" title="Pepe Vitruvi al principi del carrer de vianants Shangxiajiu, pensant si sopar una hamburguesa o un rotllet de primavera." width="320" /></a>En aquest cas, com hem establert dues preguntes sobre el mateix tema, ens assegurem que el resultat sigui prou fiable.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Fenomenal, Pep. Moltes gràcies per tot. Que ho passis d'allò millor al teu congrés en Xina!<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ben segur que sí, però abans vaig a donar un tomb pel centre de Guangzhou (Cantón), a veure si em trbo amb algun dels meus <a href="http://blog.sina.com.cn/s/blog_1473418f10102vh91.html" target="_blank">amics</a> xinesos, o potser amb algun dels teus jugadors.<br />
<br />
Espero que tingueu sort als pròxims partits, Fabio. Fins aviat!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolEsp-Matematicasyfutbol&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a>
<br />
<br />
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en aquest tema, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-87410-2007-06-30.html" target="_blank">Encuesta con pregunta prohibida</a>, <a href="http://www.scielo.org.mx/scielo.php?pid=S1405-31952008000500006&script=sci_arttext" target="_blank">Muestreo de respuestas aleatorizadas en poblaciones finitas: un enfoque unificador</a>, <a href="http://masteres.ugr.es/moea/pages/tfm-1213/tfm_coborodriguez_beatriz/!" target="_blank">Respuesta aleatoria y técnicas de preguntas indirectas</a>, <a href="http://www.psicologia.ull.es/archivos/revista/ariculosripla2010/El%20anonimato,%20la%20respuesta%20aleatoria%20e%20Internet%20como%20control%20de%20la%20deseabilidad%20social%20en%20contenidos%20sexuales.pdf" target="_blank">El anonimato, la respuesta aleatoria e Internet como control de la deseabilidad social en contenidos sexuales</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblidéu de <b>donar un tomb</b> pel <a href="http://pimedios.es/2015/05/31/resumen-de-la-edicion-6-4-pseudoprimos/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i <b>votar </b>la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: 10px; padding-left: -10px; width: 95%;">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
</div>
<!-- Fin del texto principal -->
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-76183541187973106272015-04-07T13:36:00.000-07:002015-04-13T14:07:36.988-07:00El premi galàctic<!-- Imatge d'entrada de la història -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQz-tMDcpTt1ORVXkAPq4t3ZPNZeYpNyvFgXh-0te5oxyMbDE_Hon1C60qcroBHVna-u1kPULtxHJfYpikA-gbuuTUZ73Y_YI2iHcE1cFS8fNFRkXUcPpIrRucnzwb6sM2zOq_M4iDTNk/s1600/Pep+Vitruvi+en+Un+premi+gal%C3%A0ctic.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="La nova història de Pep Vitruvi: El premi galàctic" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQz-tMDcpTt1ORVXkAPq4t3ZPNZeYpNyvFgXh-0te5oxyMbDE_Hon1C60qcroBHVna-u1kPULtxHJfYpikA-gbuuTUZ73Y_YI2iHcE1cFS8fNFRkXUcPpIrRucnzwb6sM2zOq_M4iDTNk/s1600/Pep+Vitruvi+en+Un+premi+gal%C3%A0ctic.jpg" height="264" title="La nova història de Pep Vitruvi: El premi galàctic" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino" style="text-align: justify;">
<br />
<div>
<b>El llenguatge matemàtic és tan fascinant que, amb unes poques xifres, i un parell d'operacions, podem crear nombres formidables.</b></div>
<div style="text-align: start;">
<br /></div>
<div style="text-align: start;">
</div>
<div class="marino">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/2015/04/resumen-de-la-edicion-62-numero-pi-del.html" target="_blank"><span class="negrita">Edició 6.2 Número Pi</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/" target="_blank"><span class="negrita unidas">La Aventura de la Ciencia</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPvyJHktBrDKAseBm-xALO7cvqt2iLeh-vKCu9r5c4v3M8Hdgt9gY-OOAhIc-zy_SDPF6MvrLsv2LTUHAJE8SzrwefUfhvAfNpeIHn35cZgTlN57xXiUXamb5IP8j3HNIWC0V7VAK2xdM/s1600/El+equipo+de+Los+Angeles+Galaxy+gana+la+Major+League+Soccer.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="L'equip de Los Angeles Galaxy guanya la Major League Soccer" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPvyJHktBrDKAseBm-xALO7cvqt2iLeh-vKCu9r5c4v3M8Hdgt9gY-OOAhIc-zy_SDPF6MvrLsv2LTUHAJE8SzrwefUfhvAfNpeIHn35cZgTlN57xXiUXamb5IP8j3HNIWC0V7VAK2xdM/s1600/El+equipo+de+Los+Angeles+Galaxy+gana+la+Major+League+Soccer.jpg" height="234" title="L'equip de Los Angeles Galaxy guanya la Major League Soccer" width="320" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
Els jugadors de Los Angeles Galaxy estan molt contents. Acaben de <b>guanyar el campionat</b> de la Major League Soccer. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Un cop passades les celebracions pel triomf, el president Chris Klein els ha promès una <b>gratificació econòmica</b> per la seva victòria:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- He vingut al vestidor a comunicar-vos que hem decidit fer-vos un present pel vostre èxit.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Us donarem tants centaus de dòlar com <b>el nombre més gran que sigueu capaços de formar</b> amb tres de les vostres samarretes (no valen les que tinguin dos dígits, ni tampoc s'hi val fer servir el nombre zero ni el símbol de l'infinit, és clar).</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEik1iplmT5QOzaPr7wKqxJJyeH4hKO5OAnsFuEb0E-8YoEQXPMUwVpVNhFNgktnpwA4g3spdySTiqQr8ZLTTwdvHzE39GsDQqLd2EWl5JQByrG5KtkCqHCOYZ-rOZocaIk8UUUBw3vmJ64/s1600/Chris+Klein+pensando+en+una+divisi%C3%B3n+entre+cero.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Chris Klein pensant en una divisió entre zero" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEik1iplmT5QOzaPr7wKqxJJyeH4hKO5OAnsFuEb0E-8YoEQXPMUwVpVNhFNgktnpwA4g3spdySTiqQr8ZLTTwdvHzE39GsDQqLd2EWl5JQByrG5KtkCqHCOYZ-rOZocaIk8UUUBw3vmJ64/s1600/Chris+Klein+pensando+en+una+divisi%C3%B3n+entre+cero.jpg" height="249" title="Chris Klein pensant en una divisió entre zero" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Per exemple, si ajunteu les samarretes amb els nombres 5, 2 i 7, us regalarem 527 centaus de dòlar.</div>
<br />
- Per a cada un?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Oh, no! El nostre pressupost no és tan elevat. Seran 5,27 dòlars per a tots, per que els repartiu entre vosaltres com vulgueu.</div>
<br />
- Podem <b>repetir </b>xifres?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No, no s'hi val utilitzar tres samarretes del mateix jugador.</div>
<br />
- I podem utilitzar <b>símbols matemàtics</b>?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_m4fh11t_kjLTLf7z_r6u2xBNgy_beF3tbKEBlXAWtX_xBSyHXVfQ3R_pHw_Jr9Wc4xErqsMzVCGNV5zBxhcFlzX6tBmG1j1kN5_fyfGjX4qGKY_-XEKrfhyphenhyphenLC1bpmbOtKmGcYwBkX7c/s1600/Chris+Klein+pensando+en+una+multiplicaci%C3%B3n.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Chris Klein pensant en una multiplicació" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_m4fh11t_kjLTLf7z_r6u2xBNgy_beF3tbKEBlXAWtX_xBSyHXVfQ3R_pHw_Jr9Wc4xErqsMzVCGNV5zBxhcFlzX6tBmG1j1kN5_fyfGjX4qGKY_-XEKrfhyphenhyphenLC1bpmbOtKmGcYwBkX7c/s1600/Chris+Klein+pensando+en+una+multiplicaci%C3%B3n.jpg" height="232" title="Chris Klein pensant en una multiplicació" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, d'acord. Sempre i quan no els hi repetiu, i si ho feu haurà d'èsser <b>en substitució d'una xifra</b>. Això és, si utilitzeu per exemple el signe més, llavors haureu d'eliminar un nombre i només podreu utilitzar-ne dos: 5 + 9.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Així que per cada signe que fem servir haurem d'utilitzar una xifra menys, no?</div>
<br />
- Sí, això és.<br />
<br />
- I quan hem de donar-te la resposta?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs demà mateix. El desig del club és que pogueu gaudir ho més aviat possible de la vostra merescuda recompensa...</div>
<br />
- D'acord. Demà et diem alguna cosa.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Els jugadors acorden reunir-se al vespre, després de l'entrenament, per veure quina serà la xifra que demanaran al club.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjB6jwjj3K3L6PyWpcoCR6b3RT8v1V6FpUV0uZ5Pm7-3GFm2xRWA8NYTB0LJBRAnipuVDMtCZG7kaJkcM4Us5K2awHLHpB_CUART2u3-mHtKCDlK1uxfj423owKdzfejbQJ0OA1b2wBmNs/s1600/Pepe+Vitruvio+en+Hollywood.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Pep Vitruvi a Hollywood" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjB6jwjj3K3L6PyWpcoCR6b3RT8v1V6FpUV0uZ5Pm7-3GFm2xRWA8NYTB0LJBRAnipuVDMtCZG7kaJkcM4Us5K2awHLHpB_CUART2u3-mHtKCDlK1uxfj423owKdzfejbQJ0OA1b2wBmNs/s1600/Pepe+Vitruvio+en+Hollywood.jpg" height="356" title="Pep Vitruvi a Hollywood" width="640" /></a><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A més, han trucat a <b>Pep Vitruvi</b>, que está de vacances per la costa oest, per que els hi ajudi amb el problema.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBkY-kIA0yQpL6ysD_iHcbce8F-BydaaeCeeUoPiHT51qseU6AUOf-zXVpmRvaAzxXY4hDqTCuyKAlUpO38W7urRkfGfpkitDA79UeJUyf0z1cnRfMJpBfmBRk_W2UAdlkun34yRjnjVY/s1600/Skyline+de+Los+Angeles.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Skyline de Los Angeles" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBkY-kIA0yQpL6ysD_iHcbce8F-BydaaeCeeUoPiHT51qseU6AUOf-zXVpmRvaAzxXY4hDqTCuyKAlUpO38W7urRkfGfpkitDA79UeJUyf0z1cnRfMJpBfmBRk_W2UAdlkun34yRjnjVY/s1600/Skyline+de+Los+Angeles.JPG" height="125" title="Skyline de Los Angeles" width="320" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
Arriba el vespre, i els futbolistes es reuneixen a l'últim pis d'un gratacels de la ciutat de Los Angeles.</div>
<br />
- Bé, doncs, anem a veure què fem.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Per descomptat,<b> si utilitzem només xifres</b>, és clar que el nombre més alt serà el 987. Així obtindrem <b>987 </b>centaus, és a dir, 9,87 dòlars. Tota una fortuna, a repartir entre tots nosaltres!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí. A més, sembla que si utilitzem símbols matemàtics, l'únic que farem serà perdre diners.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Del <b>signe menys</b> millor ens oblidem. Si l'emprem, tans sols ens hi servirà per obtenir menys centaus. La millor opció, sense poder fer servir el zero, seria 9 - 1 = 8 centaus. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4hQoqMUVD0azSMD80QCi_7UPRqOv_OzWaFE_8n7dOtBCYj-j7PulJSdTPLBrdOVnmvVlMwqU-tBEj0JotnA4Nv9EvualcfaCe1v94ZwurZjg_cEBPnez1YdPaezJfb6iXygUdGDOfD4c/s1600/Signos+matem%C3%A1ticos.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Signes matemàtics bàsics" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4hQoqMUVD0azSMD80QCi_7UPRqOv_OzWaFE_8n7dOtBCYj-j7PulJSdTPLBrdOVnmvVlMwqU-tBEj0JotnA4Nv9EvualcfaCe1v94ZwurZjg_cEBPnez1YdPaezJfb6iXygUdGDOfD4c/s1600/Signos+matem%C3%A1ticos.gif" height="86" title="Signes matemàtics bàsics" width="320" /></a></div>
<span style="text-align: justify;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Pel que fa al <b>signe més</b>, tampoc ens és de gran ajuda. Partint del nostre nombre elegit, si substituïm qualsevulla de les xifres pel signe més, sens dubte perdrem bastants diners. En el millor dels casos, tindrem 9 + 8 = 17 centaus, molt lluny dels 987 inicials.<br />
<br />
- Dons amb el signe de la multiplicació (al qual representarem amb un punt central) tampoc aconseguim millorar el nostre premi. En aquest cas, d'entre tots els productes possibles, el més beneficiós seria 9·8 = 72 centaus. Seguim molt lluny dels 987 centaus.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-LcgORe7bu0W4LfhpqJeWrboTBCqTJ3hkKq7dRpe-hzn3LsIF8SlmexlYvtyM3ynSVuDQkKF9uVoW67f8yaLkDsYbvtswI07GcYmouGcxu89vdXn_0FhN8VYHHYmugfA8GmPLfEZPZxM/s1600/Camisetas+987.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Samarretes amb els números 9, 8 i 7" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-LcgORe7bu0W4LfhpqJeWrboTBCqTJ3hkKq7dRpe-hzn3LsIF8SlmexlYvtyM3ynSVuDQkKF9uVoW67f8yaLkDsYbvtswI07GcYmouGcxu89vdXn_0FhN8VYHHYmugfA8GmPLfEZPZxM/s1600/Camisetas+987.gif" height="133" title="Samarretes amb els números 9, 8 i 7" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Evidentment, si introduïm el <b>signe de la divisió</b>, tampoc aconseguirem res positiu, per no parlar-ne de l'<b>arrel quadrada</b>...</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCz6tHm6Hj8kSzm7B6j1CnR0fI5YXGatW-PA_hBsGsWy6HZE-lPWUQbL0BfUe80Vyq7Lz0cVDmJUbrrhzkb82xfk5HUkfWaototUgVVEbrHrfcD5XJW5o90GoAGSbfGh0LjCm08vVRl9U/s1600/Pepe+Vitruvio+con+sombrero+vaquero.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi amb barret vaquer" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCz6tHm6Hj8kSzm7B6j1CnR0fI5YXGatW-PA_hBsGsWy6HZE-lPWUQbL0BfUe80Vyq7Lz0cVDmJUbrrhzkb82xfk5HUkfWaototUgVVEbrHrfcD5XJW5o90GoAGSbfGh0LjCm08vVRl9U/s1600/Pepe+Vitruvio+con+sombrero+vaquero.gif" height="200" title="Pep Vitruvi amb barret vaquer" width="162" /></a>- No parlem més, demanarem 987 centaus, i assumpte arreglat!<br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Et sembla bé, Pep? Has estat molt callat durant les nostres discussions...</div>
<br />
- No, el que passa és que els vostres arguments eran tots correctes, llevat de la decisió final que heu pres.<br />
<br />
- Per què?<br />
<br />
- Crec que us heu oblidat d'una operació que pot resultar molt profitosa: <span style="text-align: justify;">la </span><b style="text-align: justify;">potenciació</b><span style="text-align: justify;">. Es tracta d'un cas particular de la multiplicació en què un dels nombres (l'</span><span style="text-align: justify;"> </span><b style="text-align: justify;">exponent</b><span style="text-align: justify;">) indica els cops que s'ha de multiplicar l'altre nombre (la</span><span style="text-align: justify;"> </span><b style="text-align: justify;">base</b><span style="text-align: justify;">) per si mateix.</span><br />
<br />
Així, tenim per exemple 9<sup>3</sup>, que vol dir 9·9·9 = 729.<br />
<br />
L'únic que hem de fer és col·locar uns nombres a una alçada diferent dels altres.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Encara que això no ha estat sempre així. Tant els babilonis, com els grecs (especialment Diofant), els àrabs, o els matemàtics medievals van utilitzar diversos símbols i paraules per descriure els quadrats, els cubs, i les restants potències d'un nombre.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Michael Stifel</b>, en la seva <i>‘Integra Arithmetica’</i> de 1544 va introduir el concepte d'exponent. <b>James Hume</b>, en 1636, va decidir situar l'exponent en una línia superior a la de la base, encara que utilitzava nombres romans per designar-los. I finalment <b>Descartes</b>, en la seva obra <i>‘Géométrie’</i> va substituir els incòmodes nombres romans pels indoaràbics.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Així que, gràcies a Descartes, aquesta operació ens sortirà gratis, ja que <b>no hem d'emprar cap caràcter addicional</b> que ens obligui a suprimir una de les xifres. El problema que tenim ara és veure com situem els diferents dígits de la forma més favorable.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiFmGIhtcYVoKoxtWlq-HgOCAJQsjVCMXTq6PhNnupR0G_vR5qEXP0HOdW70e4yMMY3iq9xa8XXU9xqr_VuwMMlqRKO31pKPCVE_kH_RKfV5m5ddlWh4Td9GMZjrO0JZbbuLnvxbtMQ98/s1600/Distintas+combinaciones+de+potencias.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Diferents poténcies que es poden formar amb els nombre 9, 8 i 7" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiFmGIhtcYVoKoxtWlq-HgOCAJQsjVCMXTq6PhNnupR0G_vR5qEXP0HOdW70e4yMMY3iq9xa8XXU9xqr_VuwMMlqRKO31pKPCVE_kH_RKfV5m5ddlWh4Td9GMZjrO0JZbbuLnvxbtMQ98/s1600/Distintas+combinaciones+de+potencias.jpg" height="325" title="Diferents poténcies que es poden formar amb els nombre 9, 8 i 7" width="400" /></a></div>
<br />
Com podeu veure, he eliminat algunes combinacions. Per exemple, sabem que 89<sup>7</sup> ha d'èsser més petit que 98<sup>7</sup>, així que no ho calcularem.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPL7aqJVw24K_xnGH0FEZhlt8tRVHOUWV0Z_rHGmJCq0iuNrvsSeLOKgEcsDBCqirs5D6LfEHE6A5fayDc36Z6pZBY6j8s7ypEdVUZf82fuZaFfjm-rBvGIQDyyH7UMmUGWaqYgR4R2yg/s1600/Calculadora+cient%C3%ADfica.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Calculadora científica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPL7aqJVw24K_xnGH0FEZhlt8tRVHOUWV0Z_rHGmJCq0iuNrvsSeLOKgEcsDBCqirs5D6LfEHE6A5fayDc36Z6pZBY6j8s7ypEdVUZf82fuZaFfjm-rBvGIQDyyH7UMmUGWaqYgR4R2yg/s1600/Calculadora+cient%C3%ADfica.gif" height="200" title="Calculadora científica" width="90" /></a><br />
- Pep, jo en tinc una calculadora científica a la motxilla.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, i jo em vaig descarregar una aplicació de càlcul pel mòbil. Podríem utilitzar-la.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Em penso que no serviran cap de les dues. Tots dos dispositius es bloquejaran amb els càlculs.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- De fet, hi ha nombroses pàgines a l'internet que ofereixen serveis de<b> càlcul per a nombres enormes</b>, què tampoc serien capaços de realitzar alguns d'aquests càlculs. Encara que n'hi ha un que no falla. Es tracta de la pàgina <a href="http://mrob.com/pub/comp/hypercalc/hypercalc-javascript.html" target="_blank">HyperCalc JavaScript</a>. La utilitzarem per veure els resultats de las diferents opcions.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj81NZxNjGYGXtdRrAQFXctrv_QqDahriKjYM8x0G9NhPoXZPALGzc1XX2JnW6PmAmkRarbzVO_EZwlvhsiP0KHhUEMD8a4L73rLrKY4oxThUA13FDb0rD9KsgZ6xH5uBNt6OBDEa-pIKU/s1600/F%C3%B3rmulas+3.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Poténcies senzilles amb resultats enormes" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj81NZxNjGYGXtdRrAQFXctrv_QqDahriKjYM8x0G9NhPoXZPALGzc1XX2JnW6PmAmkRarbzVO_EZwlvhsiP0KHhUEMD8a4L73rLrKY4oxThUA13FDb0rD9KsgZ6xH5uBNt6OBDEa-pIKU/s1600/F%C3%B3rmulas+3.PNG" height="106" title="Poténcies senzilles amb resultats enormes" width="320" /></a></div>
<br /></div>
Ara anem amb la fila de sota de la meva taula de possibles combinacions: <span style="text-align: center;">9</span><sup style="text-align: center;">8<sup>7</sup></sup>, <span style="text-align: center;">9</span><sup style="text-align: center;">7<sup>8</sup></sup>, <span style="text-align: center;">8</span><sup style="text-align: center;">9<sup>7</sup></sup>, <span style="text-align: center;">8</span><sup style="text-align: center;">7<sup>9</sup></sup>, <span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">9<sup>8</sup></sup>i <span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup>. En aquest cas, cada combinació de nombres podem calcular-la de 2 formes diferents. Si agafem el nombre <span style="text-align: center;">9</span><sup style="text-align: center;">8<sup>7</sup></sup>, podem calcular primerament <span style="text-align: center;">9</span><sup style="text-align: center;">8 </sup>i elevar el resultat a 7, o bé calcular primer <span style="text-align: center;">8</span><sup style="text-align: center;">7 </sup>i elevar 9 al resultat que obtinguem.<br />
<br />
Anem a veure els diferents resultats:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjU8Jlf2dGuNMUgCaY5x2-tajt4nJrnfehX8Bc8JOfPttNoHuuexo2Cf2Wm7RYH-kaSeUgoei63ruhXxHACj22TAGJuFQlxaq9VIwvQxHdsKcJ5ORb3EuJwW0PVcRCjLTdHZCHizGTjxPc/s1600/F%C3%B3rmulas+2.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Poténcies senzilles amb resultats enormes" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjU8Jlf2dGuNMUgCaY5x2-tajt4nJrnfehX8Bc8JOfPttNoHuuexo2Cf2Wm7RYH-kaSeUgoei63ruhXxHACj22TAGJuFQlxaq9VIwvQxHdsKcJ5ORb3EuJwW0PVcRCjLTdHZCHizGTjxPc/s1600/F%C3%B3rmulas+2.PNG" height="223" title="Poténcies senzilles amb resultats enormes" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKO8vjEjTGlmK-jLaYWG4fJ__Nqf2uk9WOf2Kkpw_GlBr-AaEz1lgqzqnVKnViymSlP-j0GHI3lW_qvma79izrFOVAGtaI72bcspGi3Yy4SYfDtXZSpTsXgHBwfYrLTJmeMiKeGP0-Xtk/s1600/Pepe+Vitruvio+vestido+de+sheriff.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: justify;"><img alt="Pep Vitruvi vestit de sheriff" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKO8vjEjTGlmK-jLaYWG4fJ__Nqf2uk9WOf2Kkpw_GlBr-AaEz1lgqzqnVKnViymSlP-j0GHI3lW_qvma79izrFOVAGtaI72bcspGi3Yy4SYfDtXZSpTsXgHBwfYrLTJmeMiKeGP0-Xtk/s1600/Pepe+Vitruvio+vestido+de+sheriff.gif" height="320" title="Pep Vitruvi vestit de sheriff" width="136" /></a>- Doncs, a la vista de tot això, la xifra més alta la formem amb la combinació <span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">(8<sup>9</sup>)</sup>. Així que li demanarem al club<b><span style="font-size: x-large;"> <span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup></span></b> dòlars.<br />
<br />
- Decidit! Ja podem anar-nos!<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No correu tant, forasters! Encara ens queda quelcom a fer. </div>
<br />
- A què et refereixes?<br />
<br />
- Bé, em sembla que us oblideu d'un altre símbol aritmètic.<br />
<br />
- Ah, sí? No se m'acut quin.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé. Hi ha un signe que a més d'un li causarà <b>admiració</b>... Es tracta del signe: </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyxeWgOQSBCbhfxwT4wu9CJPiMAdd64zquiHvq3s-EOkcX2EdhtcdEmrpyHRURXLQTUQjfZLDlQnFeTwPBEBNWtiD1zeTVQtPQvb-Zq8QBCQOlm4Pu1AL_PgkZwheVLuAa0OG11IRnG3o/s1600/Signo+de+exclamaci%C3%B3n.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Signe d'admiració o d'exclamació" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyxeWgOQSBCbhfxwT4wu9CJPiMAdd64zquiHvq3s-EOkcX2EdhtcdEmrpyHRURXLQTUQjfZLDlQnFeTwPBEBNWtiD1zeTVQtPQvb-Zq8QBCQOlm4Pu1AL_PgkZwheVLuAa0OG11IRnG3o/s1600/Signo+de+exclamaci%C3%B3n.gif" height="320" title="Signe d'admiració o d'exclamació" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
- Això també és un signe matemàtic? I per a què serveix?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És el signe que representa el <b>factorial </b>d'un nombre. Els nombres factorials consisteixen en el producte de tots els nombres enters positius des de l'1 fins al nombre indicat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Així, el factorial de 5, que s'escriu <i>5!</i> serà el producte dels cinc primers nombres enters: </div>
<br />
<div style="text-align: center;">
5! = 1·2·3·4·5 = 120</div>
<br />
I el factorial de 9 serà:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362.880</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És clar per a què serveixen els signes de sumar o de multiplicar. Però, per a què serveixen aquests nombres factorials?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs s'han utilitzat des de fa molt de temps, sobre tot en <b>combinatòria </b>i en <b>anàlisi matemàtica</b>. Els matemàtics hindús ja els empraven al segle XII. I serveixen, per exemple, per calcular el nombre de formes diferents que hi ha d'<b>ordenar </b>diferents objectes.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDzTJYXGjlmngn3wgsBXHCXJWZH2mDPjWjsAjJNwArDbYP_RujgZWdqDOO9xgY7v0WppE77MBmPNpreuVCXRcqwDwN1ZQ6UJT37DPsNIBVhaZAo4CJWs0SpGHUU9zsTAp1BxfHfP2loCk/s1600/salida+de+jugadores+al+terreno+de+juego.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Jugadors sortint al terreny de joc d'un en un" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDzTJYXGjlmngn3wgsBXHCXJWZH2mDPjWjsAjJNwArDbYP_RujgZWdqDOO9xgY7v0WppE77MBmPNpreuVCXRcqwDwN1ZQ6UJT37DPsNIBVhaZAo4CJWs0SpGHUU9zsTAp1BxfHfP2loCk/s1600/salida+de+jugadores+al+terreno+de+juego.JPG" height="240" title="Jugadors sortint al terreny de joc d'un en un" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Per exemple, si volem saber <b>de quantes formes distintes</b> podeu sortir al camp de futbol els 11 jugadors d'un equip (sortint d'un en un, no en parelles, i suposant que sempre són titulars els mateixos 11 jugadors), tindrem un total de:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
11! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11 = 39.916.800 formes diferents de sortir a l'estadi.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
O sigui, que si cada dues hores jugueu un partit, i no descanseu durant les 24 hores del dia, podrieu estar més de 9.107 anys jugant al futbol sense repetir l'ordre de sortida al terreny de joc.</div>
<br />
- Caram!<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I per què es representen els nombres factorials amb el <b>signe d'exclamació</b>?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVAUF9K0q2oK9HQS26-oLecaXy9uZ5kdO6Oeo7tP-wVWFzrXi4UIKRVTIa3ZUbr0II4CzUiT-hhDr6_l1O03I2dM53Fr6L73S_M3yfGrJXXZ3h_vZcs2bKFa06xx9s_-rC9zgAp9y9THQ/s1600/Christian+Kramp+y+el+s%C3%ADmbolo+factorial.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Christian Kramp i el símbol factorial" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVAUF9K0q2oK9HQS26-oLecaXy9uZ5kdO6Oeo7tP-wVWFzrXi4UIKRVTIa3ZUbr0II4CzUiT-hhDr6_l1O03I2dM53Fr6L73S_M3yfGrJXXZ3h_vZcs2bKFa06xx9s_-rC9zgAp9y9THQ/s1600/Christian+Kramp+y+el+s%C3%ADmbolo+factorial.jpg" title="Christian Kramp i el símbol factorial" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, la primera persona a qui se li va ocórrer utilitzar aquest signe va ser <b>Christian Kramp</b> en <b>1808</b>. Es tractava d'un professor de matemàtiques d'Estrasburg que va realitzar un estudi a fons sobre els nombres factorials. Al principi utilitzava un símbol amb forma d'angle recte, que situava a la cantonada inferior dreta del nombre.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Però tenia problemes amb la impremta, així que per a l'edició del seu llibre <i>Elements d'arithmétique universelle</i>, decidí utilitzar el signe d'admiració a continuació de la xifra.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El que no està clar és per què va escollir precisament aquest signe, que serveix per expressar alegria. El símbol ve de la paraula llatina <b><i>iocundum</i></b>, que significa agradable, alegre, plaent. Primer es va abreujar el mot (<b>io</b>), que es va convertir en una exclamació d'alegria, i en un segòn pas la 'I' majúscula es va ficar a sobre de la 'o' minúscula, i així es va obtenir el símbol, com a signe d'admiració.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmm5DZfbkloPbycqswDph7b4DS6_cxdhrMeeOKmSTJ1hEX2ZmAO_zX1xOMAh-IlCBt28eeOFCfFAi00zc1jCGxkNnUa4GBZD9L8T_zPYZYoMjruuCUvIgjuLpOUS9lnNlyMRrp4Md0mds/s1600/La+palabra+latina+iocundum+y+el+signo+de+admiraci%C3%B3n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="La paraula llatina iocundum i el signe d'admiració" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmm5DZfbkloPbycqswDph7b4DS6_cxdhrMeeOKmSTJ1hEX2ZmAO_zX1xOMAh-IlCBt28eeOFCfFAi00zc1jCGxkNnUa4GBZD9L8T_zPYZYoMjruuCUvIgjuLpOUS9lnNlyMRrp4Md0mds/s1600/La+palabra+latina+iocundum+y+el+signo+de+admiraci%C3%B3n.jpg" height="243" title="La paraula llatina iocundum i el signe d'admiració" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Potser la relació entre el símbol i la <b>funció factorial </b>sigui l'admiració que aquesta causa entre la gent quan calculem el resultat de l'operació. I si no, fixeu-vos en el que passa si canviem un dels nostres nombres, el 7, per un signe d'admiració:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
98! = 9,4268 · 10<sup>153</sup></div>
<br />
Això és, un nombre de 154 dígits!<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjF1Ad9i35Ji54vgYMGcy1hgGcin7nBRPhbUIlpoPyGPDzwqOuTaB8S5XOZ5WlqaQ6KadPiTW43r49j1WNYqq747V_u8yB7b1xRF_TxGii3FxGHfDXyudHPWiNRj4vclEBZKI3uPgujSA/s1600/Factorial+de+98.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Factorial de 98" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjF1Ad9i35Ji54vgYMGcy1hgGcin7nBRPhbUIlpoPyGPDzwqOuTaB8S5XOZ5WlqaQ6KadPiTW43r49j1WNYqq747V_u8yB7b1xRF_TxGii3FxGHfDXyudHPWiNRj4vclEBZKI3uPgujSA/s1600/Factorial+de+98.gif" height="330" title="Factorial de 98" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, es una xifra molt gran. Però recordo que amb la potenciació vam obtenir una quantitat molt més gran:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup><span style="text-align: center;"> = 7</span><span style="text-align: center;">,3785</span><span style="text-align: center;"> · 10</span><sup style="text-align: center;">113.427.138</sup> > <span style="text-align: center;">98! = 9,4268 · 10</span><sup style="text-align: center;">153</sup></div>
<br />
- Llavors ja ho tenim clar. Ens quedarem amb el <span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup><span style="text-align: center;">. </span>O tens alguna sorpresa més per a nosaltres, Pep?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí, encara ens queda <b>combinar ambdues operacions</b> per tractar d'obtenir el nombre més alt possible.<br />
<br />
Si volem complir amb les condicions imposades, sembla que n'hi han sis possibles combinacions. Però em resulta veritablement difícil decidir-me per una d'elles.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiULkPgnD4CUo7-lGpp875lDyOTvKxPcwDoDmW5f-TSto1jdMACst8iZc84ee6r0sPIRPXIj8xFjpRNO90_kW3m3JzlqEnWkpyFBUqMo6t_fqYRG7A-ptTt-ws-eoiYo7iOc652g-rMsq4/s1600/Combinaciones+posibles+de+factoriales+y+potencias.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Combinacions possibles de factorials i potències" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiULkPgnD4CUo7-lGpp875lDyOTvKxPcwDoDmW5f-TSto1jdMACst8iZc84ee6r0sPIRPXIj8xFjpRNO90_kW3m3JzlqEnWkpyFBUqMo6t_fqYRG7A-ptTt-ws-eoiYo7iOc652g-rMsq4/s1600/Combinaciones+posibles+de+factoriales+y+potencias.jpg" height="233" title="Combinacions possibles de factorials i potències" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
No sé pas si serà millor posar el dígit més gran a la base o a l'exponent:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
2<sup>3</sup> (8) <b><</b> 3<sup>2</sup> (9) però 3<sup>4</sup> (81) <b>></b> 4<sup>3</sup> (64)</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I tampoc sé si serà millor col·locar el factorial a la base o a l'exponent:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
2!<sup>3</sup> (8) <b><</b> 2<sup>3!</sup> (64) pero 3!<sup>2</sup> (36) <b>></b> 3<sup>2!</sup> (9)</div>
<br />
Haurem de recórrer de nou a la nostra pàgina d' <a href="http://mrob.com/pub/comp/hypercalc/hypercalc-javascript.html" style="text-align: justify;" target="_blank">HyperCalc JavaScript</a> i calcular-hi els resultats:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRsOS_-mDlR5qjMStopeXeGLGz5dV_17OUwsfuuqA-71QWMAZIj97IU4s-M_0WoltZkFFJk9kHfA8OBOH5OEgFGBPWxLN8xb7q9LrQNlMOQAQBdhKWRTM9x2iY5OLZm2i9DHYKRKvCxXE/s1600/F%C3%B3rmulas+1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Les millors combinacions possibles de potències i factorials" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRsOS_-mDlR5qjMStopeXeGLGz5dV_17OUwsfuuqA-71QWMAZIj97IU4s-M_0WoltZkFFJk9kHfA8OBOH5OEgFGBPWxLN8xb7q9LrQNlMOQAQBdhKWRTM9x2iY5OLZm2i9DHYKRKvCxXE/s1600/F%C3%B3rmulas+1.png" height="60" title="Les millors combinacions possibles de potències i factorials" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Crec que finalment ens decantarem per l'opció de <b>8<sup>9</sup>! </b>abans que la de <span style="text-align: start;"><span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup></span><span style="text-align: start;"> </span><br />
<b><br /></b>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="text-align: center;">8</span><sup style="text-align: center;">9</sup><span style="text-align: center;">! = 1,7828 · 10</span><sup style="text-align: center;">1.032.606.169</sup><span class="Apple-tab-span" style="text-align: center; white-space: pre;"> > </span><span style="text-align: center;">7</span><sup style="text-align: center;">8<sup>9</sup></sup><span style="text-align: center;"> = 7</span><span style="text-align: center;">,3785</span><span style="text-align: center;"> · 10</span><sup style="text-align: center;">113.427.138</sup></div>
<br />
- Sembla que es tracta d'una quantitat prou gran de centaus, però de segur que no representarà cap problema per a Los Angeles Galaxy, oi?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6oDBvLDIu-pCRtRcL5MdWZf3OnOOf3KwOKua3oVkrCnq4_RpseGln7eVEJB9bpfGcqoWfgaW_JjnQdY6bE7Vo_P_mm6w860kw45uubzyJG2Fca3jymlY9Ui589fON1zdTlKad0zTU5ig/s1600/Camisetas+89!.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Samarretes amb els nombres 8 i 9, i el signe d'admiració" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6oDBvLDIu-pCRtRcL5MdWZf3OnOOf3KwOKua3oVkrCnq4_RpseGln7eVEJB9bpfGcqoWfgaW_JjnQdY6bE7Vo_P_mm6w860kw45uubzyJG2Fca3jymlY9Ui589fON1zdTlKad0zTU5ig/s1600/Camisetas+89!.gif" height="166" title="Samarretes amb els nombres 8 i 9, i el signe d'admiració" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Penso que sí serà un problema. Sou conscients del que significa aquesta xifra?</div>
<br />
- Bé…<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Es tracta d'un nombre de més de <b>1.032 milions de dígits</b>.</div>
<br />
- Tampoc és tan gran, oi?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sap quants <b>àtoms </b>hi han <b>a l'univers</b>? Uns 10<sup>87</sup>, això és, un 1 seguit de 88 zeros.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, tampoc hi ha tanta diferència entre el dos nombres. Tan sols unes quantes xifres més a l'exponent.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia7SuYYsFL9o0niGaL5C3p4_yNeOnjKnu8V5AL1AExuMsBp-ex0VkKr_mx6TJv_J0fwsXdto4A3VNARSiUz8ZlPRK1kJgpVkssDeVz1WxxKuTotwk7WoTrcG1REU9Dnowt0IHLFKAZS4g/s1600/Comparaci%C3%B3n+entre+cifras+elevadas.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparació entre xifres elevades" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia7SuYYsFL9o0niGaL5C3p4_yNeOnjKnu8V5AL1AExuMsBp-ex0VkKr_mx6TJv_J0fwsXdto4A3VNARSiUz8ZlPRK1kJgpVkssDeVz1WxxKuTotwk7WoTrcG1REU9Dnowt0IHLFKAZS4g/s1600/Comparaci%C3%B3n+entre+cifras+elevadas.gif" height="205" title="Comparación entre cifras elevadas" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- La veritat és que amb les notacions científiques hom perd una mica la proporció i la magnitut dels nombres. Per a iniciar-se'n en el tema, hi ha una magnífica pàgina que l'explica molt bé: <a href="http://apod.nasa.gov/apod/ap120312.html" target="_blank">L'escala de l'univers</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Fixeu-vos: s'estima que el <b>volum d'un electró</b> és de 9,36×10<sup>−44</sup> m<sup>3</sup>, i que el <b>volum de l'univers</b> és de 7·10<sup>81</sup> m<sup>3</sup>. Doncs bé, si omplíssim completament l'univers d'electrons, la xifra d'aquests seria de <b>7,4786 · 10<sup>124</sup></b>. Això sempre que no deixéssim cap espai entre ells, lo qual no sembla possible degut a les lleis del <a href="http://www.matifutbol.com/es/balones.html" target="_blank">empaquetament d'esferes</a>. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYz7i0M_aWjnc7qUDTD4gGGAfGLcf64_xwzj7XYDghRWFiLgzUMkhHCRTKyD0AJVbU0vMOsfDzbUyCXX1Qxw7ctHflIL1XtgEBGoFS9H6vpr5KmH80qaCLRYbLeR4X83kBnbbh1-KnD-Y/s1600/Universo+lleno+de+electrones.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Univers ple d'electrons" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYz7i0M_aWjnc7qUDTD4gGGAfGLcf64_xwzj7XYDghRWFiLgzUMkhHCRTKyD0AJVbU0vMOsfDzbUyCXX1Qxw7ctHflIL1XtgEBGoFS9H6vpr5KmH80qaCLRYbLeR4X83kBnbbh1-KnD-Y/s1600/Universo+lleno+de+electrones.jpg" height="408" title="Univers ple d'electrons" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ara imagineu-vos que tot l'univers, ple així d'electrons, el comprimíssim a la mida d'un electró, i tornéssim a omplir un univers igual que el nostre d'aquests petits 'universos' plens d'electrons.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I que repetíssim aquest procés 8 milions de vegades. L'univers final, ple de petits universos, plens de petits universos, plens de petits universos….(8 milions de vegades)… plens de petits universos plens d'electrons contindria tants electrons com centaus us hauria de donar el club.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHo3G84d4iPL98IKkuWg1fBKVefxQvadLEaaazKOpg7I6DMB-GWOT-Y_OXmskvDvijKrvNzZyAvMXGhv44fZdPSws6hSFSAtA6rqu_Tei7nvwHoXFtxmzeb2Y1gushA6_l4C1FurgIe-c/s1600/8+millones+de+universos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Universos d'universos d'universos... plens d'electrons" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHo3G84d4iPL98IKkuWg1fBKVefxQvadLEaaazKOpg7I6DMB-GWOT-Y_OXmskvDvijKrvNzZyAvMXGhv44fZdPSws6hSFSAtA6rqu_Tei7nvwHoXFtxmzeb2Y1gushA6_l4C1FurgIe-c/s1600/8+millones+de+universos.jpg" height="324" title="Universos d'universos d'universos... plens d'electrons" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí que sembla una quantitat molt gran. Potser hauriem de triar una de les altres combinacions de xifres, que sí pugui assumir el club…</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, s'estima que els diners que circulen en tot el món són uns <b>80 bilions de dòlars</b> (10<sup>12</sup> $). Així que ja sabéu quin és el límit superior de la vostra petició.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-qTGQZDO3HcPFPSqkftYSWTS3xDsNYZG9N5ij0cpmsW4NmkXeWudjy7r0pKlr0ETW4oBWa6teffn2uDgMDbFFuFmD67hLVaQfcsoEbubDq5WaooEXPEzVQ6Gd4XE0xSjDNI4aMSDAeBM/s1600/La+sonrisa+de+los+j%C3%B3venes+aficionados.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="El somriure dels joves aficionats" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-qTGQZDO3HcPFPSqkftYSWTS3xDsNYZG9N5ij0cpmsW4NmkXeWudjy7r0pKlr0ETW4oBWa6teffn2uDgMDbFFuFmD67hLVaQfcsoEbubDq5WaooEXPEzVQ6Gd4XE0xSjDNI4aMSDAeBM/s1600/La+sonrisa+de+los+j%C3%B3venes+aficionados.jpg" height="281" title="El somriure dels joves aficionats" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
I el límit inferior crec que també el coneixeu: quan entrava a l'edifici he vist un munt de <b>petits aficionats</b> que s'han congregat a la porta perquè sabien que us havíeu reunit aquí, i m'han demanat que us digués que si els hi podeu signar uns <b>autògrafs</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí, potser serà millor que ens oblidem de fer més comptes, doncs ja tenim prou <b>recompensa </b>amb la que obtindrem pel somriure d'aquests nois. Crec que la nostra satisfacció i la dels nois també la podriem calcular en forma de potència, veritat Pep?<br />
<br />
Baixem ara mateix!</div>
<br />
<br />
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolEsp-Matematicasyfutbol&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a><br />
<br />
<div>
<br /></div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Enllaços a altres pàgines -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en aquest tema, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://www.taringa.net/posts/apuntes-y-monografias/14895017/La-historia-de-los-simbolos.html" target="_blank">La historia de los símbolos</a>, <a href="http://espejo-ludico.blogspot.com.es/2008/04/con-tres-cifras.html" target="_blank">Con tres cifras</a>, <a href="http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/babiegipt/babiegipto.html" target="_blank">Babilonia y Egipto</a>, <a href="http://www.epsilones.com/paginas/signos/signos-013-exponente.html" target="_blank">Exponente de una potencia</a>, <a href="http://www.ehowenespanol.com/historia-exponentes-sobre_265082/" target="_blank">La historia de los exponentes</a>, <a href="http://www.experientiadocet.com/2012/09/la-evolucion-del-simbolismo-matematico.html" target="_blank">La evolución del simbolismo matemático</a>.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
No us oblidéu de <b>donar un tomb</b> pel <a href="http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/2015/04/resumen-de-la-edicion-62-numero-pi-del.html" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i <b>votar </b>la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: 10px; padding-left: -10px; width: 95%;">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-81461929081918386722015-01-24T08:11:00.001-08:002015-01-31T14:18:50.887-08:00Flavi Josep i el joc del puisi-nanoq.<!-- Resum de la página -->
<span style="display: none;">Un fet històric de fa 20 segles va desembocar en un problema matemàtic que encara avui dóna bastant de què parlar: el problema dels jueus. En ell es combinen els algoritmes recursius, les permutacions, l'aritmètica modular i els processos d'eliminació dels elements d'un conjunt.
</span>
<!-- Imatge d'entrada de la història -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_bX-seAzm4uWq_0gCbyOjvgb7_RNg6zXtZj9MDW7f5T0mv_-WBNl3bssI-7fIwZ3AR9ZsTGvMPrZh-K6OYa-S2vOiWHLB18aSCr-wpzb1WCmMgsIke6WIrSeMALYAHiCafSL0b0QMZb8/s1600/cuadro+resumen+de+la+historia+groenlandesa.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi s'enfronta en Groenlàndia al seu nou repte: el joc del puisi-nanoq." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_bX-seAzm4uWq_0gCbyOjvgb7_RNg6zXtZj9MDW7f5T0mv_-WBNl3bssI-7fIwZ3AR9ZsTGvMPrZh-K6OYa-S2vOiWHLB18aSCr-wpzb1WCmMgsIke6WIrSeMALYAHiCafSL0b0QMZb8/s1600/cuadro+resumen+de+la+historia+groenlandesa.jpg" height="266" title="Pep Vitruvi s'enfronta en Groenlàndia al seu nou repte: el joc del puisi-nanoq." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino" style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="https://ztfnews.wordpress.com/2015/01/28/carnaval-de-matematicas-resumen-de-la-edicion-5-x-sofia-kovalevskaya/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.X Sofia Kovalévskaya</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="https://ztfnews.wordpress.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">::ZTF News</span></a>.)
</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZmBwHV7ssUDKwCdb2NKIVQLbgHWyFb2b6ytNRSTSnb0kp1esPS656Le_IXRYKAgNxQZ6oiUxtJtRv3jw-HTvvmp8t4HQDxpm0iJXu9rvNesVjq4T_UQpkoXG4LbP7pzJaHJGGxeNzhOM/s1600/Bandera+y+escudo.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Escut de la Federació de Futbol de Groenlàndia i bandera del país" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZmBwHV7ssUDKwCdb2NKIVQLbgHWyFb2b6ytNRSTSnb0kp1esPS656Le_IXRYKAgNxQZ6oiUxtJtRv3jw-HTvvmp8t4HQDxpm0iJXu9rvNesVjq4T_UQpkoXG4LbP7pzJaHJGGxeNzhOM/s1600/Bandera+y+escudo.jpg" height="192" title="Escut de la Federació de Futbol de Groenlàndia i bandera del país" width="320" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
L'entrenadora de la selecció de <b>Groenlàndia </b>està molt preocupada. Aquest cap de setmana es juguen la classificació pels <b>Jocs Olímpics</b> de Rio de Janeiro, i té un problema molt seriós amb la seva capitana.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Existeix a l'equip la tradició de <b>tirar a sorts </b>qui <b>ha de llançar els penals</b>, entre les diferents jugadores que vulguin tirar-los.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El problema és que, des de fa un temps, <b>tots els ha llançat la capitana</b>, i aquesta ha fallat els últims 10 que ha tirat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Pipaluk</b>, la seleccionadora, ha decidit trucar al seu amic <b>Pep Vitruvi</b>, per que li ajudi a resoldre aquest misteri, i així aconseguir afrontar el proper partit amb les màximes garanties.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Pep accepta la invitació de Pipaluk, i aquesta el rep a l'aeroport de Nuuk.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh18qjTkdJfHeCQmVwQw5lFfVS9GRW9pOHTdQlE21H07oT69xhrBxSVptMwlECWTtJuIYlI9nMEXLheAVtYJl_LUaAphI6O4AUTm5xylJqjvTHTNVnGftxp4nUxDorQ8NH_7K8wK5O-Uzg/s1600/Pepe+Vitruvio+en+el+aeropuerto+de+Nuuk.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Pep Vitruvi a la seva arribada a l'aeroport de Nuuk" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh18qjTkdJfHeCQmVwQw5lFfVS9GRW9pOHTdQlE21H07oT69xhrBxSVptMwlECWTtJuIYlI9nMEXLheAVtYJl_LUaAphI6O4AUTm5xylJqjvTHTNVnGftxp4nUxDorQ8NH_7K8wK5O-Uzg/s1600/Pepe+Vitruvio+en+el+aeropuerto+de+Nuuk.jpg" height="428" title="Pep Vitruvi a la seva arribada a l'aeroport de Nuuk" width="640" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Hola Pep, estic encantada de que hagis vingut a ajudar-me.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No és res. Digues quin és el problema.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Serà millor que ho vegis per tu mateix. Et convido a l'entrenament de demà.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- D'acord, allà ens veiem.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5bDgzn_2oZb_bS9ndpZgH4NHe4O1AbWzdZ1aepyNY1pRD-ES-apHkPcjkgJ4xsvODxHSGeHuNZflMJoXhxuPzm8Yb9nOTNfoZqPbKOAwJFR9FGWbpgZ2TItma2QW7OSALVYCKFnEnDVg/s1600/jugadoras+en+c%C3%ADrculo.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Jugadores de futbol formant un cercle" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5bDgzn_2oZb_bS9ndpZgH4NHe4O1AbWzdZ1aepyNY1pRD-ES-apHkPcjkgJ4xsvODxHSGeHuNZflMJoXhxuPzm8Yb9nOTNfoZqPbKOAwJFR9FGWbpgZ2TItma2QW7OSALVYCKFnEnDVg/s1600/jugadoras+en+c%C3%ADrculo.jpg" title="Jugadores de futbol formant un cercle" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
L'endemà, Pep acudeix a l'estadi, i observa la curiosa <b>forma d'elegir a la persona</b> que llançarà el penal.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Què és això que fan quan han de llançar un penal? Per què es posen totes <b>en cercle</b>?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És la seva forma de triar quina d'elles ho llançarà: fan <b>el joc del puisi-nanoq</b> (que significa foca-óssa en groenlandès).</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I això què és?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs es col·loquen totes les jugadores dispostes a xutar el penal en un cercle, i<b> es van eliminant </b>de la següent forma. Comencen a comptar des d'una d'elles, dient: puisi-nanoq-puisi-nanoq... (foca-óssa-foca-óssa...) I totes a les quals les hi toca l'<b>óssa</b>, queden <b>eliminades</b>. La darrera ‘foca’ serà qui tiri el penal.</div>
<br />
- Com dius?<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXZKH1yOzsU84zX7-_EgLwdLlRpLzdQh42BQUb-DIs6nFvWjBsbZ8VUPJW70d5_88C_QksbxVpLLy-NjiJvOT3T7N9dFrbLidztdzlnWa5iC0ep0-j7PlTvewxzWheqBEPyaTgKIwiR98/s1600/Foca+polar.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="puisi - foca en groenlandès" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXZKH1yOzsU84zX7-_EgLwdLlRpLzdQh42BQUb-DIs6nFvWjBsbZ8VUPJW70d5_88C_QksbxVpLLy-NjiJvOT3T7N9dFrbLidztdzlnWa5iC0ep0-j7PlTvewxzWheqBEPyaTgKIwiR98/s1600/Foca+polar.gif" height="200" title="puisi - foca en groenlandès" width="191" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTj-3CNYpAVtBEw2eZwCNzlYVtgnq6nPIB4JSw9AmEbqmulea05Py1tyrWQW2wJJogbKh-6yUZk4kUrxQFy9vBXJ1fEFICt8iZGc8nrVU70aakLFsb6KviddNYLIz-cs8LaWfWvFQd1UQ/s1600/Osa+polar.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="nanoq - óssa en groenlandès" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTj-3CNYpAVtBEw2eZwCNzlYVtgnq6nPIB4JSw9AmEbqmulea05Py1tyrWQW2wJJogbKh-6yUZk4kUrxQFy9vBXJ1fEFICt8iZGc8nrVU70aakLFsb6KviddNYLIz-cs8LaWfWvFQd1UQ/s1600/Osa+polar.gif" height="195" title="nanoq - óssa en groenlandès" width="200" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, és molt senzill, aquí es juga des de la llar d'infants. Es comença a comptar des d'una d'elles (li assignarem el número 1), de manera que aquesta primera jugadora, a qui li correspon una <b>foca</b>, <b>es queda al cercle</b>, i la segona (óssa) és eliminada. La tercera (foca) es queda en el cercle, i la quarta (óssa) és eliminada. I així van fent, eliminant una jugadora de cada dos, i cada cop <b>es va estrenyent més el cercle</b>, fins que <b>només queda una</b>, que serà qui tiri el penal.</div>
<br />
<div class="MsoListParagraphCxSpLast">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEgpWNCcqTSKQ0yUpxqn4EtCadU7RwrKo_bhoGPSFv7q1bBUq54s2RWe4XIHH5jKNNGi69PuqTlWghTFvYKTVsHoAmHUGZzCQHDJ9Jmgv-FUWFzsASQsEazLBcJIWA1UhphqayAABftzQ/s1600/Juego+1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Les jugadores a les que li correspon l'óssa queden eliminades" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEgpWNCcqTSKQ0yUpxqn4EtCadU7RwrKo_bhoGPSFv7q1bBUq54s2RWe4XIHH5jKNNGi69PuqTlWghTFvYKTVsHoAmHUGZzCQHDJ9Jmgv-FUWFzsASQsEazLBcJIWA1UhphqayAABftzQ/s1600/Juego+1.gif" height="312" title="Les jugadores a les que li correspon l'óssa queden eliminades" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfmuysoX7w5lfKLRSav2pNf3y7x72W2PpIi8AqEtuoZOaVhaTbkchOqSHfFlE5AS9mmL7JmX3ikj3qFlJHaJZFyYmOCcdOcnNckkhOXkiZoGKjh18A048QRqS4xtaLt-2KDKw2CfeP_JU/s1600/flecha+amarilla.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfmuysoX7w5lfKLRSav2pNf3y7x72W2PpIi8AqEtuoZOaVhaTbkchOqSHfFlE5AS9mmL7JmX3ikj3qFlJHaJZFyYmOCcdOcnNckkhOXkiZoGKjh18A048QRqS4xtaLt-2KDKw2CfeP_JU/s1600/flecha+amarilla.png" height="108" width="200" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhadFCgMvc2DMJyzKagjqhlz6WW4KGGlY1zj55uTPC_BkD4iC54phPsZRdpQPPFmsnCyeybGAGid-Cmhol7w4ma7Rt5gkht_vjcSrAU54TRRyv7lGsLa1cCkNScbgVH2oTlmVi7301itMs/s1600/Juego+2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Se segueix amb les eliminacions fins que només quedi una jugadora" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhadFCgMvc2DMJyzKagjqhlz6WW4KGGlY1zj55uTPC_BkD4iC54phPsZRdpQPPFmsnCyeybGAGid-Cmhol7w4ma7Rt5gkht_vjcSrAU54TRRyv7lGsLa1cCkNScbgVH2oTlmVi7301itMs/s1600/Juego+2.gif" height="312" title="Se segueix amb les eliminacions fins que només quedi una jugadora" width="320" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no veig on és el problema. Els tres penals que han llançat els ha tirat una jugadora diferent. Segons he vist, <b>varia el nombre de jugadores</b> que s'ofereixen a llançar el penal cada cop. I a més, <b>cada vegada s'ordenen de manera diferent</b> en formar el cercle, i <b>comencen a comptar per una jugadora diferent</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, així és als <b>entrenaments</b>. Però als <b>partits oficials</b>, la capitana té el dret de ser ella qui faci el recompte, i de començar per la jugadora que ella vulgui. I curiosament, en les 10 últimes ocasions sempre ha estat ella l'elegida per a llançar els penals.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Això no seria un problema si els llancés bé. Però és la pitjor de totes en aquest aspecte del joc, i ja hem perdut alguns partits per aquest motiu. El dissabte ens juguem la classificació per les Olimpiades, i no vull que ens passi el mateix. Ella diu que no fa trampes, que tot <b>es deu a la sort</b>. És realment així, Pep?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK0gZL3uSGzLdfIp03foH-XmVQ3VDluF_zlj2zq5yeHo5fge99g71KAUUD5lNfF6f_HrT_Lu-5_dTPg6BtD41gOE1FCHtbevKNB0tTkUG5HEzA1_Ipiz20hk_7-jQK3mWuNEAzFU3YPq4/s1600/Flavio+Josefo.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Bust de Flavio Josefo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK0gZL3uSGzLdfIp03foH-XmVQ3VDluF_zlj2zq5yeHo5fge99g71KAUUD5lNfF6f_HrT_Lu-5_dTPg6BtD41gOE1FCHtbevKNB0tTkUG5HEzA1_Ipiz20hk_7-jQK3mWuNEAzFU3YPq4/s1600/Flavio+Josefo.jpg" height="200" title="Bust de Flavio Josefo" width="133" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Una pregunta, Pipaluk: la capitana és matemàtica?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No. És llicenciada en <b>Història </b>per la Universitat de Nuuk.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, això també explicaria la seva habilitat. Segurament que coneix<b> la història de Flavi Josep</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Qui és aquest?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, es tracta d'una història molt antiga, del <b>segle I d.C.</b>, quan <b>Roma </b>dominava tota la Mediterrània. <b>Els jueus s'havien revoltat</b> contra l'imperi, però l'exèrcit romà era molt poderós.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJTedClYH4FQNX-5gfTu2bKKW1p3QZgGLfqJjFr-YdSUggLGqPJOM9_ZUNYKRKXWRyZLhGh535LVgS2iGkxOS4fTiLkAF_Aglwmn9v_ITyZUhH87D6I8d_YFDY9P5ECRXzz1RDhuZopVc/s1600/mapa+del+imperio+romano.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Extensió de l'Imperi Romà al segle I d.C." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJTedClYH4FQNX-5gfTu2bKKW1p3QZgGLfqJjFr-YdSUggLGqPJOM9_ZUNYKRKXWRyZLhGh535LVgS2iGkxOS4fTiLkAF_Aglwmn9v_ITyZUhH87D6I8d_YFDY9P5ECRXzz1RDhuZopVc/s1600/mapa+del+imperio+romano.jpg" height="435" title="Extensió de l'Imperi Romà al segle I d.C." width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- <b>Al capdavant de l'exèrcit</b> de Galilea estava<b> Flavi Josep</b>, que era descendent d'una família de sacerdots lligada a la monarquia d'Israel. Portaven uns mesos defensant-se de les legions romanes a la <b>fortalesa </b>inexpugnable de <b>Jotapata</b>, però ja no podien resistir més el cèrcol romà.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdVh7qP97hI0eUlegExp8nPpfXCnd3Hx4Cr7OfkwifZdF52j7cDa2iK48V08a0aBcK93hXHxyvBvnDN2ejTx8a9JwpLkDOJDu4_j3fN-Qyg42JMxGYXHqGyBWgqZOr-aeeionlyFG2gcg/s1600/fortaleza+de+jotapata.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Gravat del setge de Jotapata" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdVh7qP97hI0eUlegExp8nPpfXCnd3Hx4Cr7OfkwifZdF52j7cDa2iK48V08a0aBcK93hXHxyvBvnDN2ejTx8a9JwpLkDOJDu4_j3fN-Qyg42JMxGYXHqGyBWgqZOr-aeeionlyFG2gcg/s1600/fortaleza+de+jotapata.jpg" height="452" title="Gravat del setge de Jotapata" width="640" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- En veure que havien de ser capturats, van decidir suïcidar-se abans de ser presos per l'exèrcit enemic. Però com la llei jueva els prohibia el suïcidi, van adoptar <b>un curiòs procediment</b> per dur a terme el seu propòsit, que es coneix en Matemàtiques i Ciències de la Computación com <b><span style="color: blue; font-size: 130%;">el problema dels jueus</span></b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Els 41 soldats jueus que encara quedaven vius <b>van formar un cercle</b>, igual que fan les teves jugadores. En el seu cas, anaven comptant de 3 en 3, de forma que al soldat assenyalat en tercer lloc li matava el company a la seva dreta. I així van seguir comptant fins que només va quedar Flavi Josep, el qual sí havia de suïcidar-se, segons havien acordat. Però no ho va fer, sinò que <b>es va lliurar a les tropes romanes</b>.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOhDOXopESKkE54H7CMKRTXqZOgwA6LU7JwEebkpvnYHDhDFNTP0Vu-Wa2iDHw2RVR5hVPxyB8b-4BS_xlPpm1iiTQSSLs2IhN0KgOTHzCSaO_tweSn8jR9_GOUXNZMi8Os7AusjQsT3I/s1600/Flavio+Josefo+y+Vespasiano.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Bustos de Flavi Josep i Vespasià davant del Coliseu Romà" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOhDOXopESKkE54H7CMKRTXqZOgwA6LU7JwEebkpvnYHDhDFNTP0Vu-Wa2iDHw2RVR5hVPxyB8b-4BS_xlPpm1iiTQSSLs2IhN0KgOTHzCSaO_tweSn8jR9_GOUXNZMi8Os7AusjQsT3I/s1600/Flavio+Josefo+y+Vespasiano.jpg" height="191" title="Bustos de Flavi Josep i Vespasià davant del Coliseu Romà" width="320" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Va ser enviat a Roma com a <b>esclau </b>de la família imperial Flàvia, de la qual va adoptar el seu nom. Gràcies a la seva formació acadèmica i a les seves dots diplomàtics, fou finalment <b>alliberat per l'emperador Vespasià</b>, desenvolupant una àmplia labor a Roma com a historiador i literat. Entre les seves obres, trobem la narració d'aquest succés que va marcar la seva vida.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Hi ha qui pensa que es va salvar per casualitat, o gràcies a la Divina Providència, como ell afirmava, però sembla evident que sabia on s'havia de col·locar per lliurar-se del fatal desenllaç.<br />
<br /></div>
<span style="text-align: justify;">- I això mateix és el que passa amb la teva <b>capitana</b>. Ella és qui <b>va comptamt</b> qui se salva i qui s'elimina. Així que sap molt bé com fer per ser ella qui tiri el penal.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però ella és la primera en col·locar-se al cercle. No sap pas com es col.locaran la resta de jugadores, ni quantes seràn.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És veritat, però també es qui <b>decideix per on començar a comptar</b>. I aquí està el truc. Ella sap en quina posició ha de situar-se respecte a la primera jugadora en què comença a comptar, per així ser l'última eliminada.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ah! I com ho fa?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- T'ho explicaré amb un grup de 6 jugadores. Les posarem un nombre, <b>començant per la de dalt, i seguint l'ordre de les agulles del rellotge</b>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdww0Kza0xjyvVTu0BmV7Gpf3uj2l-8elEXk4vgzNoEGBQb5L9xQq-fht7k2w4asOqB8zwWSqx0JRhJxqNybfzIcYSIWVg-lXRqnNvyOtDt-2aAC9JyMa3csqd-pmLxSamPt1IELWKEII/s1600/juego+con+6+jugadoras.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Es comença des de la jugadora de dalt, i es van eliminant les jugadores a les quals les correspon una óssa" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdww0Kza0xjyvVTu0BmV7Gpf3uj2l-8elEXk4vgzNoEGBQb5L9xQq-fht7k2w4asOqB8zwWSqx0JRhJxqNybfzIcYSIWVg-lXRqnNvyOtDt-2aAC9JyMa3csqd-pmLxSamPt1IELWKEII/s1600/juego+con+6+jugadoras.gif" height="400" title="Es comença des de la jugadora de dalt, i es van eliminant les jugadores a les quals les correspon una óssa" width="370" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I ara anem a jugar al vostre joc del foca-óssa-foca-óssa. Comencem per la jugadora número <b>1</b>, a la qual li correspon una <b>foca</b>. A la <b>2</b> li correspon una <b>óssa</b>, i l'eliminem. A la <b>3</b> li toca la <b>foca</b>, i la <b>4</b> és <b>óssa </b>i queda també eliminada.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ja només queden 4 jugadores en el cercle. Continuem amb la <b>5</b> (<b>foca</b>), que se salva, i eliminem a la número<b> 6 </b>(<b>óssa</b>). Seguim donant la volta, de forma que a la <b>1</b> li correspon un altre cop la <b>foca</b>. La <b>3</b> és <b>óssa</b>, així que l'eliminem. La <b>5</b> és <b>foca</b>, i es lliura, i ara la <b>1</b> és <b>óssa </b>i queda eliminada. Serà la número <b>5</b> qui llanci el penal.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ja sabem que amb 6 jugadores, l'elegida serà la número 5. Si seguim aquest procediment amb diferents quantitats de jugadores, tindrem els següents resultats:<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQkE1BGRZUAZhHiR9BHFrAaRgskSut6ae1tV0m7-Z4TOfLXh-GrvkutL1TwEGqTHTqCMSVX1Z4CNT4BguS08KeMFaCxwWA0XgISuZFwt_4cB9nF9cxtOyJQkdLPGqXCbt6rKGjQyC_alo/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+dos+en+dos+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQkE1BGRZUAZhHiR9BHFrAaRgskSut6ae1tV0m7-Z4TOfLXh-GrvkutL1TwEGqTHTqCMSVX1Z4CNT4BguS08KeMFaCxwWA0XgISuZFwt_4cB9nF9cxtOyJQkdLPGqXCbt6rKGjQyC_alo/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+dos+en+dos+1.jpg" height="170" title="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ara ho entenc, el que ha fet la capitana ha estat <b>aprendre tota aquesta <a href="https://oeis.org/A006257" target="_blank">seqüència</a> de nombres</b>, per saber en quina posició s'ha de col·locar en funció de la quantitat de jugadores que formen el cercle, oi?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Pot ser, encara que no cal aprendre'ls de memòria. Podem <b>trobar una fòrmula</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I com seria?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-Si ens fixem en la taula, veurem que quan el nombre de jugadores és <b>potència de 2</b> (1, 2, 4, 8, 16, 32), la jugadora que <b>se salva</b> és<b> la número 1</b>, és a dir, la jugadora per qui comencem el joc.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9Psak4YLsrL8lw50LnUMmLnW-rTmiQn6Q19mGot6a-kD6hH9CrhkUMdHtSBSxyw8iiCwbiOW30Z0ut2fiO0AEZYrPkuXic4qiUCe9sbQZbf9TSvFb6Ek0giHGGRAJYU2Y3mhqzwU2YBc/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+dos+en+dos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9Psak4YLsrL8lw50LnUMmLnW-rTmiQn6Q19mGot6a-kD6hH9CrhkUMdHtSBSxyw8iiCwbiOW30Z0ut2fiO0AEZYrPkuXic4qiUCe9sbQZbf9TSvFb6Ek0giHGGRAJYU2Y3mhqzwU2YBc/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+dos+en+dos+2.jpg" height="172" title="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 2 en 2" width="640" /></a><br />
<br />
- Doncs sí, és veritat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Això és fàcil d'entendre si l'analitzem una mica. Posem que tenim 16 jugadores (16 és potència de 2: 2<sup>4 </sup>= 16).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX2_8xI_4YIjIFX3YdTL5DSrhaD6obYF3tDLAjmZg0K-WtoMM5kT5pJOPo0jUXWztXWHbS6Io60Zctrx9_p2jS_Hhp0oAL3klz5cpdTm2sMXo27wVezefNfzWYhr-CrAkrK_O-KLumQKw/s1600/hexadecagono+2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Cercle amb 16 jugadores" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX2_8xI_4YIjIFX3YdTL5DSrhaD6obYF3tDLAjmZg0K-WtoMM5kT5pJOPo0jUXWztXWHbS6Io60Zctrx9_p2jS_Hhp0oAL3klz5cpdTm2sMXo27wVezefNfzWYhr-CrAkrK_O-KLumQKw/s1600/hexadecagono+2.gif" height="283" title="Cercle amb 16 jugadores" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- En la <b>primera volta</b> al cercle, <b>s'eliminaran</b> totes les jugadores que ocupin <b>posicions parelles</b>, i ens quedaran la meitat de les jugadores.<br />
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYE0A0PyQjuMj1xSO3oPQwWTYQ2iG0mbLifkL7KZzfXENQ6aX2PvFL-eFoWPrRuTZGnNetjGeZhC515jotmJovnmpHCdBmc8Dbq9LRO5yew29rmq4QF-326YXkd26iU_kxYCAPW_SU9ho/s1600/primera+volta.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Primera volta d'eliminacions" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYE0A0PyQjuMj1xSO3oPQwWTYQ2iG0mbLifkL7KZzfXENQ6aX2PvFL-eFoWPrRuTZGnNetjGeZhC515jotmJovnmpHCdBmc8Dbq9LRO5yew29rmq4QF-326YXkd26iU_kxYCAPW_SU9ho/s1600/primera+volta.jpg" height="78" title="Primera volta d'eliminacions" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Seguim amb el joc, i novament s'eliminen totes les que ocupen posicions parelles en la <b>segona volta</b>.<br />
<br /></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3ZDdwAXVRX4X5t9GtAvhCXWdzQ5KXv1IUXAduzUZNCU7v87Gkr5p7WFwbrgUhGVYzi3eyjkAuwxWn2wN1nWyCe_l8FRZMPPBadZqHvGn0uCyA4J06REnCVcM_HzSU_FmrsE12ITHQYjA/s1600/segona+volta.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Segona volta d'eliminacions" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3ZDdwAXVRX4X5t9GtAvhCXWdzQ5KXv1IUXAduzUZNCU7v87Gkr5p7WFwbrgUhGVYzi3eyjkAuwxWn2wN1nWyCe_l8FRZMPPBadZqHvGn0uCyA4J06REnCVcM_HzSU_FmrsE12ITHQYjA/s1600/segona+volta.jpg" height="86" title="Segona volta d'eliminacions" width="640" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
- Donem la <b>tercera volta</b> al cercle, i novament la número 1 es lliura de l'eliminació. I finalment, quan resten solament 2 jugadores (la número 1 i la número 9), també s'elimina la segona. Així que<b> la número 1 se salva</b> en totes les voltes. I això passarà <b>sempre que el nombre de jugadores sigui potència de 2</b>, perquè desprès de cada volta sempre queden un nombre parell de jugadores.<br />
<br /></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNq4ysOX6eqg6LbW1a6zruLgqH47ABNc6WsbdfrMsnt4pshYnb6BRyTHrvOjCeKVDKMwgaeAVeXWu4AGKcs1qN60sjhqRNN25FiEnHl8BzSfp5Qw9JGg2CcxvjmAPO4I1Tg6ioNhWz90k/s1600/tercera+i+ultima+volta.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Tercera i última volta d'eliminacions" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNq4ysOX6eqg6LbW1a6zruLgqH47ABNc6WsbdfrMsnt4pshYnb6BRyTHrvOjCeKVDKMwgaeAVeXWu4AGKcs1qN60sjhqRNN25FiEnHl8BzSfp5Qw9JGg2CcxvjmAPO4I1Tg6ioNhWz90k/s1600/tercera+i+ultima+volta.jpg" height="160" title="Tercera i última volta d'eliminacions" width="640" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
- Sí, però què fem quan no és potència de 2?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Llavors hem de tenir l'habilitat de calcular les jugadores que hem d'<b>eliminar fins que quedin un nombre que sigui potència de 2</b>, de tal forma que en aqueix moment ens hi trobem just al lloc que ocuparia el número 1 d'aquest nou cercle que es forma desprès d'eliminar a la darrera de les jugadores que excedeixen de la potència de 2.</div>
<br />
- Com dius?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Suposem que n'hi han 11 jugadores en comptes de 8. Hem d'aconseguir estar en la posició número 1 quan quedin només 8, per així poder aplicar el mètode que hem vist abans, ja que 8 és potència de 2 (2<sup>3</sup> = 8).</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Així que hem de <b>comptar cap enrere</b> des de la nostra posició, de forma que hi hagin <b>3 'ósses'</b> abans que nosaltres. I d'aquesta manera obtenim que hem de colocar-nos en la posició número 7, perquè així ocupem la posició número 1 del nou cercle de 8 jugadores que es forma després de les tres primeres eliminacions del grup d'11.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUeSkuidH0uMe9JOJBfjE5UNBKiLS7Uh0aJyvHwiFJsaNkrzGxw66CAXh0ykYb3k8R3CzM9WScnlC0dvg-VGqEr2R4-k8M2pO-VjgqZZYvL7tHRH5iTxGVfUwKpfRPUYzY0h1WeoJDu44/s1600/endecagono.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comptem 3 ósses cap enrere des de la posició número 1" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUeSkuidH0uMe9JOJBfjE5UNBKiLS7Uh0aJyvHwiFJsaNkrzGxw66CAXh0ykYb3k8R3CzM9WScnlC0dvg-VGqEr2R4-k8M2pO-VjgqZZYvL7tHRH5iTxGVfUwKpfRPUYzY0h1WeoJDu44/s1600/endecagono.gif" height="640" title="Comptem 3 ósses cap enrere des de la posició número 1" width="586" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Si volem generalitzar el procediment, haurem de tenir en compte el <b>nombre total de jugadores</b>, que anomenarem <b>n</b> <span style="color: blue;">(en el nostre cas 11)</span>. Desprès calcularem en quina <b>quantitat k excedeix</b> aqueste nombre <b>de la potència de 2 immediatament inferior</b>:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;"><b>k = n - 2<sup>m</sup></b></span>, sent <b>m</b> un nombre natural possitiu tal que <span style="font-size: 130%;"><b>2<sup>m</sup> < n < 2<sup>m+1</sup></b></span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: blue;">(al nostre exemple k = 11 - 2<sup>3</sup> = 3, ja que 2<sup>3</sup> < 11 < 2<sup>4</sup>)</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I la nostra <b>posició òptima</b> (<b>p</b>) en el cercle la calcularem amb la fòrmula:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;"><b>p = 2 · k + 1 </b></span>
<br />
<span style="font-size: 130%;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue;">(al nostre cas p = 2 · 3 + 1 = 7)</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I això és el que fa la teva capitana, situar-s'hi al setè lloc del cercle. O el que és el mateix, començar a comptar per la setena jugadora que queda a la seva dreta.</div>
<br />
<div>
- I no n'hi ha una <b>forma més fàcil de calcular</b> on deu colocar-se?<br />
<br />
- Sí, si coneixes bé el <b>sistema binari</b>. Només heu de convertir en binari el nombre de persones que integren el cercle. Llavors tresllades el primer un a l'últim lloc de la xifra en binari, i tornes a convertir el número resultant al sistema decimal. I així obtenim el lloc al que t'has de ficar per ser el guanyador.<br />
<br />
- Per exemple, per a 21 persones, el lloc òptim és l'onzè, com pots veure:</div>
<div style="text-align: start;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihymIerjIdvPQektMmwueYrh_Tcm_pH6GPVd8gAJWJC3_m3K_r7jrvP0Evty5VCdItkleqxOvHBuyMw-sGGN0wjZ1-sfGg161ZmZB-odVkPJlKWDRl4PvD7A9D0bpm1663JA7yuXaxGs0/s1600/conversi%C3%B3n+binaria.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Solució binària pel problema de Flavi Josep" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihymIerjIdvPQektMmwueYrh_Tcm_pH6GPVd8gAJWJC3_m3K_r7jrvP0Evty5VCdItkleqxOvHBuyMw-sGGN0wjZ1-sfGg161ZmZB-odVkPJlKWDRl4PvD7A9D0bpm1663JA7yuXaxGs0/s1600/conversi%C3%B3n+binaria.gif" height="245" title="Solució binària pel problema de Flavi Josep" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: start;">
<br /></div>
- Ja ho entenc. I, com podríem <b>evitar-lo</b>? I si en comptes d'eliminar-se amb salts de 2 en 2, ho fan <a href="https://oeis.org/A054995" target="_blank">de 3 en 3</a> (foca-foca-óssa-foca-foca-óssa...), o amb qualsevol altre nombre?<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGbiQyILXBbFA2kyYThBPrNaBIzergtLjezW2IjptJq8GijpLGgYgGytfP8ZzxdFaPIkdDgVMjcHxfwFvV0zyc57iTRXdpnJH0aIbWhxS7OrRdofP33yfU78Q87FTaHaULtZcyfV2tJ10/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+tres+en+tres.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 3 en 3" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGbiQyILXBbFA2kyYThBPrNaBIzergtLjezW2IjptJq8GijpLGgYgGytfP8ZzxdFaPIkdDgVMjcHxfwFvV0zyc57iTRXdpnJH0aIbWhxS7OrRdofP33yfU78Q87FTaHaULtZcyfV2tJ10/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+de+tres+en+tres.jpg" height="170" title="Taula de jugadores guanyadores amb salts de 3 en 3" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
- És ho mateix, encara que amb nombres més alts resulta més complicat el seu càlcul, almenys amb el cap. Amb un ordinador a mà, podem veure la solució en diverses pàgines com <a href="http://webspace.ship.edu/deensley/mathdl/Joseph.html" target="_blank">aquesta</a> o <a href="http://www.matematicainteractiva.com/problema-de-flavio-josefo" target="_blank">aquesta altra</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I tampoc serviria de res encarregar-li la feina a una altra jugadora, perquè en un temps també <b>aprendria l'algoritme</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs només us resta <b>canviar el sistema d'elecció</b>. Podrieu triar a la jugadora que tingui la <b>millor estadística de penals marcats</b>, malgrat que això també pot generar polèmiques i paradoxes, com passava en la història: <a href="http://www.matifutbol.com/es/penalti.html" target="_blank">I ara, qui llança el penal?</a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.matifutbol.com/ca/penal.html" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWm-YeqNWz3TTJYCCkDyJvaTMcaxI89N-_yTZXps_Ia2djL4qkBzPSfWeTarqs5_EdXklDHMGVIW6CNMG9aFBldJshNMLsbOGebujnnjfnfHhaHRljOmmiUR4gcZHEE7fI7vxbSxBr4Uk/s1600/I+ara+qui+llen%C3%A7a+el+penal.jpg" height="426" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- No, això mai. El joc de la foca-óssa és tota una institució a la nostra terra.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0JJFa0LbCSJ0-JQpWCm-5jbJae1HolvX1QRG9Fjn0FZUNk_k7c-pUtdqw0B_g2wkDMp0wiKn-Kbz7EwmbGvnIhFgKs5s48Mlf3U0JNh_s3lowL7Mhbf3idw8sI6cdwlZqjljq-NuijDQ/s1600/bandera+de+groenlandia,+osa+y+foca.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Foca i óssa de Groenlàndia" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0JJFa0LbCSJ0-JQpWCm-5jbJae1HolvX1QRG9Fjn0FZUNk_k7c-pUtdqw0B_g2wkDMp0wiKn-Kbz7EwmbGvnIhFgKs5s48Mlf3U0JNh_s3lowL7Mhbf3idw8sI6cdwlZqjljq-NuijDQ/s1600/bandera+de+groenlandia,+osa+y+foca.jpg" height="192" title="Foca i óssa de Groenlàndia" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Crec que hi ha una solució. I és la següent:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Després de fer la primera parella foca-óssa, de manera que la capitana pugui eliminar a la persona que pitjor els llança, després mirarà <b>el nombre</b> que té <b>la jugadora</b> a la seva esquena, i utilitzarà aquest número de dorsal per arribar a la següent ‘óssa’ a eliminar. Així, si és un 5, haurà de comptar foca-foca-foca-foca-óssa.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Si la següent eliminada porta el número 7, contarà sis foques i una óssa, i així. D'aquesta forma li resultarà gairebé impossible esbrinar qui serà la darrera foca, encara que el joc estigui determinat des de la primera elecció.<br />
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaLbxcYGukgxFJSuGDnIa5vbNoMcLYyJANQfJjk1N9dW86-jWyHldJFLFLt_p9CIXhsccWNFoRlNLe9X9b9335ZuhmaMYAJnFgWV-EIQNK3ZstEEVCTl2nnv7NVr8Ri8vcB87Sg5zgncQ/s1600/recerca+de+la+guanyadora+amb+salts+en+funci%C3%B3+del+dorsal.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Cercant la guanyadora amb salts en funció del dorsal" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaLbxcYGukgxFJSuGDnIa5vbNoMcLYyJANQfJjk1N9dW86-jWyHldJFLFLt_p9CIXhsccWNFoRlNLe9X9b9335ZuhmaMYAJnFgWV-EIQNK3ZstEEVCTl2nnv7NVr8Ri8vcB87Sg5zgncQ/s1600/recerca+de+la+guanyadora+amb+salts+en+funci%C3%B3+del+dorsal.JPG" height="322" title="Cercant la guanyadora amb salts en funció del dorsal" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
- Però, i si és capaç de calcular mentalment i de forma ràpida qui serà l'última, ja que <b>coneix els dorsals</b> de totes les jugadores?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Tot i aixó, moltes vegades li serà<b> impossible trobar una combinació guanyadora </b>que li permiti ser ella la darrera.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Suposem, per exemple, que en el cercle es col·loquen les jugadores amb els dorsals 5, 6, 7, 8 i 9, en aquest mateix ordre, i que la capitana té el número 5, vegem què passaria amb el nostre joc amb les noves regles que hem imposat.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTAn7C7Mg7aWu3Y8AiJJkMzxJVcx2a2HJ0XCfKxdhIZLgCKp10p-CR-HN5HKI7bj_FsCOWlweFZC6fZ8tMtPx1l4GLgk9KfIIImiBKHi007MTsIUSAjXBdSit6HTSS8rxftrV4HDH3TOU/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+en+funcio+del+dorsal+i+de+la+primera+eliminada.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Taula de jugadores guanyadores amb salts en funció del dorsal i de la primera eliminada" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTAn7C7Mg7aWu3Y8AiJJkMzxJVcx2a2HJ0XCfKxdhIZLgCKp10p-CR-HN5HKI7bj_FsCOWlweFZC6fZ8tMtPx1l4GLgk9KfIIImiBKHi007MTsIUSAjXBdSit6HTSS8rxftrV4HDH3TOU/s1600/taula+de+jugadores+guanyadores+amb+salts+en+funcio+del+dorsal+i+de+la+primera+eliminada.JPG" height="264" title="Taula de jugadores guanyadores amb salts en funció del dorsal i de la primera eliminada" width="640" /></a><br />
<br />
- Podem comprovar que la guanyadora final depen de qui s'elimini en primer lloc, però que en cap dels casos quedaran últimes la dorsal número 5 ni la número 7, i que no obstant això, les jugadores 6 i 9 comptaran amb més probabilitats de ser les elegides.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs m'agrada força aquesta variant que has inventat. Segurament que amb ella evitarem a la fi que la capitana llanci sempre els penals, i així podrem <b>arribar als Jocs Olímpics</b>. Moltes gràcies pel teu ajut, Pep.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7IQMwacbQkxfWYOXBbQ0emZtCdjHXn5lFKDOGjYtZxXZ4Of4IRFEWeGAa8PuikzPKB7TrmASFC_7Mb7gK1oXRqI8663eAKjuBQ5AOnfCP0vXryacLrIMRHLySWSpujQk5p4Xh7aiY_Sk/s1600/groenlandia+en+los+juegos+ol%C3%ADmpicos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Cerimònia inaugural dels Jocs Olímpics de Rio de Janeiro" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7IQMwacbQkxfWYOXBbQ0emZtCdjHXn5lFKDOGjYtZxXZ4Of4IRFEWeGAa8PuikzPKB7TrmASFC_7Mb7gK1oXRqI8663eAKjuBQ5AOnfCP0vXryacLrIMRHLySWSpujQk5p4Xh7aiY_Sk/s1600/groenlandia+en+los+juegos+ol%C3%ADmpicos.jpg" height="252" title="Cerimònia inaugural dels Jocs Olímpics de Rio de Janeiro" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Estic segur de que ho aconseguiréu, Pipaluk. Bona sort amb la classificació!</div>
<br />
<br />
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolEsp-Matematicasyfutbol&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAAeEzeYhrfg3CunJn14cSAHwSLQ0MgV_8r6IzNNDZ6A46eiHUVvl_TshISMRaePbWeWFGDRFiFlnaTwxEBWT0Ma1mYBg3unmjkpFk98V6RPyk56kGyKhQi69H4Qn7GlfWr9bc6I7rJ3k/s1600/banner+de+suscripcion+3.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a><br />
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Enllaços a altres pàgines -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en aquest tema, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://uom.uib.cat/digitalAssets/236/236849_huguet1.pdf" target="_blank">Quan 1+1 no són dos. El DNI electrònic</a>, <a href="http://blocs.mesvilaweb.cat/vicentmontesinos/?p=258651" target="_blank">El problema de Flavi Josep. Un problema a vida o mort.</a>, <a href="http://www.fme.upc.edu/premi-poincare/edicions-anteriors/LEIBNIZ.pdf" target="_blank">La joia de l'aritmètica</a>, <a href="http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/04/17/pito-pito-gorgorito/" target="_blank">Pito, pito, gorgorito...</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular" target="_blank">Aritmética modular</a>, <a href="http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/06/04/a-quien-rescatamos-el-ultimo/" target="_blank">¿A quién recatamos el último?</a>, <a href="https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/what-is-modular-arithmetic" target="_blank">¿Qué es la aritmética modular?</a>, <a href="http://blogtabula.blogspot.com.es/2013/01/soluciones-al-problema-de-flabio-josefo.html" target="_blank">Soluciones al problema de Flavio Josefo</a>, <a href="http://www.matematicainteractiva.com/problema-de-flavio-josefo" target="_blank">Problema de Flavio Josefo</a>, .</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
No us oblidéu de donar un tomb pel <a href="https://ztfnews.wordpress.com/2015/01/28/carnaval-de-matematicas-resumen-de-la-edicion-5-x-sofia-kovalevskaya/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A més, si se t'ocorreix una altra forma de jugar al puisi-nanoq en la què la capitana no puguir elegir per avançat qui serà la guanyadora, la pots compartir escrivint un comentari més avall.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I si t'ha agradat aquesta història, pots compartir-la en alguna de les següents arrels sociales (no cal que ho feu en totes, només en quatre o cinc d'elles;-)</div>
<div style="border-bottom: 10px; padding-left: -10px; width: 95%;">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
<!-- Enllaços a meneame, divoblogger, etc -->
<!--<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si t'ha agradat aquesta història, pots votar per ella a <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20men%C3%A9ame%20xxx%20http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20divoblogger%20xxx%20http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Moltes gràcies.</span>
-->WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-51252744126644813652014-12-20T13:51:00.001-08:002014-12-20T13:51:13.117-08:00Una tarja de felicitació molt especial<!-- Resum de la página -->
<span style="display: none;">Una felicitació per l'any nou ens sumergeix en la història dels sistemes de numeració binario,
els mètodes esteganogràfics d'encriptació, la numerologia present en les obres renaixentistes i els orígens del signe de la resta.
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD-01lSLwz0_1aZ9Dd8G-MJzytvQ-STATZfF1M-1q1uM-QZtMlJAs8ASfY7Sj0yJjtWPn_cJFg-JUeZ4pWnV5Ur4_auONk9QOuJLZugKxT4Bx69t73S0LSfxsbZMSIOzoIELWFv6h-xao/s1600/arbolito+2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD-01lSLwz0_1aZ9Dd8G-MJzytvQ-STATZfF1M-1q1uM-QZtMlJAs8ASfY7Sj0yJjtWPn_cJFg-JUeZ4pWnV5Ur4_auONk9QOuJLZugKxT4Bx69t73S0LSfxsbZMSIOzoIELWFv6h-xao/s1600/arbolito+2.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW4F3l_4jli-7JSQ_fgDDXEycCXCDEzqA2LeN0J29i_3rKLDQT9p5nNjdGsj23Ch4EQCib48j0lbye-dvOZ7eBMJ7eraex1OiMhHTSHStGy_jxy16H24i_rP-jqtrQEyYuNsuCiXj2QV4/s1600/19+Francis+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW4F3l_4jli-7JSQ_fgDDXEycCXCDEzqA2LeN0J29i_3rKLDQT9p5nNjdGsj23Ch4EQCib48j0lbye-dvOZ7eBMJ7eraex1OiMhHTSHStGy_jxy16H24i_rP-jqtrQEyYuNsuCiXj2QV4/s1600/19+Francis+Bacon.jpg" /></a>
</span>
<!-- Enllaços a d'altres idiomes -->
<span style="display: none;">
<a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2014/09/impossible-transfer-will-rogers-phenomenon.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a>
<a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/09/traspas-impossible-paradoxa-will-rogers.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUscX3iE31xuOM5_64Vk-3xuhnx6BjyvG9nlu4pEUSZo4WzkWTn0GX8j7QHjUqTH17rvwSrGa9Rklb9CS9M6mKavcWMZbUuY_hWFGSgoAD20Np3JuWvjQQzhKwJaVBX7-4PjdNANRZ0Bs/s1600/versiocatalana.gif" height="60" width="60" /></a>
</span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiecHKTgaFQ9SzzUrJ42TnKOcbEPGZgyd-qcH6ligkxYpi9EEa_dECAJSBISLsIRAbhUdVhCXq8DTrhEvlqsaxgROY5mLmtYMMD2Tzpi3H8WaWgpEOAfC1lke0zF2n4u7iD_Yq42f_MdSA/s1600/1+Galileo+Galilei+Matem%C3%A0tiques+alfabet+D%C3%A9u+escriu+univers.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Galileo Galilei. Les Matemàtiques són l'alfabet amb el qual Deu ha escrit l'univers." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiecHKTgaFQ9SzzUrJ42TnKOcbEPGZgyd-qcH6ligkxYpi9EEa_dECAJSBISLsIRAbhUdVhCXq8DTrhEvlqsaxgROY5mLmtYMMD2Tzpi3H8WaWgpEOAfC1lke0zF2n4u7iD_Yq42f_MdSA/s1600/1+Galileo+Galilei+Matem%C3%A0tiques+alfabet+D%C3%A9u+escriu+univers.jpg" height="192" title="Galileo Galilei. Les Matemàtiques són l'alfabet amb el qual Deu ha escrit l'univers." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
<div style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://www.tocamates.com/resumen-del-carnaval-de-matematicas-edicion-5-8-betty-scott/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.8 Betty Scott</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió de la qual és el blog <a href="http://www.tocamates.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">Tocamates</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<br />
<div>
<div style="text-align: justify;">
Torna <b>Luis Suárez</b>! El jugador confirma el seu retorn al <b>Liverpool F.C.</b> a final de temporada.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Ha estat una tarda frenètica en la redacció del <span class="unidas">Liverpool Post</span>, des que Luis Suárez va llançar aquesta <b>publicació</b> al twitter: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>FeLiZ Año NueVO – haPPy NEW YeAr – BON aNY NOU <span style="font-size: x-small;">!</span></b></div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Feliz año nuevo 2015 Luis Suárez." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" height="568" title="Feliz año nuevo 2015 Luis Suárez." width="640" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Als 10 minuts de que Luis Suárez hagués publicat aquest missatge per <b>felicitar l'any nou</b>, la direcció del diari es va reunir amb caràcter d'urgència.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Com podeu veure, a la <b>felicitació</b> només hi han 10 jugadors, ja que Luis ha titllat la seva foto. Això solament pot voler dir que <b>se'n vol anar</b> de l'equip.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv1rB1cmtBCx9wNPcJJEXkrdDikDWgN0yc6JdgunMUJ0m-3rCGV08rsgXezQcD7SvgWwp5eFPlNq3h-oRTqKMSSFmSUxrgC1l6NHK6DYBCkkVJ9b1RIN4ZzErWGDH6La1v_Kh9jCiL3pU/s1600/3+Detalle+c%C3%ADrculos+jugadores+Barcelona+-+Detail+players+FCBarcelona+-+Detall+jugadors+Bar%C3%A7a.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Detall fotografies jugadors Barcelona." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv1rB1cmtBCx9wNPcJJEXkrdDikDWgN0yc6JdgunMUJ0m-3rCGV08rsgXezQcD7SvgWwp5eFPlNq3h-oRTqKMSSFmSUxrgC1l6NHK6DYBCkkVJ9b1RIN4ZzErWGDH6La1v_Kh9jCiL3pU/s1600/3+Detalle+c%C3%ADrculos+jugadores+Barcelona+-+Detail+players+FCBarcelona+-+Detall+jugadors+Bar%C3%A7a.jpg" height="100" title="Detall fotografies jugadors Barcelona." width="640" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- A més, a l'imatge es veuen un munt de diables de color<b> vermell</b>, que és com es coneix a l'equip del Liverpool FC, '<b>the reds</b>'. Heu de recordar que Luis ha jugat en aquest equip les darreres 2 temporades, i s'hi sentia molt a gust en ell.</div>
</div>
<div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Un jugador menys el 15 de maig." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" height="193" title="Un jugador menys el 15 de maig." width="640" /></a></div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii9q2nJEfwidfpVP_Z7C4TdXh53QXpyGraRQQKET4Y-Cn-_SHlbxpRfO_pzfGb9_dIwLXkgLTzSF9ssFP8MVdVQU7YDWWKO_w8zwxptKF056ARjf-COP9-uj4gpnAU7rQUksu45W68jvo/s1600/5+N%C3%BAmero+uno+feliz+-+A+happy+number+one+-+Nombre+un+feli%C3%A7.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Nombre u amb cara feliç." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii9q2nJEfwidfpVP_Z7C4TdXh53QXpyGraRQQKET4Y-Cn-_SHlbxpRfO_pzfGb9_dIwLXkgLTzSF9ssFP8MVdVQU7YDWWKO_w8zwxptKF056ARjf-COP9-uj4gpnAU7rQUksu45W68jvo/s1600/5+N%C3%BAmero+uno+feliz+-+A+happy+number+one+-+Nombre+un+feli%C3%A7.jpg" height="200" title="Nombre u amb cara feliç." width="147" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
- D'altra banda, està l'anotació en clau que ha escrit: <b class="unidas"><span style="font-size: 120%;">1 – 515</span></b>. Si la <b>Lliga espanyola</b> <b>acaba</b> aquest any el 15/5, el <b>15 de maig</b>, que en anglés s'escriu en aquest ordre: primer el mes, i darrera el dia, és a dir 5/15, és evident el missatge: el <span class="unidas">F.C. Barcelona</span> tindrà <b>1</b> jugador <b>menys</b> el <b>5</b>/<b>15</b>.</div>
</div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs és veritat! I a més la imatge l'ha titulat: 'Bon any nou', és a dir, que està molt <b>feliç</b> perquè aquest any nou que entra tornarà al seu antic equip. També s'hi pot veure la cara de felicitat dins del nombre 1, que representa al jugador que tindrà de menys l'equip a fi de temporada, i que es tracta d'ell mateix.</div>
</div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- A més, ha posat com a fons de la imatge una representació de l'<b>infern</b>. Suposo que aquesta temporada, amb la sanció i l'adaptació al nou equip, està sent un infern per a ell, i per això vol tornar al Liverpool, a on es trobava tan bé.</div>
</div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRl77eglOqIpYABrXA0rppsSN7cJ8jpEi4vAkosvfbG9er_1DuDh5BK8sLJ4-oV2Sz2a1KdwymI7nDlElql6-8ixwas7-j74QnNknLJfJucwh8DXmvumgi9FoUhb2rCphUBt92Nkylz8w/s1600/7+La+probabilitat+i+la+sortida+del+sol.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRl77eglOqIpYABrXA0rppsSN7cJ8jpEi4vAkosvfbG9er_1DuDh5BK8sLJ4-oV2Sz2a1KdwymI7nDlElql6-8ixwas7-j74QnNknLJfJucwh8DXmvumgi9FoUhb2rCphUBt92Nkylz8w/s1600/7+La+probabilitat+i+la+sortida+del+sol.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- No obstant això, crec que abans de<b> llançar la notícia</b> hauríem de parlar amb ell per veure què li passa i <b>confirmar</b> tot el que estem dient.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Ho hem intentat, però s'ha anat de vacances a una <a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/03/probabilitat-paradoxa-dos-sobres-canvi.html" target="_blank">illa remota del Pacífic</a> amb el seu amic Laudrup, i no podem contactar amb ell, igual que ens va passar a la història <a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/03/probabilitat-paradoxa-dos-sobres-canvi.html" target="_blank">La probabilitat i la sortida del sol</a>.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- De totes maneres, i tot i que el missatge l'ha emès en <b>clau matemàtica</b>, potser hauríem de consultar abans a <b>Pep Vitruvi</b>, per veure si arriba a les mateixes conclusions que nosaltres.<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Y0hO9WzIlY7dG4-iJNM9bL832aiPUbyJWiVo5weZtILiuuLGhbpYKGUryd6Tl0X6-VDHiwn01QMOFs-7M-ofMW0lDAOlj3fbPYE5EEjwiF3NstPzMkBzqhmcvVQ2sSIz08Me3pL3YeU/s1600/8+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="El magnífic Pep Vitruvi." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Y0hO9WzIlY7dG4-iJNM9bL832aiPUbyJWiVo5weZtILiuuLGhbpYKGUryd6Tl0X6-VDHiwn01QMOFs-7M-ofMW0lDAOlj3fbPYE5EEjwiF3NstPzMkBzqhmcvVQ2sSIz08Me3pL3YeU/s1600/8+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" height="200" title="El magnífic Pep Vitruvi." width="97" /></a></div>
<div>
- D'acord. Tens el seu nombre de telèfon?</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- Sí, ara mateix li truco perquè vingui.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Mentre arriba Pep a la redacció, creus que la interpretació del missatge que han realitzat els periodistes del Liverpool Post és correcta? </div>
<div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<br />
A la fi arriba <b>Pep Vitruvi</b> a la seu central del Liverpool Post.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- Hola a tots. Què és el que passa?</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Tenim un dubte amb <b>Luis Suárez</b>. Fixa't en la imatge que ha publicat al <b>twitter</b>.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Felicitació del nou any 2015 de Luis Suárez." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJX4fda9jLoDy_gazSC-6Op31n09K0MZcj3futb-ULdljafN9xbxMgY6daACfsmQ4v5RdlbW3QFpP_jzSRQPzCuTvSgGbrLjh_pfQFDvtgopqWg47CBO3JedLjaI16LCxZdk7rDw8DA3Q/s1600/2+tuit+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+Luis+Su%C3%A1rez.jpg" height="568" title="Felicitació del nou any 2015 de Luis Suárez." width="640" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Diu que el 15/5 el <b>Barça</b> tindrà un jugador menys, que se n'anirà al <span class="unidas">Liverpool F.C.</span> a jugar amb els 'diables vermells', i que està molt feliç per això, ja que aquesta temporada està sent un <b>infern</b> per a ell.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Hmm... Heu parlat amb el jugador?</div>
<br /></div>
<div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- No podem contactar amb ell. Per això volíem consultar-te primer, a veure si en aqueixos <b>nombres</b> tu descobreixes quelcom diferent, o si estàs d'acord amb la nostra anàlisi, abans de que publiquem la notícia.</div>
</div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Anem a veure, en el missatge només diu <b>Feliç any nou</b> en tres idiomes: espanyol, anglès i català. No veig ón és el problema.</div>
</div>
<div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihZBBCM5k1t5X8w_CadQ08ROKa_29raLpHoJVR5CuuIlfAXRoatibTk0buqiBToI5_xpoGTw6w7iwkqPYHzOgSl6E6kCShVdsmTUk88CbhQoRvfENuKULUE3Cjc6D8-DF_FOLLXgOnaLI/s1600/9+Detalle+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+-+happy+new+year+2015+-+bon+any+nou+2015.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Missatge de Feliç Any Nou." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihZBBCM5k1t5X8w_CadQ08ROKa_29raLpHoJVR5CuuIlfAXRoatibTk0buqiBToI5_xpoGTw6w7iwkqPYHzOgSl6E6kCShVdsmTUk88CbhQoRvfENuKULUE3Cjc6D8-DF_FOLLXgOnaLI/s1600/9+Detalle+feliz+a%C3%B1o+nuevo+2015+-+happy+new+year+2015+-+bon+any+nou+2015.jpg" height="112" title="Missatge de Feliç Any Nou." width="640" /></a><br />
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però fíxa't en els nombres de la imatge: <b>1-515</b>. Un menys 515, això és, un jugador menys el 5/15, el dia que acaba la Lliga espanyola. </div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, potser signifiqui una altra cosa.<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM9iac-ABNTu27n9XJDGMgV7R_5svVKWxYVilJtRdXvvdzNOxTowclpzak_y5NR5oWJZpJFuAtZJb4iPCM776Chbw-wjgQCrVjgsgMsPEBdlCURYlameGlgzyOYjse4MLdqa4O5VAopy8/s1600/6+Diablos+rojos+-+Red+devils+-+Diables+vermells.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Diables vermells." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM9iac-ABNTu27n9XJDGMgV7R_5svVKWxYVilJtRdXvvdzNOxTowclpzak_y5NR5oWJZpJFuAtZJb4iPCM776Chbw-wjgQCrVjgsgMsPEBdlCURYlameGlgzyOYjse4MLdqa4O5VAopy8/s1600/6+Diablos+rojos+-+Red+devils+-+Diables+vermells.gif" height="173" title="Diables vermells." width="200" /></a></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- I qué em dius dels <b>diables vermells</b>? És clar que es tracta d'una referència al seu <b>antic club</b>, el Liverpool.</div>
<br /></div>
<div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Sí, és curiòs que siguin tots de color vermell...</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- I les fotos dels jugadors de l'equip, entre les què hi ha <b>titllat</b> la seva, això sí que no té una altra explicació possible...</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- No ho sé. En sembla que en aquest missage hi ha quelcom ocult. Deixeu-me que pensi... Com dieu, la imatge del fons és l'infern. D'aquí que n'hi han diables vermells per tot arreu. Però no és un <b>infern </b>qualsevol. Es tracta d'una representació de l'infern que descriu <b>Dante </b>en la <b>Divina Comèdia</b>. </div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlYadBnLX65aJstp3fisb3vZ3rq_rQWbeoXqnkSPvtYh0zebWkxbLhuhXMOEQkfxU3wCzptWtawGP_4MrDOjlPBPue3XfGpWygJAnCbwLjgImbXKPO43ssM6uMRHgYJ_frIJgVO0ynNKc/s1600/16+Infierno+de+Botticelli+-+Botticelli's%2Binferno%2B-%2BInfern%2Bde%2BBotticelli.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Infern de Botticelli." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlYadBnLX65aJstp3fisb3vZ3rq_rQWbeoXqnkSPvtYh0zebWkxbLhuhXMOEQkfxU3wCzptWtawGP_4MrDOjlPBPue3XfGpWygJAnCbwLjgImbXKPO43ssM6uMRHgYJ_frIJgVO0ynNKc/s1600/16+Infierno+de+Botticelli+-+Botticelli's%2Binferno%2B-%2BInfern%2Bde%2BBotticelli.jpg" height="446" title="Infern de Botticelli." width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Dante va ser un poeta italià (1265-1321) l'obra mestra del qual és la Divina Comèdia, considerada com una de les obres fonamentals de la <b>literatura universal</b>, a la que es reflecteix la transició del <b>món </b>medieval al <b>renaixentista</b>.</div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjilowi0YryMeKWjz29B66G8UyZ2QRozZKRRYtJ-DsYHfW9KnbMyCcuy6X-jTYlKPDpqGqaHbIDFLY8jT3D7VQJzZBhy9cr9JmRF4YG5xC-_0ERliVLWp6CViR0YqE81azfUIpo3rqdbNU/s1600/10+Dante+Alighieri.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Dante Alighieri." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjilowi0YryMeKWjz29B66G8UyZ2QRozZKRRYtJ-DsYHfW9KnbMyCcuy6X-jTYlKPDpqGqaHbIDFLY8jT3D7VQJzZBhy9cr9JmRF4YG5xC-_0ERliVLWp6CViR0YqE81azfUIpo3rqdbNU/s1600/10+Dante+Alighieri.jpg" height="250" title="Dante Alighieri." width="320" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
- Pel que fa al <b>nombre un</b>, en un principi no em proporciona cap pista, o potser hauria de dir que em dóna excessives pistes: representa la unitat, és un nombre <a href="http://oeis.org/A007770" target="_blank">feliç</a>, <a href="http://oeis.org/A000217" target="_blank">triangular</a>, <a href="http://oeis.org/A000326" target="_blank">pentagonal</a>, figura 2 cops en la successió de <a href="http://oeis.org/A000045" target="_blank">Fibonacci</a>, és un nombre de <a href="http://oeis.org/A000110" target="_blank">Bell </a>i de <a href="http://oeis.org/A000108" target="_blank">Catalan</a>, és un nombre <a href="http://oeis.org/A000142" target="_blank">factorial </a>i <a href="http://oeis.org/A000928" target="_blank">regular</a>, és l'element neutre del producte, és el dígit més comú d'un conjunt de dades segons la llei de Benford.... <b>Massa dades</b>. Hi ha una cara feliç dins d'ell, però tampoc sé com interpretar-lo de moment. </div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- I en quant al signe que hi ha entre l'1 i el 515, dubto de si es tracta del <b>signe menys</b> o si és un simple <b>guió </b>per separar un nombre de l'altre.</div>
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKfifi5HfwB7p6TOfm7-gT8FOfKzzQvYqLzAwOG5XxYeZNa__f6tMA3TXvmLWkkuOk_EyssSa42d0G2lrd6WpejjK0yIIHocRxmDlCp5UElRVoMgIdrZ3pIsN1oBpbE4oG1VXuArSmaqQ/s1600/10+Signo+medieval+para+la+resta+-+Medieval+sign+for+subtraction+-+Signe+medieval+per+a+la+resta.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Signe medieval per a representar la resta." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKfifi5HfwB7p6TOfm7-gT8FOfKzzQvYqLzAwOG5XxYeZNa__f6tMA3TXvmLWkkuOk_EyssSa42d0G2lrd6WpejjK0yIIHocRxmDlCp5UElRVoMgIdrZ3pIsN1oBpbE4oG1VXuArSmaqQ/s1600/10+Signo+medieval+para+la+resta+-+Medieval+sign+for+subtraction+-+Signe+medieval+per+a+la+resta.jpg" height="200" title="Signe medieval per a representar la resta." width="200" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- En realitat, a l'època en la què Dante va escriure la Divina Comèdia, encara no s'utilitzava aquest <b>símbol </b>com a representació de la <b>resta</b>, ans la <b>lletra M</b> (pel terme en llatí <i>minus</i>), a la qual posteriorment se li va afegir una ratlla escrita a sobre d'ella per evitar confusions. Va ser en 1518 quan Henricus Grammateus el va emprar per primera vegada en solitari, eliminant l'ema, com a símbol de la <b>sostracció</b>.</div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- D'altra banda, tenim el <b>nombre 515</b>. Vosaltres dieu que al·ludeix a l'expressió <b>5/15</b>, és a dir, el dia 15 del mes 5, que és quan acaba la Lliga espanyola. Però crec que hauria d'haver algún tipus de separador entre el 5 i el 15, que representarien al mes i al dia en aquest cas. </div>
</div>
<div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Un jugador menys el 15 de maig." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" height="193" title="Un jugador menys el 15 de maig." width="640" /></a><br />
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Penso que hauríem de centrar el nostre estudi en aquest nombre, el <b>515</b>, que és el que ens pot proporcionar més <b>pistes </b>del que ha volgut transmetre amb el <b>missatge</b>. </div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Com hem dit, el quadre que serveix de fons al tuit és un <b>quadre de Botticelli</b> inspirat en ‘La Divina Comèdia’ de Dante. Com bon home del Renaixement, Dante, a més d'escriptor, era un gran aficionat a les <b>matemàtiques</b>. Així, en la seva obra concedeix un gran <b>valor simbòlic</b> a determinades parelles de nombres, com 3 i 9, 7 i 22, o 515 i 666. </div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2diyI0WPoU7_hqgPDkuL8D05q29nqcko5uf1DhRbEISRSX6UazgxxieFPVzaS59b-bsbSA_TaXZeNGU4x1CrJXu9i9swhL-X2a0-0zzfRnrS2bWe7dsArIapR0iRl37xLBgfsK4_2sAw/s1600/12+3+versus+9.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="3 versus 9" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2diyI0WPoU7_hqgPDkuL8D05q29nqcko5uf1DhRbEISRSX6UazgxxieFPVzaS59b-bsbSA_TaXZeNGU4x1CrJXu9i9swhL-X2a0-0zzfRnrS2bWe7dsArIapR0iRl37xLBgfsK4_2sAw/s1600/12+3+versus+9.jpg" height="127" title="3 versus 9" width="400" /></a></div>
<br />
- El <b>nombre 3</b> es fa present en nombrosos aspectes del llibre. Es tracta d'un nombre que fa referència a la Santíssima Trinitat, i que simbolitza l'equilibri i l'estabilitat. Així, el poema està compost de tercets encadenat, articulats en <b>3 capítols: Infern, Purgatori i Paradís</b>.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Mentrestant, el <b>nombre 9</b> és el nombre que Dante assigna a <b>Beatriu</b>. 9 és el quadrat de 3, realtzant així la bellesa i importància de la seva estimada. En l'obra, aquesta xifra apareix com el nombre de <b>divisions </b>o cercles que té l'<b>Infern, </b>o la quantitat de <b>cels </b>diferents del <b>Paradís</b>.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3CDMhOdL7sct-NLFpp9I6jz2tGTPqLaWLY2MRfbso_VSMe6mQ4vjGun3a5RNtq5OSncmTRKR2swW-as3DOYdvSq2d1Xq2zChvxitq4Svgbn9XLW9D5UAXcUHxhKET3ppm4iRj5LDm7ks/s1600/13+7+versus+22.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="7 versus 22" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3CDMhOdL7sct-NLFpp9I6jz2tGTPqLaWLY2MRfbso_VSMe6mQ4vjGun3a5RNtq5OSncmTRKR2swW-as3DOYdvSq2d1Xq2zChvxitq4Svgbn9XLW9D5UAXcUHxhKET3ppm4iRj5LDm7ks/s1600/13+7+versus+22.jpg" height="127" title="7 versus 22" width="400" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- El <b>nombre 7</b> és un nombre <b>sagrat </b>(set arts liberals, set colors de l'arc de Sant Martí, set dies de la setmana), que ell utilitza per anomenar les <b>divisions </b>del <b>Purgatori</b>, mentre que el <b>nombre 22</b> és un nombre íntimament relacionat amb el 7, ja que el resultat de la relació <b>22/7</b> s'apropa prou al <b>nombre pi</b>. </div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Així que amb aquests dos nombres Dante ens refereix al <b>cercle</b>, la <b>figura més perfecta</b> pels pitagòrics. Tal és així que tant el cel com l'infern els defineix com mons amb forma de cercles concèntrics.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghauzroayZ1eLnH-yHzxKfSBKrFmkdNhUQx1R0DC7uPF1PZvqQSCiSPednL5InglF_WjZrUOo81eE6e2fsx7fXuiNW1WJwXOTWUJomkKEizui8b0SSFe7FTBju022bw1B2eHll3fVH03k/s1600/14+515+versus+666.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="515 versus 666" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghauzroayZ1eLnH-yHzxKfSBKrFmkdNhUQx1R0DC7uPF1PZvqQSCiSPednL5InglF_WjZrUOo81eE6e2fsx7fXuiNW1WJwXOTWUJomkKEizui8b0SSFe7FTBju022bw1B2eHll3fVH03k/s1600/14+515+versus+666.jpg" height="127" title="515 versus 666" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I hi arribem als nombres que ens interessen. És ben sabut per tots que el <b>nombre 666</b> és considerat com el <b>nombre de la Bèstia </b>o Diable a l'<b>Apocalipsi</b>. El seu antagonista o enemic ha de ser el Veltro, o <b>enviat de Déu</b>, que segons la predicció que realitza Beatriu a l'obra, està marcat pel <b>nombre 515</b>: Un cinquecento diece e cinque, messo di Dio..." </div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9kMdUikuijFEhlfHas6S3agI5juEfvOTlBBy1dB-iqnYf3cbpC1GeZLIzBvCLcgUcxEAyfGClUFZweR6MB49LMZVI2rC8unTlIhfMoySBtvTf5Aae0uagy_9rwipT-u5xynuLaV16DuQ/s1600/15+El+Duque+luchando+contra+la+Bestia+-+The+Duke+fighting+the+Beast+-+El+Duc+lluitat+contra+la+B%C3%A8stia.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="El Duc lluitant contra la Bèstia" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9kMdUikuijFEhlfHas6S3agI5juEfvOTlBBy1dB-iqnYf3cbpC1GeZLIzBvCLcgUcxEAyfGClUFZweR6MB49LMZVI2rC8unTlIhfMoySBtvTf5Aae0uagy_9rwipT-u5xynuLaV16DuQ/s1600/15+El+Duque+luchando+contra+la+Bestia+-+The+Duke+fighting+the+Beast+-+El+Duc+lluitat+contra+la+B%C3%A8stia.jpg" height="213" title="El Duc lluitant contra la Bèstia" width="320" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
- Si escrivim 515 en <b>nombres romans</b> tindrem DXV, i si els canviem d'ordre obtenim <b>DVX</b>, el Duc al comandament del Sacre Imperi, que serà qui lluitarà contra el maligne representat pel 666. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Per tant, el nombre 515 havem de considerar-lo com una força positiva, que es contraposa a l'infern del fons del quadre. Això pot significar que Luis està <b>superant </b>els <b>mals moments</b> del passat.</div>
</div>
<div>
<br />
- Així que <b>tot </b>sembla que està <b>relacionat</b>, però seguim sense saber què és el que Luis Suárez ens vol dir amb el missatge.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- L'únic nexe d'unió que veig entre aquest nombre i l'any nou 2015, és que aquest l'obtenim de sumar 15 centenes a 515, però no hi veig cap més relació entre ells més enllà de la concentració d'uns i cincs en l'operació.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN7Cn0Jx65towjVkEkBU35TgGGanTEbb1iBzeWpFtvY7zIMXChUNhNMifn1qHH19MVMGtM3w3-45WRAn2QdWE-ylLDLjyHWzfKKjZViMnT7fcmyNpOFR2HIx3JGhsy5xtD7EUpIDg4tXg/s1600/16+1500+++515+=+2015.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="1500 + 515 = 2015" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN7Cn0Jx65towjVkEkBU35TgGGanTEbb1iBzeWpFtvY7zIMXChUNhNMifn1qHH19MVMGtM3w3-45WRAn2QdWE-ylLDLjyHWzfKKjZViMnT7fcmyNpOFR2HIx3JGhsy5xtD7EUpIDg4tXg/s1600/16+1500+++515+=+2015.gif" height="77" title="1500 + 515 = 2015" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
- I si ens fixem en les <b>propietats </b>del <b>nombre 515</b>, tenim que es tracta d'un nombre compost, amb 4 divisors (1, 5, 103 i 515), pel qual no és primer, ni tampoc figura en la successió de <a href="http://oeis.org/A000045" target="_blank">Fibonacci</a>, ni és un nombre de <a href="http://oeis.org/A000110" target="_blank">Bell</a>, ni de <a href="http://oeis.org/A000108" target="_blank">Catalan</a>, ni de <a href="http://oeis.org/A000032" target="_blank">Lucas</a>, ni <a href="http://oeis.org/A000396" target="_blank">perfecte</a>, ni <a href="http://oeis.org/A005101" target="_blank">abundant</a>, ni <a href="http://oeis.org/A000124" target="_blank">poligonal</a>. Encara que sí és un nombre <a href="http://oeis.org/A005100" target="_blank">deficient</a>, <a href="https://oeis.org/A000069" target="_blank">odiós</a>, <a href="http://oeis.org/A002113" target="_blank">palindròmic</a>, <a href="http://oeis.org/A046075" target="_blank">ondulat</a>, <a href="http://oeis.org/A005117" target="_blank">lliure de quadrats</a>... i <a href="http://oeis.org/A031177" target="_blank">infeliç</a>. </div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Com curiositats, tenim que 515 és la <b>suma de 9 nombres primers consecutius</b> (41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73), que la <b>Lluna </b>està <b>inclinada </b>respecte a l'eix de la Terra en 5,15 graus, i que si multipliquem el <b>nombre pi</b> per 0,515 obtindrem aproximadament la <b>raó àuria phi </b>(1,618), que porto a la meva samarreta, i que tan relacionat està amb la sèrie de <b>Fibonacci</b>.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXWqee2sgBloCGESNelTQzhtpt4d6Pc1OX78PoeNbdriqRADpcNwoz6qSnLJF9peEiYRYGDkuj2wqNxidCvIVIKYRKomUl8yDZHmSBE6e-h3k8pyKAMkfuakdJKR6UoPDVfyJ5GNzMakQ/s1600/17+pi+por+0.515+igual+a+phi+=+pi+per+0.515+equals+phi+-+pi+per+0.515+igual+a+phi.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="pi per 0.515 aproximadament igual a phi" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXWqee2sgBloCGESNelTQzhtpt4d6Pc1OX78PoeNbdriqRADpcNwoz6qSnLJF9peEiYRYGDkuj2wqNxidCvIVIKYRKomUl8yDZHmSBE6e-h3k8pyKAMkfuakdJKR6UoPDVfyJ5GNzMakQ/s1600/17+pi+por+0.515+igual+a+phi+=+pi+per+0.515+equals+phi+-+pi+per+0.515+igual+a+phi.gif" height="87" title="pi per 0.515 aproximadament igual a phi" width="400" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Y0hO9WzIlY7dG4-iJNM9bL832aiPUbyJWiVo5weZtILiuuLGhbpYKGUryd6Tl0X6-VDHiwn01QMOFs-7M-ofMW0lDAOlj3fbPYE5EEjwiF3NstPzMkBzqhmcvVQ2sSIz08Me3pL3YeU/s1600/8+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="El magnífic Pep Vitruvi" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Y0hO9WzIlY7dG4-iJNM9bL832aiPUbyJWiVo5weZtILiuuLGhbpYKGUryd6Tl0X6-VDHiwn01QMOFs-7M-ofMW0lDAOlj3fbPYE5EEjwiF3NstPzMkBzqhmcvVQ2sSIz08Me3pL3YeU/s1600/8+Pepe+Vitruvio+-+Joe+Vitruvius+-+Pep+Vitruvi.jpg" height="200" title="El magnífic Pep Vitruvi" width="97" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- I si analitzem el <b>nombre 2015</b>, que és l'any que comença d'aquí a uns dies, tenim que és un nombre compost, amb 8 divisors: 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 i 2015. És un nombre <a href="http://oeis.org/A005100" target="_blank">deficient</a>, <a href="https://oeis.org/A001969" target="_blank">malvat</a>, <a href="http://oeis.org/A031177" target="_blank">infeliç </a>i <a href="http://oeis.org/A005117" target="_blank">llibre de quadrats</a>, però no és un nombre de <a href="http://oeis.org/A000045" target="_blank">Fibonacci</a>, ni de <a href="http://oeis.org/A000110" target="_blank">Bell</a>, ni de <a href="http://oeis.org/A000108" target="_blank">Catalan</a>, ni <a href="http://oeis.org/A000928" target="_blank">regular</a>, ni <a href="http://oeis.org/A000396" target="_blank">perfecte</a>, ni <a href="http://oeis.org/A000124" target="_blank">poligonal</a>...</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Sembla que de l'estudi d'aquests dos nombres, aparentment, tampoc anem a extreure-hi cap pista.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- D'altra banda, si ens fixem en la cara d'un dels diables, veiem que és la de <b>Francis Bacon</b>, un fantàstic <b>filòsof</b>, polític, advocat i científic anglès <span class="unidas">(1561-1626)</span>. </div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1xFa0T0CXoFSWXSXvQOmkn7ZSwyPGdvEQrLdMXR1XYm0Qgq9hTajWEY3YGmgSdPlwiJdQZ_-xjvC3v_kGHawHhrhqg5hGKHLKjU9UCEW77TF1nEJQ7JfBVS-pvhstJjLZIJEqMWKvs_k/s1600/18+Francis+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Diable vermell amb con cara de Francis Bacon" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1xFa0T0CXoFSWXSXvQOmkn7ZSwyPGdvEQrLdMXR1XYm0Qgq9hTajWEY3YGmgSdPlwiJdQZ_-xjvC3v_kGHawHhrhqg5hGKHLKjU9UCEW77TF1nEJQ7JfBVS-pvhstJjLZIJEqMWKvs_k/s1600/18+Francis+Bacon.jpg" title="Diable vermell amb con cara de Francis Bacon" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW4F3l_4jli-7JSQ_fgDDXEycCXCDEzqA2LeN0J29i_3rKLDQT9p5nNjdGsj23Ch4EQCib48j0lbye-dvOZ7eBMJ7eraex1OiMhHTSHStGy_jxy16H24i_rP-jqtrQEyYuNsuCiXj2QV4/s1600/19+Francis+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="El filòsof Francis Bacon." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW4F3l_4jli-7JSQ_fgDDXEycCXCDEzqA2LeN0J29i_3rKLDQT9p5nNjdGsj23Ch4EQCib48j0lbye-dvOZ7eBMJ7eraex1OiMhHTSHStGy_jxy16H24i_rP-jqtrQEyYuNsuCiXj2QV4/s1600/19+Francis+Bacon.jpg" height="258" title="El filòsof Francis Bacon." width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- La seva obra <b>Novum Organum</b> va constituir un punt de partida per a la ciència moderna, amb el desenvolupament del <b>mètode empíric</b> basat en l'observació i experimentació.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Sí, ja ho havíem vist. No trobem cap relació entre el filòsof i Luis Suárez, però sí amb altre <b>Francis Bacon</b> <span class="unidas">(1909-1992)</span>, el <b>pintor modern</b> del segle XX, de qui s'exposen diverses obres al museu de Liverpool, i l'obra del qual admira molt Luis Suárez.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX31Ng2nl-IfJ86aKRP_RsYEzDvf5LhTwwNb_zvKeELnSipmI5VPfnOJn8G8F0u97RVWJEbwFpIxF5oUhgGrjoqNvphZlwcWjz2mGepGLFTzoxhQEVrOMpv90Eo-FVQdjVp4C0ZGoaiKo/s1600/20+Cuadros+de+Francis+Bacon+-+Pictures+of+Francis+Bacon+-+Quadres+de+Francis+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Quadres de Francis Bacon." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX31Ng2nl-IfJ86aKRP_RsYEzDvf5LhTwwNb_zvKeELnSipmI5VPfnOJn8G8F0u97RVWJEbwFpIxF5oUhgGrjoqNvphZlwcWjz2mGepGLFTzoxhQEVrOMpv90Eo-FVQdjVp4C0ZGoaiKo/s1600/20+Cuadros+de+Francis+Bacon+-+Pictures+of+Francis+Bacon+-+Quadres+de+Francis+Bacon.jpg" height="142" title="Quadres de Francis Bacon." width="400" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCLxUZX5b8dBS3yPx1DyhNKS8m4yq1q9qRdolXz0estNfCii4cwnEk-MQaBzB7pAebklIh0wfBdWbyxAbtCtZOtNrvMjWAtbMsKFyPonoYTi_Cd6SiB4z1U96lE3rspNntFtPTouW1dJ8/s1600/21+Love+is+the+devil.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCLxUZX5b8dBS3yPx1DyhNKS8m4yq1q9qRdolXz0estNfCii4cwnEk-MQaBzB7pAebklIh0wfBdWbyxAbtCtZOtNrvMjWAtbMsKFyPonoYTi_Cd6SiB4z1U96lE3rspNntFtPTouW1dJ8/s1600/21+Love+is+the+devil.jpg" height="200" width="141" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sense dubte, ens sembla que és un indici de que vol tornar a la ciutat per poder visitar més freqüentment els seus quadres. A més, curiosament sobre la vida d'aquest autor es va fer una pel·lícula titulada: ‘<b>L'amor és el dimoni</b>’. O sigui, que està clar que l'equip dels seus amors segueix sent el Liverpool.</div>
</div>
<div>
<br />
- Què té a veure el <b>Liverpool </b>amb el dimoni?</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, els autèntics 'diables vermells' són l'equip del Manchester United. Pero el Liverpool també té quelcom a veure amb ells. L'equip vestia en els seus inicis pantaló blanc i samarreta vermella. Però abans de jugar un partit contra l'Anderlecht, a l'<b>entrenador </b>Bill Shankly se li va acudir vestir els jugadors completament de vermell, per que semblessin diables i així <b>infondre més por</b> a l'adversari. D'aquesta forma van canviar el seu uniforme per sempre, i des de llavors se'ls coneix pel nombre de 'the reds' ('els vermells’). </div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3WhNXlWMJfvVQjQMjd1KdIiOt1e6j3RY4jjV5LQCAqyMQC8zKOP-pVtZNVqzpPy1d8fzYlQCaXvfghOW5gILNWfqX6gFx8ADL-J-dO1TzdY7G_2gZ9qxPKuw_BOhoVLdZY5aCg1Wb1QA/s1600/22+Cambio+equipaci%C3%B3n+Liverpool+FC+-+Changing+uniform+Liverpool+FC+-+Canvi+equipaci%C3%B3+Liverpool+FC.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Canvi d'equipació del Liverpool FC" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3WhNXlWMJfvVQjQMjd1KdIiOt1e6j3RY4jjV5LQCAqyMQC8zKOP-pVtZNVqzpPy1d8fzYlQCaXvfghOW5gILNWfqX6gFx8ADL-J-dO1TzdY7G_2gZ9qxPKuw_BOhoVLdZY5aCg1Wb1QA/s1600/22+Cambio+equipaci%C3%B3n+Liverpool+FC+-+Changing+uniform+Liverpool+FC+-+Canvi+equipaci%C3%B3+Liverpool+FC.jpg" height="270" title="Canvi d'equipació del Liverpool FC" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Entès. El que no acabo de comprendre és què signifiquen els cercles que hi ha sobre els nombres: dos <b>cercles plens</b> sobre els cincs, i un de<b> buit </b>sobre l'un...</div>
</div>
<div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Un jugador menys el 15 de maig." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4XzLZUXRlpz7Cx2vLvsDDC_wgUWhmVnY-lGJLjKLGwPBj3YImKmVkRkgLNdov7rPj3PWC3tR7-LGn4iu7TXPbb_EU5x1v5G5NzmxxS4rVhkkm5qDDwLj6rlILUCftQEohMCv-CiQ6as/s1600/4+1+-+515+Un+jugador+menos+el+15+de+mayo+-+One+player+less+on+May+15+-+Un+jugador+menys+el+15+de+maig.jpg" height="193" title="Un jugador menys el 15 de maig." width="640" /></a><br />
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- ...o potser sí. Crec que aquesta és precisament la clau per a comprendre de què va tot això: Francis Bacon, nombres malvats, diables...</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Us heu fixat en la <b>distribució </b>dels jugadors de dalt? Hi han cinc cares que es veuen, una que està ratllada, i altres cinc cares que es veuen, veritat?</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- Cert.<br />
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Just el mateix patró que repeteix amb les xifres del nombre <b>515 </b>i els cercles sobreposats sobre les xifres 5, 1 i 5. Què tal si pintem 5 cercles plens, un buit, i el altres cinc complets, i els comparem amb la tira de fotos dels jugadors?</div>
</div>
<div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0fjMcmn7Sql6mExBHG_mQ8P9kDa6a-PMbiN1Y2IQidzVJmxhdxA8SpOlCAeCJsVI2mdJzTv6hoMqunUlPbFK_sFoFD-Atr-72C3vVmStBgsRGa8RCJiMIXJPH_LV7ZLAp2lJrcI44sYw/s1600/24+C%C3%ADrculos+y+jugadores+-+Circles+and+players+-+Cercles+i+jugadors.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Correspondència de cercles i jugadors" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0fjMcmn7Sql6mExBHG_mQ8P9kDa6a-PMbiN1Y2IQidzVJmxhdxA8SpOlCAeCJsVI2mdJzTv6hoMqunUlPbFK_sFoFD-Atr-72C3vVmStBgsRGa8RCJiMIXJPH_LV7ZLAp2lJrcI44sYw/s1600/24+C%C3%ADrculos+y+jugadores+-+Circles+and+players+-+Cercles+i+jugadors.jpg" height="204" title="Correspondència de cercles i jugadors" width="640" /></a><br />
<br /></div>
<div>
- Doncs sí, és una extraordinària coincidència, però no sé pas on ens porta tot això.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, hem dit que Francis Bacon va ser un notable filòsof. Però també passa per ser l'inventor del <b>sistema </b>de codificació <b>binari</b>, encara que no en la seva notació actual, amb uns i zeros, sinò amb les lletres A i B, en el que es coneix per <b>Codi de Bacon</b>, i que descriu en la seva obra <i>The Advancement of Learning</i>.</div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheidOk-1fUgBqPNSxQqMVg6f08mdODpxXGlHQv6yonBM_JYY6eYj3mmh3TSZvjDqH-FYC6Xrl0lhbh8G87iVzCqOLbdaT4Nd0wpXlDwg4kxQzG-wsbOKntkqKTzLAnz_OVJ642J-rXSto/s1600/25+C%C3%B3digo+de+Francis+Bacon+-+Francis+Bacon's%2Bcode%2B-%2BCodi%2Bde%2BFrancis%2BBacon.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;"><img alt="Codi de Francis Bacon" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheidOk-1fUgBqPNSxQqMVg6f08mdODpxXGlHQv6yonBM_JYY6eYj3mmh3TSZvjDqH-FYC6Xrl0lhbh8G87iVzCqOLbdaT4Nd0wpXlDwg4kxQzG-wsbOKntkqKTzLAnz_OVJ642J-rXSto/s1600/25+C%C3%B3digo+de+Francis+Bacon+-+Francis+Bacon's%2Bcode%2B-%2BCodi%2Bde%2BFrancis%2BBacon.jpg" height="320" title="Codi de Francis Bacon" width="190" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
- Sabéu que el sistema <b>binari </b>és un <b>sistema de numeració</b> en el que els nombres es representen utilitzant tan sols les xifres un i zero. Podem dir que tot el nostre món actual, amb l'auge de la tecnologia digital, es composa d'una successió infinita d'uns i zeros.</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- I això és el que ha fet Suárez en aquesta missiva: una <b>felicitació binària</b>. Anem a transcribir el <b>nombre 2015</b>, que es correspon amb l'any que entra, a la seva expressió en el <b>sistema binari</b>: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-size: 130%;"><b>2015 <sub style="font-size: 60%;">10</sub> = 11111011111 <sub style="font-size: 60%;">2</sub></b></span></div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Què us sembla? A què us sona aquesta distribució d'uns i zeros: 5 uns tots seguits, un zero, i altres 5 uns seguits?</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs és veritat. Amb les fotos dels jugadors de l'equip, i amb el nombre 515, el que està fent és <b>representar el nou any</b>, el <b>2015</b>.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- A més, es tracta d'un nombre binari molt bonic, perquè és un <b>nombre binari palindròmic</b> (es llegeix igual del dret que del revés), el més gran que es pot formar amb 11 dígits. El següent tindrá 12, i serà el 100000000001 (el 2049 en el sistema decimal).</div>
</div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIpXp7jJLsyzeCwrvACLocdyzCURvUcW6bl2CqrEzQhmSMgY2GhbVtShdkF3UEXrmuZAyRf6P2hGN-g9e23l0BVSv1J6uxI5zFleSBqrw7yfMDVCRQS4V7AO7sFsEKo1op9RmISp-mGT4/s1600/26+El+futbol+i+la+felicitat.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="El futbol i la felicitat." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIpXp7jJLsyzeCwrvACLocdyzCURvUcW6bl2CqrEzQhmSMgY2GhbVtShdkF3UEXrmuZAyRf6P2hGN-g9e23l0BVSv1J6uxI5zFleSBqrw7yfMDVCRQS4V7AO7sFsEKo1op9RmISp-mGT4/s1600/26+El+futbol+i+la+felicitat.gif" height="128" title="El futbol i la felicitat." width="320" /></a></div>
<div>
<br />
- Entès. I què vol dir l'un davant del 515?<br />
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs l'u, como tothom que va llegir la meva <a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2013/07/el-futbol-i-la-felicitat.html" target="_blank">història sobre els nombres feliços</a> coneix, es un nombre feliç. De fet, és el més feliç de tots, ja que tots els nombres feliços convergeixen en el nombre 1.</div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Per tant <b>1 – 515</b> vol dir en <b>llenguatge matemàtic</b> <b>Feliç 2015</b>!</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- Llavors, tot això no és més que<b> una felicitació matemàtica</b> pel <b>Nou Any</b>?</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- És ben cert. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- D'acord, però, com podem estar-ne segurs de que no vol <b>tornar al Liverpool</b>? D'altre manera, per què hauria dibuixat tants diables de color <b>vermell </b>en la postal?</div>
</div>
<div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM9iac-ABNTu27n9XJDGMgV7R_5svVKWxYVilJtRdXvvdzNOxTowclpzak_y5NR5oWJZpJFuAtZJb4iPCM776Chbw-wjgQCrVjgsgMsPEBdlCURYlameGlgzyOYjse4MLdqa4O5VAopy8/s1600/6+Diablos+rojos+-+Red+devils+-+Diables+vermells.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Diables vermells." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM9iac-ABNTu27n9XJDGMgV7R_5svVKWxYVilJtRdXvvdzNOxTowclpzak_y5NR5oWJZpJFuAtZJb4iPCM776Chbw-wjgQCrVjgsgMsPEBdlCURYlameGlgzyOYjse4MLdqa4O5VAopy8/s1600/6+Diablos+rojos+-+Red+devils+-+Diables+vermells.gif" height="173" title="Diables vermells." width="200" /></a></div>
<br />
- Bé, sens dubte deu tenir un bon record del seu antic equip, i ha volgut fer-li un homenatge d'aquesta manera. Però haurem de fixar-nos en el text que ha escrit: algunes lletres estan escrites en <b>majúscules </b>i altres en <b>minúscules</b>, sense cap ordre aparent, oi?</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
- Sí, però no l'hem donat cap importància.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí que la té, i molta. Abans he esmentat de passada el <b>codi Bacon</b>. Amb ell, el filòsof sustituïa els caràcters per <b>seqüències de 5 lletres</b>, concretament amb <b>A</b>es i<b> B</b>es, per <b>encriptar </b>així els documents confidencials. Més tard, <b>Leibniz </b>realitzaria un estudi més exhaustiu dels sistemes binaris, utilitzant uns i zeros, i establiria així les bases del <b>sistema de numeració binari actual</b>.<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNWTT7F6nFOqUqMeO0VVX-CoCJqMyJwy_qqdcDQPz6jF5uySmJMf0T_DCdPxkh5op_ITngtEOY1sdtNTA68jCUJePkb7pGmg4XU0oNXPedso4VGkDNYyZOIyXdtJ-aljKJLPwiUj3BK3E/s1600/27+Codi+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="El Codi Bacon." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNWTT7F6nFOqUqMeO0VVX-CoCJqMyJwy_qqdcDQPz6jF5uySmJMf0T_DCdPxkh5op_ITngtEOY1sdtNTA68jCUJePkb7pGmg4XU0oNXPedso4VGkDNYyZOIyXdtJ-aljKJLPwiUj3BK3E/s1600/27+Codi+Bacon.jpg" height="290" title="El Codi Bacon." width="640" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Per exemple, si volem <b>codificar </b>la paraula '<b>hola</b>' amb el codi Bacon, primerament substituirem cada lletra pel seu codi amb Aes i Bes. Després, buscarem una <b>frase</b>, la que vulguem, que tingui la <b>mateixa longitud que la sèrie</b> formada (tindrá 5 vegades més caracters que el text original). En el nostre cas, he triat la frase de 20 caràcters (eliminant els espais) '<b>M'agrada el color fúcsia</b>'.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara la separarem en <b>grups de 5 lletres</b>, als que farem correspondre cada lletra amb el codi A o B de la sèrie formada. Doncs bé, si la primera lletra de la sèrie és una A, escriurem la lletra corresponent del nostre text en majúscules, i si és una B, l'escriurem en minúscules.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Farem això amb la resta de lletres, per ordre, i finalment <b>separarem </b>de nou <b>les paraules </b>del text resultant, per a despistar més a l'enemic:<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiV7nXDU0lnQSsles8R5nTbZAGpMNNMkyM7NaK0LzwxvRnT2gVjn3Nuk65LhnZ-0k-H-Qw96V8Tz78RbK9Cgglp4UA00rvPmVTrJJKYZZvCXm1zXy8Hh-iTdtEwXPWi_3qYPHCtJro12IY/s1600/28+Text+encriptat+amb+el+codi+Bacon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Text encriptat amb el Codi Bacon." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiV7nXDU0lnQSsles8R5nTbZAGpMNNMkyM7NaK0LzwxvRnT2gVjn3Nuk65LhnZ-0k-H-Qw96V8Tz78RbK9Cgglp4UA00rvPmVTrJJKYZZvCXm1zXy8Hh-iTdtEwXPWi_3qYPHCtJro12IY/s1600/28+Text+encriptat+amb+el+codi+Bacon.jpg" height="361" title="Text encriptat amb el Codi Bacon." width="400" /></a></div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- D'aquesta manera, hem convertit la paraula '<b>Hola</b>' en la frase '<b>M'AgraDa eL cOlOr FÚCSIA</b>'.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Aquí hem establert que les lletres que es corresponen amb una A les escrivim en majúscules, i les altres amb minúscules, però també podríem utilitzar altres mètodes per distingir uns caràcters i altres, como utilitzar diferents fonts de lletres, o diferents colors...</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs ara anem a aplicar aquest <b>mètode esteganogràfic</b> del codi Bacon a la frase de Luis Suárez. Per això, separem les lletres del text en grups de cinc lletres, i <span style="text-align: start;">escrivim una A en la posició on hi hagi una majúscula, i una B per a les minúscules. El signe d'admiració final el considerem com minúscula, ja que és molt petitó. </span>I després buscarem a quines lletres corresponen les sèries de 5 lletres que formem.</div>
</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0kllCfyzseuN-Bx6XAqDASIp3siW60hAd-wuHcn3_7Tc99Tvev5I-ZhnTjgVaTVSOPtH85HdESw44xCLto_bstqKvjlBqY143npBKnvDIIObTdyuBKIbqlZbaPPGUO6MoSxKobWxPcBs/s1600/31+Mensaje+desencriptado+-+Message+decrypted+-+Missatge+desencriptat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Text desxifrat amb el codi Bacon." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0kllCfyzseuN-Bx6XAqDASIp3siW60hAd-wuHcn3_7Tc99Tvev5I-ZhnTjgVaTVSOPtH85HdESw44xCLto_bstqKvjlBqY143npBKnvDIIObTdyuBKIbqlZbaPPGUO6MoSxKobWxPcBs/s1600/31+Mensaje+desencriptado+-+Message+decrypted+-+Missatge+desencriptat.jpg" height="276" title="Text desxifrat amb el codi Bacon." width="640" /></a></div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Què hem obtingut? <b>Love FCB</b>, és a dir, Estimo al FC Barcelona! Crec que us heu quedat sense portada...</div>
</div>
<div>
<br />
- No, què va. Tan sols hem de <b>canviar els titulars</b>:</div>
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_yZDRa_8FCvrsCwjj8e6vBZ8pv38KfEELn-zdhvqeSKMhwnoh7-bsPjokkeVdCUENnVA4glJm8S1kTclmpscf3ujWBdu_r-pD_fj49nwXLJPcFenqwcWdvBNDiFO3bUKZUHIYY_Bovbg/s1600/28+bis+Luis+Su%C3%A1rez+vuelve+a+Liverpool.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Portada del Liverpool Post" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_yZDRa_8FCvrsCwjj8e6vBZ8pv38KfEELn-zdhvqeSKMhwnoh7-bsPjokkeVdCUENnVA4glJm8S1kTclmpscf3ujWBdu_r-pD_fj49nwXLJPcFenqwcWdvBNDiFO3bUKZUHIYY_Bovbg/s1600/28+bis+Luis+Su%C3%A1rez+vuelve+a+Liverpool.jpg" height="320" title="Portada del Liverpool Post" width="249" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIEKfdsULY6ygcxYnBv1kAH05vnSxE-ufJ2-GSU0flGH1cBGZELwfIiE_v12rjH_W2ZO_wTUqXqEXZRTBf8yyEgOJDLjZqfuyhomS8ZpXnI6YFYEvqzVDWdCWGzS9Jn6mHjvOunUIMyz8/s1600/28+Portada+del+Liverpool+Post.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Portada del Liverpool Post" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIEKfdsULY6ygcxYnBv1kAH05vnSxE-ufJ2-GSU0flGH1cBGZELwfIiE_v12rjH_W2ZO_wTUqXqEXZRTBf8yyEgOJDLjZqfuyhomS8ZpXnI6YFYEvqzVDWdCWGzS9Jn6mHjvOunUIMyz8/s1600/28+Portada+del+Liverpool+Post.jpg" height="320" title="Portada del Liverpool Post" width="250" /></a></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div>
- Moltes gràcies per tot, Pep!</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
- Gràcies a vosaltres per comptar amb mi per resoldre l'<b>enigma</b>. I <b><span style="font-size: large;">FELIÇ 13*5*31</span></b> per a tots!</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD-01lSLwz0_1aZ9Dd8G-MJzytvQ-STATZfF1M-1q1uM-QZtMlJAs8ASfY7Sj0yJjtWPn_cJFg-JUeZ4pWnV5Ur4_auONk9QOuJLZugKxT4Bx69t73S0LSfxsbZMSIOzoIELWFv6h-xao/s1600/arbolito+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Feliç Any Nou 2015 a tots." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD-01lSLwz0_1aZ9Dd8G-MJzytvQ-STATZfF1M-1q1uM-QZtMlJAs8ASfY7Sj0yJjtWPn_cJFg-JUeZ4pWnV5Ur4_auONk9QOuJLZugKxT4Bx69t73S0LSfxsbZMSIOzoIELWFv6h-xao/s1600/arbolito+2.jpg" height="360" title="Feliç Any Nou 2015 a tots." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolversiCatalana-Http/matesifutbolblogspotcomes&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://de91d6c8-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/matifutbolcatsite/bannerdesuscripcionamatifutbolcat.gif?attachauth=ANoY7coIbFolwUCVhQBF9Fgf57l-EV2HS2u5LK7rAINh9R33rluH0v0EMf77_dcTww-rYExSz5-iy-C_uUnD02o4feghUjwoysTw8ZPDDvKxh_cWHKk__TCOsXjFobRHdunhLGtSn_M37EfGyXz97uYbBcnRpI6y4Cj4D0IvLbcHuj78ZaAscliiKqzpMx8fM1rq8uwevp_2-C7i7C1gRCxzn7Jj9i6q6Oq2hLMULkX7hzW1XVGREArM4FfISyySDLdauOrBCmXG&attredirects=0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<!-- Informació adicional -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en els temes tractats en aquesta história, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://codelearn.cat/comptar-31-amb-dits-ma/" target="_blank">Saps com comptar fins a 31 amb els dits d’una mà?</a>, <a href="http://www.wikilingua.net/ca/articles/c/%C3%B3/d/C%C3%B3digo_Bacon_20b6.html" target="_blank">Codi Bacon</a>, <a href="http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/criptologia/bacon.htm" target="_blank">Màquina de xifrar amb el Codi de Bacon</a>, <a href="http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/criptologia/activitat_3.htm" target="_blank">Altres xifres monoalfabètiques</a>.</div>
</div>
<br />
<span style="text-align: justify;">I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblideu de donar un tomb pel <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Enlaces a meneame, divoblogger, etc -->
<!--<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si t'ha agradat aquesta història, pots votar per ella a <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20men%C3%A9ame%20xxx%20http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20divoblogger%20xxx%20http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Moltes gràcies.</span>
-->WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-19048434417835890932014-10-27T09:27:00.003-07:002014-10-28T08:46:58.214-07:00Halloween matemàtic<!-- Resum de la página -->
<span style="display: none;">Les Matemàtiques sovint inspiren temor a molt de gent. I de vegades, amb prou de raò. Així, en un partit que es disputa a Transsilvània descobrim uns nombres molt especials i misteriosos: els nombres vampir.
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiBB9QjvRHd9QHwO67fm9rkJJwB8eVzWm1pfZPg4uqYmwFl582mtms97OrKpRWlEHyywDSK-XaDw8gFJBebdabjKR7jsX6E1AsuTbogejmVuP0RjQ4KAiDsT6PpxapK1BfgpcrQVA4Bwo/s1600/cap%C3%A7alera+transsilv%C3%A0nia.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiBB9QjvRHd9QHwO67fm9rkJJwB8eVzWm1pfZPg4uqYmwFl582mtms97OrKpRWlEHyywDSK-XaDw8gFJBebdabjKR7jsX6E1AsuTbogejmVuP0RjQ4KAiDsT6PpxapK1BfgpcrQVA4Bwo/s1600/cap%C3%A7alera+transsilv%C3%A0nia.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwUle4FpKCzCykXg5no32CUCFc1aqywjDcKzHtXq-e3AXGgYvQKiXDKV-jA156RZ753U7zWq0eB-5r3MEf5TQmFNrJRTLTDJ88Th1l34Nb53i_mvkKhTa-CtTOccA9vR4BEtAW2MsoMy4/s1600/Vallas+publicitarias+11.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwUle4FpKCzCykXg5no32CUCFc1aqywjDcKzHtXq-e3AXGgYvQKiXDKV-jA156RZ753U7zWq0eB-5r3MEf5TQmFNrJRTLTDJ88Th1l34Nb53i_mvkKhTa-CtTOccA9vR4BEtAW2MsoMy4/s1600/Vallas+publicitarias+11.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" /></a>
</span>
<!-- Imatge de capçalera -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiBB9QjvRHd9QHwO67fm9rkJJwB8eVzWm1pfZPg4uqYmwFl582mtms97OrKpRWlEHyywDSK-XaDw8gFJBebdabjKR7jsX6E1AsuTbogejmVuP0RjQ4KAiDsT6PpxapK1BfgpcrQVA4Bwo/s1600/cap%C3%A7alera+transsilv%C3%A0nia.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiBB9QjvRHd9QHwO67fm9rkJJwB8eVzWm1pfZPg4uqYmwFl582mtms97OrKpRWlEHyywDSK-XaDw8gFJBebdabjKR7jsX6E1AsuTbogejmVuP0RjQ4KAiDsT6PpxapK1BfgpcrQVA4Bwo/s1600/cap%C3%A7alera+transsilv%C3%A0nia.jpg" height="444" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Enllaços a d'altres idiomes -->
<a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2014/09/impossible-transfer-will-rogers-phenomenon.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a>
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com.es/2014/09/traspaso-imposible-paradoja-will-rogers.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" height="60" width="60" /></a>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
<div style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://cuantozombi.com/2014/10/05/carnaval-de-matematicas-edicion-5-7-alan-turing/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.7 Alan Turing</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://cuantozombi.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">El zombi de Schrödinger</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Nombres terrorífics" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" title="Nombres terrorífics" /></a>Mai uns nombres havien causat tanta <b><span style="color: red; font-size: 120%;">por</span></b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Avui és <b>Halloween</b>, i està a punt de disputar-se el partit de la Lliga de Campions que enfronta als equips del CFR Cluj i del Manchester United FC.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheDStn7BZ0zeEjEfgL3CKYEe6AmEft0CNmjm85N62xy_6TTkPlBZzs09ePT83g3AAtV6xNjt0DQohWnVZYz6MkG7P4jHZ_GcDA5khYq8M1yQT7syrbvGFO4A52-rMjip3VtP8gOK04Xr0/s1600/Escut+del+CFR+Cluj.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut del CFR Cluj" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheDStn7BZ0zeEjEfgL3CKYEe6AmEft0CNmjm85N62xy_6TTkPlBZzs09ePT83g3AAtV6xNjt0DQohWnVZYz6MkG7P4jHZ_GcDA5khYq8M1yQT7syrbvGFO4A52-rMjip3VtP8gOK04Xr0/s1600/Escudo+del+CFR+Cluj.gif" height="200" title="Escut del CFR Cluj" width="175" /></a><span style="font-size: x-large;">vs.</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEcJoq1zab4WcDgOOYtSJDgovqRqkE7_5kdyEWO4dQ7bDrPa1gs4X0BNyMq9t-Pve6AxHNPH8aDIjluzFH3cZ32JWFzXaGOKeqzWtvQNZWvUMD4TnHo0iLXjxxbwmAQxcaEwLdJULLJJk/s1600/escudo+del+manchester+united.gif" imageanchor="1" style="font-size: xx-large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut del Manchester United FC" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEcJoq1zab4WcDgOOYtSJDgovqRqkE7_5kdyEWO4dQ7bDrPa1gs4X0BNyMq9t-Pve6AxHNPH8aDIjluzFH3cZ32JWFzXaGOKeqzWtvQNZWvUMD4TnHo0iLXjxxbwmAQxcaEwLdJULLJJk/s1600/escudo+del+manchester+united.gif" height="200" title="Escut del Manchester United FC" width="200" /></a><span style="font-size: x-large;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJubFhArgxh-faitxI6Cv-gERcg26SC658UF6vZWDcBiTOQzd5iOIbLnKSS7Vq5f10WSSpIVMjgRLzZPC5EqEk131HCsCb5dScqId97gKzbe39bLHt5Jk42KhgxSHdEaKg944tB95QFeA/s1600/stadium+constantin+radulescu+2.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Estadi Dr. Constantin Rădulescu del Cluj CFR" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJubFhArgxh-faitxI6Cv-gERcg26SC658UF6vZWDcBiTOQzd5iOIbLnKSS7Vq5f10WSSpIVMjgRLzZPC5EqEk131HCsCb5dScqId97gKzbe39bLHt5Jk42KhgxSHdEaKg944tB95QFeA/s1600/stadium+constantin+radulescu+2.JPG" height="150" title="Estadi Dr. Constantin Rădulescu del Cluj CFR" width="200" /></a></div>
L'autocar de l'equip anglès ha arribat a l'estadi un parell d'hores abans del partit.<br />
<br />
Els jugadors s'han canviat als vestidors, i han sortit a fer exercicis d'escalfament al terreny de joc.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ha estat en aquest moment, quan <a href="http://www.juanmata8.com/" target="_blank"><b>Juan Mata</b></a>, presa del pànic, ha sortit corrent cap als vestidors, y s'hi ha tancat allà. Diu que no vol sortir novament al camp.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
L'entrenador del Manchester United, Louis van Gaal, està preocupat, ja que Mata és una peça fonamental de l'equip. No sap què fer, ni per què Mata es comporta d'aquesta manera.</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Sembla que el jugador va tornar als vestidors quan va veure uns anuncis als que apareixen uns nombres ensangonats.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwUle4FpKCzCykXg5no32CUCFc1aqywjDcKzHtXq-e3AXGgYvQKiXDKV-jA156RZ753U7zWq0eB-5r3MEf5TQmFNrJRTLTDJ88Th1l34Nb53i_mvkKhTa-CtTOccA9vR4BEtAW2MsoMy4/s1600/Vallas+publicitarias+11.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Anuncis publicitaris amb nombres ensangonats" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwUle4FpKCzCykXg5no32CUCFc1aqywjDcKzHtXq-e3AXGgYvQKiXDKV-jA156RZ753U7zWq0eB-5r3MEf5TQmFNrJRTLTDJ88Th1l34Nb53i_mvkKhTa-CtTOccA9vR4BEtAW2MsoMy4/s1600/Vallas+publicitarias+11.jpg" height="227" title="Anuncis publicitaris amb nombres ensangonats" width="400" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVUYOrlkmuHUygYulZQcCl5lUc3Rr29l848GcvPGYoIbpc-VnOidVy_kxRM3JMPVCA237D0moSuJOcwfU6I0zHWtwqhYGoUFyrX2o0_igMIP0bzUGBArL4sJSgLVq0SKnlQDuoUzH9kc4/s1600/Juan+Mata+Manchester.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Juan Mata, jugador del Manchester United FC" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVUYOrlkmuHUygYulZQcCl5lUc3Rr29l848GcvPGYoIbpc-VnOidVy_kxRM3JMPVCA237D0moSuJOcwfU6I0zHWtwqhYGoUFyrX2o0_igMIP0bzUGBArL4sJSgLVq0SKnlQDuoUzH9kc4/s1600/Juan+Mata+Manchester.jpg" height="200" title="Juan Mata, jugador del Manchester United FC" width="171" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Coneixent que Juan Mata és aficionat a les <b>Matemàtiques</b>, opta per trucar al seu amic <b>Pep Vitruvi </b>amb el seu telèfon de darrera generació, per a veure si se li ocorreix alguna solució.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBuKyp5pNZj_HZ7Q8L_wpvyHKhLzT9DWMmMfM6_64RaIeoNqZmz-qdk-YLwh-B6k1e06_fLRJW1qbS0XKoj7gDBFYQR7UTzOEeGwobPXQOo_zGZPuSeonzGXtlY8zlTYTy1mEN_pEhqPY/s1600/van+gaal.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Louis van Gaal, entrenador del Manchester United" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBuKyp5pNZj_HZ7Q8L_wpvyHKhLzT9DWMmMfM6_64RaIeoNqZmz-qdk-YLwh-B6k1e06_fLRJW1qbS0XKoj7gDBFYQR7UTzOEeGwobPXQOo_zGZPuSeonzGXtlY8zlTYTy1mEN_pEhqPY/s1600/van+gaal.jpg" height="200" title="Louis van Gaal, entrenador del Manchester United" width="145" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhceB9xxyfdj8W9K6ALFkZzG44jXuKBdRZWV3TdqWSW0csHdD-8VGFwAOzMzeQj_7gqt3DDjNAEnNJ55GRFOXgXYnxyo3AUCXsTdhADI7aRPL5-jPhJLrhSTNxR2qhXWOyrYUahha7zfBw/s1600/telefono.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Telèfon d'última generació" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhceB9xxyfdj8W9K6ALFkZzG44jXuKBdRZWV3TdqWSW0csHdD-8VGFwAOzMzeQj_7gqt3DDjNAEnNJ55GRFOXgXYnxyo3AUCXsTdhADI7aRPL5-jPhJLrhSTNxR2qhXWOyrYUahha7zfBw/s1600/telefono.png" height="150" title="Telèfon d'última generació" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLpJAizYYqwHiNL8geflXwN6tVl1Xji-UREZegXXJQ3a2-TmIvjuXsOq8t7iHCkWxUCyuLN2j6PeLJE6goUkB9CxJ24HjTW5z4ukv6L_qixhFALTiLQhNsyx_QkWBmPFyPzMYxnVUT1bc/s1600/pepevitruvio.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLpJAizYYqwHiNL8geflXwN6tVl1Xji-UREZegXXJQ3a2-TmIvjuXsOq8t7iHCkWxUCyuLN2j6PeLJE6goUkB9CxJ24HjTW5z4ukv6L_qixhFALTiLQhNsyx_QkWBmPFyPzMYxnVUT1bc/s1600/pepevitruvio.jpg" height="200" title="Pep Vitruvi" width="97" /></a> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Què creus que pot estar passant?<br />
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Van Gaal contacta per telèfon amb Pep Vitruvi, i li comenta els detalls del que ha passat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Llavors, on dius que juguéu?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Som a Cluj. És la capital de <b>Transsilvània</b>, a Romania, una ciutat molt bonica dels Carpats.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtVQNBsj7TTc54-AhN_jbxfnF8tpgvnlrQSgjbspO-TFuAri1FJqHCEXVBd0TeqSEujbjFtxrES63o6J7dKoQ8FWkHBurAIg_yXOR1zkf3vY8Y3AWkzkNNRm_pRCZH0KqSOJGEOdu4wHM/s1600/cluj+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Centre històric de Cluj" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtVQNBsj7TTc54-AhN_jbxfnF8tpgvnlrQSgjbspO-TFuAri1FJqHCEXVBd0TeqSEujbjFtxrES63o6J7dKoQ8FWkHBurAIg_yXOR1zkf3vY8Y3AWkzkNNRm_pRCZH0KqSOJGEOdu4wHM/s1600/cluj+1.jpg" height="123" title="Centre històric de Cluj" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRnVFa1hvdWCK3dZxK4kBOgYSA_5JKjuh5kHUWQVEaf0F5kMfzuCwV4p76_Kl9rUqFUdYZgseWn_3uQV1IlE8btxVo0iR94ZUgKHP4uJR7CWo-IoDfL_VMBD1DVhWmvHxp6-7ZyfifKRw/s1600/cluj+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Centre històric de Cluj" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRnVFa1hvdWCK3dZxK4kBOgYSA_5JKjuh5kHUWQVEaf0F5kMfzuCwV4p76_Kl9rUqFUdYZgseWn_3uQV1IlE8btxVo0iR94ZUgKHP4uJR7CWo-IoDfL_VMBD1DVhWmvHxp6-7ZyfifKRw/s1600/cluj+2.jpg" height="150" title="Centre històric de Cluj" width="200" /></a></div>
<br />
- Bé. I, quina hora és ara mateix a Cluj?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs són dos quarts de nou de la tarda. Manca un quart d'hora per què comenci el partit, i encara que fa una mica de fred, el cel és clar i es veu perfectament la lluna.</div>
<br />
- Hi ha lluna plena?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOiXoPfObI86xwNpAajxvAh9tyqjYt49Dru2E4CZNTjuZEPXVlLkpy-FXwFv6acRx5KtV58WstelZwNS0xHGOA_PuSMAP2NfRWqHpRduLHYHksgpcZi-Ic0YEbLBqJNwKPeBDldS9Br7E/s1600/luna+en+estadio.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Lluna plena sobre l'estadi del Cluj" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOiXoPfObI86xwNpAajxvAh9tyqjYt49Dru2E4CZNTjuZEPXVlLkpy-FXwFv6acRx5KtV58WstelZwNS0xHGOA_PuSMAP2NfRWqHpRduLHYHksgpcZi-Ic0YEbLBqJNwKPeBDldS9Br7E/s1600/luna+en+estadio.JPG" height="233" title="Lluna plena sobre l'estadi del Cluj" width="320" /></a></div>
<br />
- Sí, avui és lluna plena.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I, què va passar quan heu sortit al terreny de joc?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, jo ja havia notat que Juan estava una mica nerviós. Però quan va veure aqueixos cartells publicitaris, va sortir corrent cap als vestidors.</div>
<br />
- Quins cartells?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Uns als què sortien uns nombres de color vermell, com ensangonats.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjksQeMbMcj5pyur-2MgUfaD_odZ9ea1qpNBC__9Ypxzmt4Vn4PqceZPucL2cRc_Hx-c3iwRv3_PwqytONLQ-rGwrOfAMuvrrmvObXRkT_iIlag5crOQK-CP1aK1_rMH98YQbkh71q6KM0/s1600/Vallas+publicitarias+12.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Valles publicitàries amb nombres ensangonats" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjksQeMbMcj5pyur-2MgUfaD_odZ9ea1qpNBC__9Ypxzmt4Vn4PqceZPucL2cRc_Hx-c3iwRv3_PwqytONLQ-rGwrOfAMuvrrmvObXRkT_iIlag5crOQK-CP1aK1_rMH98YQbkh71q6KM0/s1600/Vallas+publicitarias+12.jpg" height="111" title="Valles publicitàries amb nombres ensangonats" width="400" /></a></div>
<br />
- Només hi havia nombres?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí. M'imagino que serien nombres de telèfon d'alguna asseguradora online de cotxes, o quelcom semblant, oi?</div>
<br />
- Ja. Te'n recordes de quins nombres eren?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no. Però vaig fer unes fotos de l'escalfament amb el mòbil. Mira, aquí les tinc. Surten, entre d'altres, aquests nombres:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUP7kWkGW9GHX1Tl7zqMasuGdEjMypjPyNo5YaFbNRMGN2n0WKTqv6YqN1vQCGwKaqEVHxliByYrq0_NVLa6sVJQM0k38C4CDbLZstllmDoteSIIvObYM6YjTg9GhHXopj5gYn6vgwVSw/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Nombres vampirs" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUP7kWkGW9GHX1Tl7zqMasuGdEjMypjPyNo5YaFbNRMGN2n0WKTqv6YqN1vQCGwKaqEVHxliByYrq0_NVLa6sVJQM0k38C4CDbLZstllmDoteSIIvObYM6YjTg9GhHXopj5gYn6vgwVSw/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.gif" height="55" title="Nombres vampirs" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- Humm... Crec que tinc una idea del que està passant. Deixa'm que faci una comprobació a la maravellosa pàgina web de l'<a href="https://oeis.org/?language=spanish" target="_blank"><b>OEIS</b></a>... Efectivament, és el que pensava.</div>
<br />
- Qué passa?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És clar. Tots sabem que Juan Mata és un gran aficionat a las <b>Matemàtiques</b>. I també que és una mica supersticiós. Els dirigents del Cluj també ho saben, i coneixen que és un jugador molt important al joc del Manchester United. Per això han ficat aquests anuncis als lluminosos del terreny de joc.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKWs2eQ6l6f5eoAUQ8UrQd3faxd3F33bdxiPp4RaVjM5CAv2-S9xDwS-5so5Hp7zUv9rio36WOBRgbEsOHxxq6Cl89o-zgjscsvQ0SNZ0d56b6h8P9pIw44wUdZyPOXTWGY3gJS97l39U/s1600/transilvania.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Mapa de Transsilvània" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKWs2eQ6l6f5eoAUQ8UrQd3faxd3F33bdxiPp4RaVjM5CAv2-S9xDwS-5so5Hp7zUv9rio36WOBRgbEsOHxxq6Cl89o-zgjscsvQ0SNZ0d56b6h8P9pIw44wUdZyPOXTWGY3gJS97l39U/s1600/transilvania.jpg" height="222" title="Mapa de Transsilvània" width="320" /></a><br />
- No ho entenc massa.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé. Sou a <b>Transsilvània</b>, és de nit, hi ha <b>lluna plena</b>, i és <b>Halloween</b>. Una combinació ben bé tenebrosa, i inquietant per a algú supersticiós com Juan Mata. Però necessitaven atemoritzar-le encara més.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I l'han aconseguit amb uns simples nombres?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí. Podien haver tret al terreny de joc a algú disfressat de <b>vampir</b>, però hauria estat massa evident. Han ideat quelcom més subtil.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhld_YGzJT3_C4zIoHnc05BoI0UrzQVip4eq1sGqEfbAqWUqFLjL7h5tJci74GIi017SSkAcoSRm7FozbyAKQGnYjOhzfdmG1mEClePM2zEJqlNKM46dBuHb3NSFCjwaQoQc1eY7t7C-UU/s1600/vampiro.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Vampir transsilvà" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhld_YGzJT3_C4zIoHnc05BoI0UrzQVip4eq1sGqEfbAqWUqFLjL7h5tJci74GIi017SSkAcoSRm7FozbyAKQGnYjOhzfdmG1mEClePM2zEJqlNKM46dBuHb3NSFCjwaQoQc1eY7t7C-UU/s1600/vampiro.gif" height="200" title="Vampir transsilvà" width="125" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- Què tenen d'especial aqueixos nombres? No veig que siguin especialment tenebrosos...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs sí que ho són. Són uns nombres coneguts com <b><span style="color: red;">nombres vampir</span></b>.</div>
<br />
- Eh? I per què?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, aquesta denominació es deu al magnífic divulgador matemàtic <a href="http://www.pickover.com/" target="_blank">Clifford A. Pickover</a>. Es tracta d'uns nombres que compleixen una sèrie de propietats:</div>
<br />
1.- Han de tenir un nombre parell de dígits.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://cdn.thinglink.me/api/image/582586906525564930/1024/10/scaletowidth#tl-582586906525564930;1043138249'" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" class="alwaysThinglink" height="276" src="https://cdn.thinglink.me/api/image/582586906525564930/1024/10/scaletowidth#tl-582586906525564930;1043138249'" style="max-width: 100%;" width="400" /></a>2.- Es formen a partir del producte de dos nombres, als que anomenem <b>ullals</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
3.- Tenen els mateixos dígits que els seus ullals.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
4.- Tots els seus ullals no poden acabar en zero.</div>
<br />
<script async="" charset="utf-8" src="//cdn.thinglink.me/jse/embed.js"></script>
- No he entès res.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- T'ho explicaré amb un exemple: el nombre 1395. Aquest nombre té 4 dígits, i pot obtenir-se com a multiplicació dels nombres 15 i 93, que seràn els seus ullals.</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-size: 130%;"><b>15 · 93 = 1395</b></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Pots veure que el nombre vampir té els mateixos dígits que els seus ullals <span class="unidas">(1, 3, 5 y 9)</span>, i que els seus ullals no acaben en zero.</div>
<br />
- És veritat.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Nombre vampir amb dos ullals" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYoev-FWv4T4F1G4KLbJN5lIVDNwkZTSLqHz6F-GvH3pIE-erm3SW2tEzIBf_HmBsJzwWkxgKs1eFOOFp1P_H1rT_jHEarNvvCytCu6N0IUxn7KfyMHfnHMwQmYB8L7VNSBI4iE8AqtiQ/s1600/picasion.com_041bb0d8415fb78e3b0c4b1faaa61679.gif" title="Nombre vampir amb dos ullals" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara anem amb el nombre 125460. Aquest nombre vampir s'hi pot descompondre en els següents productes:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-size: 130%;"><b>204 · 615 = 246 · 510 = 125460</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
- Caram, té dos parells de ullals!<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, i encara n'hi ha amb més ullals. Així, els tenim amb 3 parells de ullals:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: red; font-size: 115%;">1620 · 8073 = 1863 · 7020 = 2070 · 6318 = 13078260</span></b></div>
<br />
- Fins i tot es coneix un nombre de 70 dígits que té 100.025 parells d'ullals...<br />
<br />
- També n'hi ha nombres pseudovampirs, en els quals els ullals no han de tenir sempre un nombre parell de dígits:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-size: 115%;"><b>8 · 86 = 688</b></span></div>
<br />
- O nombres vampirs primers, que són aquells que es descomposen en un producte d'ullals primers, como aquest:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-size: 115%;"><b>167 · 701 = 117067</b></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
- Llavors tots aqueixos nombres que apareixien als cartells publicitaris eren <b>nombres vampir</b>, oi?</div>
<br />
- Això és.<br />
<br />
- Doncs llavors, no m'extranya gens ni mica que Juan sigui tan espantat.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1qRzrehh-HlMYZqn2_jymjalDPazzmIyGyhYIHy1vjllqwUXeDxrqrJjIW6qweQzniuIfN9nqMxWG_STnCHgfwrQL4BxCO5PbkfGRzyOseqAx6RzTbN2GQiQnTxrtDrXxoX1MakpVTMI/s1600/Juan+Mata+collar.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Juan Mata amb un collaret d'alls" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1qRzrehh-HlMYZqn2_jymjalDPazzmIyGyhYIHy1vjllqwUXeDxrqrJjIW6qweQzniuIfN9nqMxWG_STnCHgfwrQL4BxCO5PbkfGRzyOseqAx6RzTbN2GQiQnTxrtDrXxoX1MakpVTMI/s1600/Juan+Mata+collar.jpg" height="200" title="Juan Mata amb un collaret d'alls" width="171" /></a>
- Sí. Crec que hauries de dir-li al delegat de camp que hem descobert la seva estratagema per què Juan Mata no jugui, i després intentar tranquil·litzar al jugador.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Perfecte. Això serà ho que faré. Encara que no sé si aconseguiré calmar-li, estava molt nerviós.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé. Tinc entès que la FIFA prohibeix jugar amb anells, polseres, rellotges i qualsevol altre objecte que pugui lesionar als contraris. Però potser no digui res de poder jugar amb un <b>collaret d'alls</b>...</div>
<br />
- Me'n vaig a repassar el reglament. Moltes gràcies per tot, Pep.<br />
<br />
- De res. I bona sort en el partit!<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Banner de suscripción al blog -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolversiCatalana-Http/matesifutbolblogspotcomes&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://de91d6c8-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/matifutbolcatsite/bannerdesuscripcionamatifutbolcat.gif?attachauth=ANoY7coIbFolwUCVhQBF9Fgf57l-EV2HS2u5LK7rAINh9R33rluH0v0EMf77_dcTww-rYExSz5-iy-C_uUnD02o4feghUjwoysTw8ZPDDvKxh_cWHKk__TCOsXjFobRHdunhLGtSn_M37EfGyXz97uYbBcnRpI6y4Cj4D0IvLbcHuj78ZaAscliiKqzpMx8fM1rq8uwevp_2-C7i7C1gRCxzn7Jj9i6q6Oq2hLMULkX7hzW1XVGREArM4FfISyySDLdauOrBCmXG&attredirects=0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<!-- Informació adicional -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en aquest tema del <b>fenomen Will Rogers</b> i en la <b>teoria dels jocs</b>, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_vampir" target="_blank">Nombre vampir</a>, <a href="https://www.youtube.com/watch?v=3ZMnVd4ivKQ" target="_blank">Vampire numbers Numberphile</a>.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblideu de donar un tomb pel <a href="http://cifrasyteclas.com/2014/09/24/resumen-de-la-edicion-5-6-paul-erdos-del-carnaval-de-matematicas/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0Cluj-Napoca 400000, Rumanía46.766667 23.58333300000003946.592698 23.26060950000004 46.940636 23.906056500000037tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-31124712334578877832014-09-30T08:02:00.000-07:002014-10-06T06:41:20.480-07:00El traspàs impossible<!-- Resum de la página -->
<span style="display: none;">A un representant de jugadors atabalat per no haver efectuat cap traspàs durant l'estiu, de sobte se li presenta una oportunitat única. El problema és que l'equip comprador i el venedor tenen interesos aparentment oposats. Podrà acontentar a ambdues parts? La paradoxa de Will Rogers i la teoria dels jocs.
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7v7lBEGYfNrikyPZ0tLzcyeqGzdb5ZgqnpZNcdzfUXBemJHDagHHtyRxEQ_LBf9b27-R4CZBO9Nz3B1yf1JbEK4piLwmOvRlosWlM2TCMReCjlavwMQDRCE6Qvvp12a4ETVMPFWdFAhY/s1600/willrogers3.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7v7lBEGYfNrikyPZ0tLzcyeqGzdb5ZgqnpZNcdzfUXBemJHDagHHtyRxEQ_LBf9b27-R4CZBO9Nz3B1yf1JbEK4piLwmOvRlosWlM2TCMReCjlavwMQDRCE6Qvvp12a4ETVMPFWdFAhY/s1600/willrogers3.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjD1ccSZS4WyTksPbzTPnUNYGq3uW8xAwXoBtDiNc0WWZWf5OgY4DOFcK-neoBJZj9bC034jHFbwn8eAHUKHHHWKvfHnMW6VcsSOhyphenhyphenAClR5A1k6LFGtMqHC7AhASHvQ1VCCGrR6PuM4zI/s1600/columpio.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjD1ccSZS4WyTksPbzTPnUNYGq3uW8xAwXoBtDiNc0WWZWf5OgY4DOFcK-neoBJZj9bC034jHFbwn8eAHUKHHHWKvfHnMW6VcsSOhyphenhyphenAClR5A1k6LFGtMqHC7AhASHvQ1VCCGrR6PuM4zI/s1600/columpio.gif" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" /></a>
</span>
<!-- Enllaços a d'altres idiomes -->
<a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2014/09/impossible-transfer-will-rogers-phenomenon.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a>
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com.es/2014/09/traspaso-imposible-paradoja-will-rogers.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" height="60" width="60" /></a>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
<div style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://cifrasyteclas.com/2014/09/24/resumen-de-la-edicion-5-6-paul-erdos-del-carnaval-de-matematicas/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.6 Paul Erdös</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://cifrasyteclas.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">Cifras y Letras</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Text principal -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: right;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7v7lBEGYfNrikyPZ0tLzcyeqGzdb5ZgqnpZNcdzfUXBemJHDagHHtyRxEQ_LBf9b27-R4CZBO9Nz3B1yf1JbEK4piLwmOvRlosWlM2TCMReCjlavwMQDRCE6Qvvp12a4ETVMPFWdFAhY/s1600/willrogers3.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="La paradoxa de Will Rogers" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7v7lBEGYfNrikyPZ0tLzcyeqGzdb5ZgqnpZNcdzfUXBemJHDagHHtyRxEQ_LBf9b27-R4CZBO9Nz3B1yf1JbEK4piLwmOvRlosWlM2TCMReCjlavwMQDRCE6Qvvp12a4ETVMPFWdFAhY/s1600/willrogers3.jpg" height="250" title="La paradoxa de Will Rogers" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Ha sigut un mal estiu per a Klaus Händler.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Klaus </b>és <b>representant </b>de jugadors, i durant els últims mesos cap de les operacions de traspàs que ha negociat ha arribat a bon terme.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Alguns dels clubs amb els que treballa <b>no </b>tenen <b>diners</b> per a fitxatges degut a la crisi, i a més, varis dels jugadors als quals representa s'han lesionat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Està pensant que segurament haurà de <b>vendre </b>algún dels seus estimats <b>Lamborghini</b> per poder afrontar les despeses de la seva acomodada vida durant aquest hivern, quan, de sobte, sona el telèfon.</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZFqKEoKKMTKkBd_1Rutve0zqqdojfPrirTybLB4HyXvTbYIGb7DWNx9zyxRZCVUoN4yBgW1XtWy5Z5UhA7UHgiQd9MqFdcA82owcKuZRH_yJJE6INecx21OE2d0v6XOn8aFQBUblPaYo/s1600/lamborghini.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Selecció de fantàstics cotxes de la marca Lamborghini" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZFqKEoKKMTKkBd_1Rutve0zqqdojfPrirTybLB4HyXvTbYIGb7DWNx9zyxRZCVUoN4yBgW1XtWy5Z5UhA7UHgiQd9MqFdcA82owcKuZRH_yJJE6INecx21OE2d0v6XOn8aFQBUblPaYo/s1600/lamborghini.gif" height="320" title="Selecció de fantàstics cotxes de la marca Lamborghini" width="640" /></a></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUB8sFQNYB1YDXnW6BoIqKxH2kumHAUbV7TyCJIPsEW5mrme3ZdaTvtj19t_Jxm1IiXG4MsV91gJQQVQ-rq6Y312lAa57MuSGLdiVAWDGEuPO9-pP0pXdx-vTd3c8JHaa4utLjYcS1KYQ/s1600/FC+Schalke+04+logo.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="Escut del FC Schalke 04" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUB8sFQNYB1YDXnW6BoIqKxH2kumHAUbV7TyCJIPsEW5mrme3ZdaTvtj19t_Jxm1IiXG4MsV91gJQQVQ-rq6Y312lAa57MuSGLdiVAWDGEuPO9-pP0pXdx-vTd3c8JHaa4utLjYcS1KYQ/s1600/FC+Schalke+04+logo.gif" height="176" title="Escut del FC Schalke 04" width="200" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
És Josef, president del <b><a href="http://www.schalke04.de/en/" target="_blank">FC Schalke 04</a></b>:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>Klaus, tenim ara mateix 5 <b>davanters </b>al plantilla, i ens cal <b>vendre </b>un d'ells. Ves a veure què hi pots fer...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Tot just després de penjar, rep una nova trucada. Aquesta vegada és Wolfgang, president del <b><a href="http://www.schalke04.de/en/" target="_blank">Bayer 04 Leverkusen</a></b>:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGxzarRfqG3VL07pdY2LElI4W_HbsEn71FTsyoJ_5xCIkq-tDKCUc1MXQAnbnjcgQd8J-OGfzIMr4w6XXjC6UyUOIPv51PKPiNc5YPzSwZE730pMGBw6zjsDQuWbOqbARMKq1d_RY85PU/s1600/Bayer+04+Leverkusen+logo.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut del Bayer 04 Leverkussen" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGxzarRfqG3VL07pdY2LElI4W_HbsEn71FTsyoJ_5xCIkq-tDKCUc1MXQAnbnjcgQd8J-OGfzIMr4w6XXjC6UyUOIPv51PKPiNc5YPzSwZE730pMGBw6zjsDQuWbOqbARMKq1d_RY85PU/s1600/Bayer+04+Leverkusen+logo.gif" height="199" title="Escut del Bayer 04 Leverkussen" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>Klaus, com estàs? Te truco perquè manquen poques hores per que es tanqui el mercat de fitxatges, i volem <b>contractar </b>un <b>davanter </b>més...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sembla que a Klaus se li presenta una oportunitat única per no haver de vendre els seus cotxes de luxe.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Però hi ha un problema. Tots dos equips estan interessats en <b>incrementar </b>la <b>capacitat golejadora mitjana</b> de la seva davantera i, alhora, <b>reduir </b>la <b>nòmina mitjana</b> dels seus jugadors.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Incrementar la capacitat golejadora mitjana y reduir la nòmina mitjana tot alhora" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" height="137" title="Incrementar la capacitat golejadora mitjana y reduir la nòmina mitjana tot alhora" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Klaus realitza unes quantes trucadas a diversos equips, per veure si pot casar alguna operació, però tots els equips han tancat ja les seves plantilles.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
És clar que tampoc resulta viable vendre un dels davanters del Schalke al Bayer, donades les <b>condicions imposades </b>per ambdós equips. Llavors, què pot fer Klaus? Li podrem ajudar d'alguna forma?</div>
<br />
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segona part -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Text principal -->
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFGL9jzURb3Y9tE2bxD_ntauP3L4G57XN6vFobikEY5nbLKUWMbPWAzUuXGG7plcA04TALuKLlWNvqVNQQxsZc1ATPr4EGCQyTmXNm69AphzrFewZPmq3WXOTeYgbw1VvIF7aAXfqjMio/s1600/pepevitruvio.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Pep Vitruvi" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFGL9jzURb3Y9tE2bxD_ntauP3L4G57XN6vFobikEY5nbLKUWMbPWAzUuXGG7plcA04TALuKLlWNvqVNQQxsZc1ATPr4EGCQyTmXNm69AphzrFewZPmq3WXOTeYgbw1VvIF7aAXfqjMio/s1600/pepevitruvio.jpg" height="200" title="Pep Vitruvi" width="97" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
A Klaus se li ha acudit trucar al seu amic <a href="http://matesifutbol.blogspot.com.es/2014/06/assassi-matematic-combinatoria-triangle-pascal.html" target="_blank"><b>Pep Vitruvi</b></a>, per que l'ajudi amb aquest <b>problema </b>aparentment irresoluble.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Pep, pel que jo sé, passa que si <b>traspassem </b>un jugador del Schalke 04 al Bayer Leverkussen, la capacitat golejadora mitjana de la davantera del Bayer s'<b>incrementará </b>en la mateixa proporció en què <b>disminueix </b>la del Schalke. I, de la mateixa manera, la nòmina mitjana del Bayer s'incrementarà en la mateixa proporció en la que s'hi redueix la del Schalke.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjD1ccSZS4WyTksPbzTPnUNYGq3uW8xAwXoBtDiNc0WWZWf5OgY4DOFcK-neoBJZj9bC034jHFbwn8eAHUKHHHWKvfHnMW6VcsSOhyphenhyphenAClR5A1k6LFGtMqHC7AhASHvQ1VCCGrR6PuM4zI/s1600/columpio.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="El que s'incrementa en un equip, es redueix en l'altre." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjD1ccSZS4WyTksPbzTPnUNYGq3uW8xAwXoBtDiNc0WWZWf5OgY4DOFcK-neoBJZj9bC034jHFbwn8eAHUKHHHWKvfHnMW6VcsSOhyphenhyphenAClR5A1k6LFGtMqHC7AhASHvQ1VCCGrR6PuM4zI/s1600/columpio.gif" height="215" title="El que s'incrementa en un equip, es redueix en l'altre." width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Així que, segons em comentes, tot el que perd un equip ho guanya l'altre. Això és el que s'anomena <b><a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Joc_de_suma_nul%C2%B7la" target="_blank">joc de suma nul·la</a></b> en les <b><a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_dels_jocs" target="_blank">teories matemàtiques dels jocs</a></b>. Però no sempre és així. Igual que a la vida real, poden donar-se'n situacions en que ambdues parts surtin beneficiades o perjudicades (<b>jocs de suma no nul·la</b>).</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, encara que en aquest cas, no veig que pugui ser així.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, podem intentar-ho. M'has comentat que tots dos equips volen <b>incrementar </b>la capacitat golejadora mitjana del seus davanters, i<b> alhora reduir </b>la nòmina mitjana dels mateixos, veritat?</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Incrementar la capacitat golejadora mitjana i reduir la nòmina mitjana alhora" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnAzgR1wHWwk4CxPPw3xOcQIgTz8kyIJ2tKSDpMaJ5_X2jbK-Uyx6sYueV0pwbu6vFszQt4yXZJzNNFZ8R8YndwvFdoXXLqDkVJVohjwQoQ5mT-omVAv9Q81wMJG8SxVj_kRk4sl4WLnQ/s1600/moregoalslessbitcoins.gif" height="137" title="Incrementar la capacitat golejadora mitjana i reduir la nòmina mitjana alhora" width="640" /></a><br />
<br />
- Sí, així és.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Si parléssim en <b>valors </b>absoluts, no hi hauria cap forma de fer-ho. Però com es tracta de <b>mitjanes</b>, la cosa canvia. Em pots donar les dades de gols i sous dels davanters dels dos equips?</div>
<br />
- Sí, és clar, aquí els tinc.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ER_fhj_MVW6F5-IY8FhT8gE3glC4k8LyEC2ThsPWDfqusNUkCpXI88ikXI6DJ4Tgh3lWiyDYPPNnQHbYCrABH8xX_1o1AmHtNHVXGHavyaK1Xj0vsSwqtDDX6KVy5g6-WcLQdHZUFNA/s1600/mitjana1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ER_fhj_MVW6F5-IY8FhT8gE3glC4k8LyEC2ThsPWDfqusNUkCpXI88ikXI6DJ4Tgh3lWiyDYPPNnQHbYCrABH8xX_1o1AmHtNHVXGHavyaK1Xj0vsSwqtDDX6KVy5g6-WcLQdHZUFNA/s1600/mitjana1.JPG" title="Sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWf-hG7BnTMDvA8YnhsHYipE1ZyNjM1HR0VNUM4Zj4bGgG-cppkHDmzRu37YaESx_U8fzmoEN9AbBDNh1njdAlHzFBXzbThTJLDnIh8TFJbecrzmxQNdFzBNsM5J77cfzunts8uWtbjq8/s1600/mitjana3.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Sous i gols marcats pels davanters del Bayer 04 Leverkussen" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWf-hG7BnTMDvA8YnhsHYipE1ZyNjM1HR0VNUM4Zj4bGgG-cppkHDmzRu37YaESx_U8fzmoEN9AbBDNh1njdAlHzFBXzbThTJLDnIh8TFJbecrzmxQNdFzBNsM5J77cfzunts8uWtbjq8/s1600/mitjana3.JPG" title="Sous i gols marcats pels davanters del Bayer 04 Leverkussen" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, anem doncs a <b>calcular la mitjana</b> de gols i salaris de les dues davanteres.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirogG_hmoq6FB3oFynI9A689EknLSJP0dpg0O36j1ICWgXDRUbePltblbuZ0Gtp7FwFl_7HETefRU0Yp4iG2a3wR-boQe1CmsVHE0nB8BV_7qzNCD1BRBgru2iP3a7zlT_x83KZ5E16FA/s1600/mitjana5.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirogG_hmoq6FB3oFynI9A689EknLSJP0dpg0O36j1ICWgXDRUbePltblbuZ0Gtp7FwFl_7HETefRU0Yp4iG2a3wR-boQe1CmsVHE0nB8BV_7qzNCD1BRBgru2iP3a7zlT_x83KZ5E16FA/s1600/mitjana5.JPG" title="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRfNp4eV2ojDPipnx1K6773SbycjdbUJAYjwNRQivTE1-RQZC9t2znMGUl8zOAB0-H8anR0MGXnhR6DkEVgxjMKSOLfI9gp7rpgy3tUJKlUUHWwatrT56sbMmJkdv3qy35k_QuLYMxb2s/s1600/mitjana7.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Bayer 04 Leverkussen" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRfNp4eV2ojDPipnx1K6773SbycjdbUJAYjwNRQivTE1-RQZC9t2znMGUl8zOAB0-H8anR0MGXnhR6DkEVgxjMKSOLfI9gp7rpgy3tUJKlUUHWwatrT56sbMmJkdv3qy35k_QuLYMxb2s/s1600/mitjana7.JPG" title="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Bayer 04 Leverkussen" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ara podem comprovar que sí hi ha soluciós pel teu problema. Només hem d'aplicar la <b>paradoxa de Will Rogers</b>.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyY30LoBUUYYeQwnoAon5nwk0LiPjQS5B0CSV72_EwvqtyF6nBciXk6vMviwBvVwF-o9xZ4tDk0fhz0nIvc3c18CinOMagZIh3vExoCFGV6PkRGH4j0GfJCGmgeVE3YcLg6k8kAl31pGI/s1600/willrogers.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Will Rogers, comediògraf nordamericà" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyY30LoBUUYYeQwnoAon5nwk0LiPjQS5B0CSV72_EwvqtyF6nBciXk6vMviwBvVwF-o9xZ4tDk0fhz0nIvc3c18CinOMagZIh3vExoCFGV6PkRGH4j0GfJCGmgeVE3YcLg6k8kAl31pGI/s1600/willrogers.jpg" title="Will Rogers, comediògraf nordamericà" /></a><br />
- I... això què és?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Aquesta paradoxa fa referència a un comentari que va fer <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Will_Rogers" target="_blank"><b>Will Rogers</b></a>, un artista nordamericà, a començaments del segle XX: “When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states." (Quan els ciutadans d'Oklahoma es desplacen a Califòrnia, la <b>intel·ligència mitjana</b> de <b>tots dos </b>estats <b>creix</b>).</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Amb això, el que volia dir és que fins i tot quan els ciutadans d'<b>Oklahoma </b>que marxaven a California eren els <b>menys intel·ligents</b> del seu estat, tot i així eren <b>més intel·ligents </b>que els habitants de <b>California</b>, oi?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLXd4uMNmj2CBFZkBoRiamnHEd-Yev1Mn8UEOy_BLC-5rM744erjY5RJos_zfkPpmymfTPeiVwtngx0MbJgVCXqYkv7Wt_FxWLxI8u-HwNH4mqCrDW5Qz0MxFbXM1nYwAlXZGWOJFOYIc/s1600/oklahomatocalifornia.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Trasllat des d'Oklahoma fins a Califòrnia" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLXd4uMNmj2CBFZkBoRiamnHEd-Yev1Mn8UEOy_BLC-5rM744erjY5RJos_zfkPpmymfTPeiVwtngx0MbJgVCXqYkv7Wt_FxWLxI8u-HwNH4mqCrDW5Qz0MxFbXM1nYwAlXZGWOJFOYIc/s1600/oklahomatocalifornia.jpg" height="247" title="Trasllat des d'Oklahoma fins a Califòrnia" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Efectivament. D'aquesta manera, qualsevol ciutadà d'Oklahoma amb una intel·ligència per sota de la mitjana estatal que marxi a viure a Califòrnia fa que s'<b>incrementi</b> la intel·ligència<b> mitjana </b>dels<b> dos estats</b> per separat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I això cóm ho podem <b>aplicar </b>al nostre cas?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé. Ens fixarem en el jugador del Schalke 04, el peruà <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Jefferson_Farf%C3%A1n" target="_blank">Jefferson Farfán</a>. La seva capacitat golejadora és menor que la mitjana del seu equip, però tot i això cobra més que la mitjana dels seus companys. Malgrat això, marca més gols que la mitjana dels davanters del Bayer Leverkussen, i cobra menys que ells.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhiAFod8GKforoCQ6OsX6GzhPPXPZyuP_9io5M2rNiimvPmemg5Xd6tJHG8O3a6xmklh3PVCLh5kBn_Ky9jvb072pkQZasmz4xpGDdO1DxaFtjZCqTzMTY88J7Bez7RMnu5hSzGdyMkPA/s1600/mitjana9.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparativa de la capacitat golejadora i del salari de Jefferson Farfán amb les mitjanes del seu equip, el Schalke 04" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhiAFod8GKforoCQ6OsX6GzhPPXPZyuP_9io5M2rNiimvPmemg5Xd6tJHG8O3a6xmklh3PVCLh5kBn_Ky9jvb072pkQZasmz4xpGDdO1DxaFtjZCqTzMTY88J7Bez7RMnu5hSzGdyMkPA/s1600/mitjana9.jpg" title="Comparativa de la capacitat golejadora i del salari de Jefferson Farfán amb les mitjanes del seu equip, el Schalke 04" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn6PHyYK2Laax7d0160mxLSE7omFGJ4zUYc_hHVz-Y5zyaaUERKfusIBN3STkD7viDhT_gEF9p10G5YALrThm-Yy0E8uGgFabjbhGbA8Uj6z5AEfmika0Sx2TtbPknl_K0JtLF5Duvlcc/s1600/mitjana10.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparativa de la capacitat golejadora i del salari de Jefferson Farfán amb les mitjanes del Bayer Leverkussen" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn6PHyYK2Laax7d0160mxLSE7omFGJ4zUYc_hHVz-Y5zyaaUERKfusIBN3STkD7viDhT_gEF9p10G5YALrThm-Yy0E8uGgFabjbhGbA8Uj6z5AEfmika0Sx2TtbPknl_K0JtLF5Duvlcc/s1600/mitjana10.jpg" title="Comparativa de la capacitat golejadora i del salari de Jefferson Farfán amb les mitjanes del Bayer Leverkussen" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara ho veig clar. Si <b>traspassem </b>aquest jugador d'un equip a l'altre, suposant que cobrarà el mateix i que marcarà els mateixos gols, els dos equips milloraran totes les seves mitjanes.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Així és, vegem el que passa a la taula.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQo-kOYzxbDuZoyDbaIfRlL-CZiIuUKguCoeQ_yaFJBE_ayN6Og23bzkcwYF2JeZJrzim4PvIsQx9jriROs9fy-3ihTo3wRTdtbH75Bhk9lBm_hRdn7wIhSHVXivHWHtr8TbwpEP4ckbc/s1600/mitjana6.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04 desprès del trespàs de Jefferson Farfán" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQo-kOYzxbDuZoyDbaIfRlL-CZiIuUKguCoeQ_yaFJBE_ayN6Og23bzkcwYF2JeZJrzim4PvIsQx9jriROs9fy-3ihTo3wRTdtbH75Bhk9lBm_hRdn7wIhSHVXivHWHtr8TbwpEP4ckbc/s1600/mitjana6.JPG" title="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Schalke 04 desprès del trespàs de Jefferson Farfán" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo7blpOPrE3arKDJtRhIxHEeYzXcj4wwaGe0cm-O7h1_x4Uqwd7WyMCc9pwL-Qon5hIhmn5QKVbnZrAkynqYP8hpaR62guXwCbwDluyr4cG40BwH2J2LgcA0d2uYDkHDLWIH63FnClCKw/s1600/mitjana8.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Bayer 1904 Leverkussen desprès del trespàs de Jefferson Farfán" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo7blpOPrE3arKDJtRhIxHEeYzXcj4wwaGe0cm-O7h1_x4Uqwd7WyMCc9pwL-Qon5hIhmn5QKVbnZrAkynqYP8hpaR62guXwCbwDluyr4cG40BwH2J2LgcA0d2uYDkHDLWIH63FnClCKw/s1600/mitjana8.JPG" title="Mitjana de sous i gols marcats pels davanters del Bayer 1904 Leverkussen desprès del trespàs de Jefferson Farfán" /></a></div>
<br />
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> És veritat, els dos equips han incrementat la seva mitjana de gols per partit, i han reduït l'import mitjà dels seus salaris </span>I això passa sempre?<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhE4lkkYir4qUNXkpl85hYn53DtVqh9jm5cwlxCHNBGdpom0YAOzI5tovZQPG6X7cML_C-pYglG8qp_nH6z6oDkTTo7yqhfwrX-5mdJpW7bf9suAJ7Vl0gfqp4lE5PlYEQ_4lXDRF8leSw/s1600/comida-alemana.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Suculent menjar típic alemany" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhE4lkkYir4qUNXkpl85hYn53DtVqh9jm5cwlxCHNBGdpom0YAOzI5tovZQPG6X7cML_C-pYglG8qp_nH6z6oDkTTo7yqhfwrX-5mdJpW7bf9suAJ7Vl0gfqp4lE5PlYEQ_4lXDRF8leSw/s1600/comida-alemana.jpg" height="150" title="Suculent menjar típic alemany" width="200" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>No, no sempre. Però de vegades sí que passa, com en aquest cas.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>Doncs acabes de solucionar-me la vida aquest hivern. Hauré d'invitar-te'n a un <b>bon menjar</b>…</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>Crec que et costará quelcom més que un bon àpat. Prefereixo que fem el següent <b>tracte</b>: em <b>pagaràs </b>en <b>funció </b>dels <b>gols </b>que marqui al llarg de la temporada. Si marca un gol, em pagaràs 2 bitcoins. Si marca 2, em pagaràs el doble, 4 bitcoins. Si marca 3 gols, em pagaràs el doble, és a dir, 8 <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Bitcoin" target="_blank">bitcoins</a>. I així successivament.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-<span class="Apple-tab-span" style="white-space: pre;"> </span>Em sembla un tracte just i raonable. Estem d'acord.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgygAwucd7wLy1vFDLRDurLUDBYMec8dv7FEd4SXw9NNUC2vp2_fUugoDSCoKMV5xny4lXoL-H3bQTiULKTet17E2gBvHnQIF5dQtqIlwokcpmnjNMKMk4KTH_bZS-44sgmIqoYI5IoetM/s1600/golfarfan2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Jefferson Farfán marcant un gol amb el Bayer Leverkussen. " border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgygAwucd7wLy1vFDLRDurLUDBYMec8dv7FEd4SXw9NNUC2vp2_fUugoDSCoKMV5xny4lXoL-H3bQTiULKTet17E2gBvHnQIF5dQtqIlwokcpmnjNMKMk4KTH_bZS-44sgmIqoYI5IoetM/s1600/golfarfan2.jpg" height="278" title="Jefferson Farfán marcant un gol amb el Bayer Leverkussen. " width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El fitxatge es va dur a terme. El Schalke va vendre un dels seus jugadors sobrants, el Bayer se'n va fer amb els serveis d'un <b>extraordinari davanter</b>, i Klaus no va haver de vendre cap dels seus preciosos Lamborghini. Almenys durant aquest hivern, ja que Farfán va marcar <b>25 gols</b> amb el seu nou equip…</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Saps calcular quànts bitcoins va haver de pagar Klaus Händler a Pep Vitruvi a la fi de la temporada?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBrkKUYhHygFWX4LYnH56Xx7Zil5GgaLO7fnPxNA2VQrPrxMNFRJS_fvl_e_kea0y4ThBWhWdJRu_a365vC1zaI4bLc_JB0pYrlPUWbK3uACKlF2tC6BlalzxlCqvrRPQ-zLOyjeN9Fbk/s1600/bitcoins2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Monedes de bitcoins, una de les monedes virtuals d'internet" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBrkKUYhHygFWX4LYnH56Xx7Zil5GgaLO7fnPxNA2VQrPrxMNFRJS_fvl_e_kea0y4ThBWhWdJRu_a365vC1zaI4bLc_JB0pYrlPUWbK3uACKlF2tC6BlalzxlCqvrRPQ-zLOyjeN9Fbk/s1600/bitcoins2.jpg" height="368" title="Monedes de bitcoins, una de les monedes virtuales d'internet" width="640" /></a></div>
<br />
<div>
<div style="text-align: justify;">
Si estàs interessat en <b>aprofundir </b>més en aquest tema del <b>fenomen Will Rogers</b> i en la <b>teoria dels jocs</b>, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: <a href="http://eliatron.blogspot.com.es/2009/05/conjuntos-y-medias.html" target="_blank">Conjuntos y medias</a>, <a href="http://dospir.blogspot.com.es/2010/05/fenomeno-de-will-rogers.html" target="_blank">Fenómeno de Will Rogers</a>, <a href="http://blogs.algebra.us.es/blog/el-fenomeno-will-rogers/" target="_blank">El fenómeno Will Rogers</a>, <a href="http://pareto.uab.cat/xmg/Docencia/Jocs/jocs1.pdf" target="_blank">Teoria dels Jocs i de les Decisions</a>.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I no us oblideu de donar un tomb pel <a href="http://cifrasyteclas.com/2014/09/24/resumen-de-la-edicion-5-6-paul-erdos-del-carnaval-de-matematicas/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a> i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=MatifutbolversiCatalana-Http/matesifutbolblogspotcomes&loc=es_ES" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img class="nopin" src="https://de91d6c8-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/matifutbolcatsite/bannerdesuscripcionamatifutbolcat.gif?attachauth=ANoY7coIbFolwUCVhQBF9Fgf57l-EV2HS2u5LK7rAINh9R33rluH0v0EMf77_dcTww-rYExSz5-iy-C_uUnD02o4feghUjwoysTw8ZPDDvKxh_cWHKk__TCOsXjFobRHdunhLGtSn_M37EfGyXz97uYbBcnRpI6y4Cj4D0IvLbcHuj78ZaAscliiKqzpMx8fM1rq8uwevp_2-C7i7C1gRCxzn7Jj9i6q6Oq2hLMULkX7hzW1XVGREArM4FfISyySDLdauOrBCmXG&attredirects=0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px !important; margin-top: 20px;" width="640" /></a></div>
<!-- Fi del text principal -->
<!-- Enlaces a meneame, divoblogger, etc -->
<!--<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si t'ha agradat aquesta història, pots votar per ella a <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20men%C3%A9ame%20xxx%20http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20divoblogger%20xxx%20http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Moltes gràcies.</span>
--></div>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-74447956880219964352014-06-24T07:38:00.000-07:002014-07-02T08:10:33.565-07:00L'assassí matemàtic<!-- Resum de la pàgina -->
<span style="display: none;">Un jugador ha estat assassinat als vestidors, al descans d'un partit del Mundial de Brasil 2014. Una sèrie de pistes matemàtiques et conduiran a resoldre el misteri, amb l'ajuda de l'inspector Larry Flanagan i l'agent Pep Vitruvi, que t'hi introduiran en el fascinant món de la combinatòria. T'atreveixes a resoldre el cas?
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtM8BOQpQAZTJ0mE7FEozIMd88tPpnWAKG1tIz9BVqk3srKyjp4NrQuRAraXLUPed-irnt9vr5nQbPFcI4m0jnZ-KCAszSP-NkBtb5SM9QbEdnVJt6hjIowu4OtLokx_30ylk6dyC9Xxk/s1600/l'assass%C3%AD+matem%C3%A0tic.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtM8BOQpQAZTJ0mE7FEozIMd88tPpnWAKG1tIz9BVqk3srKyjp4NrQuRAraXLUPed-irnt9vr5nQbPFcI4m0jnZ-KCAszSP-NkBtb5SM9QbEdnVJt6hjIowu4OtLokx_30ylk6dyC9Xxk/s1600/l'assass%C3%AD+matem%C3%A0tic.jpg" height="150" width="200" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPjX7WKwND3TnIPpoHvgkOpM8NfGD0JB34potp7xaslPNAP0sQ5ybGBs5qFhCh-025YLfzAtHILfdmq9VCsiMFpLKnxdVj87Vofmu8qPGLhecXwOW9kLSvFHokYyaIFgMx-ZSrbxeO0Fo/s1600/vestuario2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPjX7WKwND3TnIPpoHvgkOpM8NfGD0JB34potp7xaslPNAP0sQ5ybGBs5qFhCh-025YLfzAtHILfdmq9VCsiMFpLKnxdVj87Vofmu8qPGLhecXwOW9kLSvFHokYyaIFgMx-ZSrbxeO0Fo/s1600/vestuario2.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_ZgXK9UHEgFpmOc1sxLp2p9yHHcYf0nOmzNqWDMrE3NhT9LaWXaks4Q_DMT0vSb-X-7bupm_HgKZdJyrncixFm5GtyLY7_IPzgfyQqIpGKLX7W6Bw5_5kU3HhrxobGRM85sAUhb2UVlQ/s1600/policias2.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_ZgXK9UHEgFpmOc1sxLp2p9yHHcYf0nOmzNqWDMrE3NhT9LaWXaks4Q_DMT0vSb-X-7bupm_HgKZdJyrncixFm5GtyLY7_IPzgfyQqIpGKLX7W6Bw5_5kU3HhrxobGRM85sAUhb2UVlQ/s1600/policias2.gif" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhur0nQvObNdoQrWAdiZBAv4jFalqoBj77aXotgO7Ij984QWwpDVpdSq8iMTWqcBYYU4sL7WYXkB7xWf2ptpqXkEKjXY98aFK13VXfMTay7AdDlEXYlG26DDILV2mRTnz1uRCXzsAF6thA/s1600/18+drakulic.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhur0nQvObNdoQrWAdiZBAv4jFalqoBj77aXotgO7Ij984QWwpDVpdSq8iMTWqcBYYU4sL7WYXkB7xWf2ptpqXkEKjXY98aFK13VXfMTay7AdDlEXYlG26DDILV2mRTnz1uRCXzsAF6thA/s1600/18+drakulic.jpg" /></a></span>
<!-- Text principal -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtM8BOQpQAZTJ0mE7FEozIMd88tPpnWAKG1tIz9BVqk3srKyjp4NrQuRAraXLUPed-irnt9vr5nQbPFcI4m0jnZ-KCAszSP-NkBtb5SM9QbEdnVJt6hjIowu4OtLokx_30ylk6dyC9Xxk/s1600/l'assass%C3%AD+matem%C3%A0tic.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtM8BOQpQAZTJ0mE7FEozIMd88tPpnWAKG1tIz9BVqk3srKyjp4NrQuRAraXLUPed-irnt9vr5nQbPFcI4m0jnZ-KCAszSP-NkBtb5SM9QbEdnVJt6hjIowu4OtLokx_30ylk6dyC9Xxk/s1600/l'assass%C3%AD+matem%C3%A0tic.jpg" height="474" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Un jugador ha estat assassinat als vestidors, al descans d'un partit del Mundial de Brasil 2014. Una sèrie de pistes matemàtiques et conduiran a resoldre el misteri, amb l'ajuda de l'inspector Larry Flanagan i l'agent Pepe Vitruvi, que t'hi introduiran en el fascinant món de la combinatòria.
<br />
<br />
T'atreveixes a resoldre el cas?
<br />
<br />
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Enllaços a altres idiomes -->
<a href="http://mathsball.blogspot.com/2014/06/mathematical-murderer-combinatorics-pascal-triangle.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a>
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2014/06/asesino-matematico-combinatoria-triangulo-pascal.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" height="60" width="60" /></a>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://pimedios.es/2014/06/29/resumen-de-la-edicion-5-5-ronald-fisher/" target="_blank"><span class="negrita">Edición 5.5: Ronald Fisher</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió de la qual és el blog <a href="http://pimedios.es/" target="_blank"><span class="negrita unidas">pimedios</span></a>.)
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<h2 style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: 200%;">L'assassí matemàtic</span></h2>
<br />
Ningú no podía creure-s’ho. Estaven esperant-li per començar la segona part de l’encontre, però no acabava de sortir al terreny de joc. Finalment, el preparador físic va baixar als vestidors per veure què era el que passava, i allà se’l va trobar, estès a terra, amb un punyal clavat al pit.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPjX7WKwND3TnIPpoHvgkOpM8NfGD0JB34potp7xaslPNAP0sQ5ybGBs5qFhCh-025YLfzAtHILfdmq9VCsiMFpLKnxdVj87Vofmu8qPGLhecXwOW9kLSvFHokYyaIFgMx-ZSrbxeO0Fo/s1600/vestuario2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPjX7WKwND3TnIPpoHvgkOpM8NfGD0JB34potp7xaslPNAP0sQ5ybGBs5qFhCh-025YLfzAtHILfdmq9VCsiMFpLKnxdVj87Vofmu8qPGLhecXwOW9kLSvFHokYyaIFgMx-ZSrbxeO0Fo/s1600/vestuario2.jpg" height="475" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Era <b>Drakulic</b>, el davanter centre i capità de la selecció de <b>Transsilvània</b>, que s’havia classificat brillantment per primera vegada per un Mundial de Futbol, que enguany se celebrava al Brasil.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Cap dels jugadors recordava qui havia estat el darrer a abandonar el vestidor, ja que estaven tots prou afectats per la xerrada que els hi havia fet el seleccionador, Pep Tourinyo, després d’anar perdent al descans per 2 gols a 0 amb la selecció de Micronèsia Occidental.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHQbNtgsM1IkoQb12VEkxRTtLvR1unaobxewTqqrPlXX6u3Z3PInMX_ncWRpY9YfXsje2DVUcMmo1c2ZjudIksGKA20VneJ_19IhV8OfPoNsXWlPVYNTtW3aOCiKkh1_ffJyopwob2TSU/s1600/Transsilv%C3%A0nia+vs+Micron%C3%A8sia.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHQbNtgsM1IkoQb12VEkxRTtLvR1unaobxewTqqrPlXX6u3Z3PInMX_ncWRpY9YfXsje2DVUcMmo1c2ZjudIksGKA20VneJ_19IhV8OfPoNsXWlPVYNTtW3aOCiKkh1_ffJyopwob2TSU/s1600/Transsilv%C3%A0nia+vs+Micron%C3%A8sia.gif" height="320" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Els organitzadors del Campionat volien que l’assumpte s’aclarís amb rapidesa i discreció, de manera que van demanar a la <b>Policia</b> que els enviessin als millors agents, per així poder resoldre el cas el més aviat possible.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
En pocs minuts, s’hi van presentar a l’estadi l’inspector <b>Larry Flanagan</b>, i <b>Pep Vitruvi</b>, oficial del Departament de Matemàtica Científica de la Policia. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_ZgXK9UHEgFpmOc1sxLp2p9yHHcYf0nOmzNqWDMrE3NhT9LaWXaks4Q_DMT0vSb-X-7bupm_HgKZdJyrncixFm5GtyLY7_IPzgfyQqIpGKLX7W6Bw5_5kU3HhrxobGRM85sAUhb2UVlQ/s1600/policias2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_ZgXK9UHEgFpmOc1sxLp2p9yHHcYf0nOmzNqWDMrE3NhT9LaWXaks4Q_DMT0vSb-X-7bupm_HgKZdJyrncixFm5GtyLY7_IPzgfyQqIpGKLX7W6Bw5_5kU3HhrxobGRM85sAUhb2UVlQ/s1600/policias2.gif" height="604" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Per què van ser ells els escollits? Bé, Larry Flanagan (F) era el més brillant inspector de la policia. Però no en sabia molt, de Matemàtiques.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
La col·laboració d’un agent del <b>Departament de Matemàtiques</b> esdevenia fonamental, ja que, clavats al puñal, hi havien tres retalls del diari d’avui, tots ells relacionats amb el partit que anaven a disputar, i amb una sèrie d’anotacions matemàtiques escrites als mateixos.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
A més, els retalls de les notícies no tenien la tradicional forma rectangular, sinó que estaven tallats en <b>forma de triangle</b>, i estaven travessats pel puñal pel seu centre.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRWHMAisQ1BXTKRehktRgiW0JkSaFQsBioRK0eoheCERB6euqY_mP2BaRkTilTVkEQBdy9hjDdCbK5BojK6gOkkBp0fCeUuZHIPwdBALLOHET4T940D68N2DNf0aitEv5CbIDpHm6NgxI/s1600/cat.+triangles+amb+punyal.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRWHMAisQ1BXTKRehktRgiW0JkSaFQsBioRK0eoheCERB6euqY_mP2BaRkTilTVkEQBdy9hjDdCbK5BojK6gOkkBp0fCeUuZHIPwdBALLOHET4T940D68N2DNf0aitEv5CbIDpHm6NgxI/s1600/cat.+triangles+amb+punyal.jpg" height="414" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Tot semblava indicar que l’autor de l’assassinat es tractava d’hom aficionat a les Matemàtiques, i que, a més, havia anat deixant una sèrie de pistes la resolució de les quals els hi conduiria fins a ell.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Per tant, la intervenció de Pep Vitruvi (V) semblava imprescindible per resoldre el cas, ja que era un expert en la resolució d’aquest tipus d’<b>enigmes</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
L’inspector es va posar mans a l’obra. Va prendre els retalls, i va llegir el primer d’ells, que deia així: ‘Pel partit d’avui, el nostre seleccionador dubta sobre <b>quina parella</b> de centrals <b>alinearà</b> d’entre els <b>4</b> que té <b>disponibles</b>’. A la part superior del retall, figurava una misteriosa anotació en vermell: <span class="unidas" style="color: red;"><b>(4 2)</b></span>.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW1YCAdu1XifTEN93uEryNjsasEZuWLCoTwFNtbB6HPc2GdEOb-J1RxCcvrEGvbfpR6C_LF7flN8kCUe9PUu0ovNhkG7UuWDD0QSkkz2-byBOQ-VPPGADTouDuCpE91n5wxspzl9U6W5c/s1600/cat.+triangle+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW1YCAdu1XifTEN93uEryNjsasEZuWLCoTwFNtbB6HPc2GdEOb-J1RxCcvrEGvbfpR6C_LF7flN8kCUe9PUu0ovNhkG7UuWDD0QSkkz2-byBOQ-VPPGADTouDuCpE91n5wxspzl9U6W5c/s1600/cat.+triangle+1.jpg" height="448" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: No entenc quina relació pot tenir aquesta notícia dels defenses amb el jugador assassinat, que és davanter. I a més, què significaran aqueixos números en vermell, <span class="unidas">4 i 2</span>, escrits un damunt l’altre, i entre parèntesis? – va dir l’inspector Larry Flanagan.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Podria tractar-se d’una anotació matemàtica, un <b>coeficient binomial</b>, que representa la combinació de 4 elements presos de 2 en 2. En aquest cas, pot indicar el nombre de possibles <b>combinacions</b> de 2 centrals que pot fer el seleccionador si té 4 jugadors que poden jugar en aquesta posició. Como diríem al nostre Departament, les combinacions (sense repetició) són el nombre de subconjunts de k elements que s’hi poden extreure d’un conjunt donat de n elements, sense tenir en compte l’ordre. – Va contestar Pep Vitruvi.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Ja veig. Si tenim 4 jugadors, als que anomenarem A, B, C i D (els nombres transsilvans són realment complicats, així que serà millor utilitzar les lletres), el seleccionador podrà escollir les següents parelles: AB, BC, CD, AC, BD, i AD. És a dir, un total de <b>6 parelles distintes</b>, oi?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI4IF-6dss0kmDF_GL1gRqq5MAXOAqmEUq54mnX2VXyo-bmE-Waf67HoSBANtWVHHuhpEiTeZJJIavE6heNsmVA5EkRQHaq-7pRaqLYhQDF-Aly2wPKOAYZnvA_LbK7CKnWmWB5SCHnPE/s1600/combinacions.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI4IF-6dss0kmDF_GL1gRqq5MAXOAqmEUq54mnX2VXyo-bmE-Waf67HoSBANtWVHHuhpEiTeZJJIavE6heNsmVA5EkRQHaq-7pRaqLYhQDF-Aly2wPKOAYZnvA_LbK7CKnWmWB5SCHnPE/s1600/combinacions.gif" height="540" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Cert. Aixó sempre que no ens importi en quina posició juguin. Vull dir, que ens és igual si cada un d’ells juga a l’esquerra o a la dreta de la defensa. D’altra manera, tindríem un total de 12 combinacions, ja que hauríem de comptar les mateixes parelles, però canviant el seu ordre: BA, CB, DC, CA, DB, i DA. En aquest cas, parlaríem de <b>variacions</b> (sense repetició) de 2 elements presos d’un conjunt de 4 elements, i no de ‘combinacions’. </span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9WPyq51iaIvzYUUD1t9cggYOj6_2i1rxbMswJse3YVaZU5Em6xkJUdywcRxuxwdRZqd89TIAnTKeAN8ILUbci4bWojppx9tnmg3Ub7ruWU58UeNB_D-NOj0iNQZPU1yux2SsysOYYqPw/s1600/cat.+variacions+de+4+jugadors.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9WPyq51iaIvzYUUD1t9cggYOj6_2i1rxbMswJse3YVaZU5Em6xkJUdywcRxuxwdRZqd89TIAnTKeAN8ILUbci4bWojppx9tnmg3Ub7ruWU58UeNB_D-NOj0iNQZPU1yux2SsysOYYqPw/s1600/cat.+variacions+de+4+jugadors.gif" height="540" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Bé, doncs sembla que la primera pista ens condueix al nombre <span style="color: blue; font-size: 200%;">6</span>. Anem a veure el següent retall: ‘Indignació a Brașov. Després de la bona temporada de l’Sporting de Brașov, el seleccionador només alinearà a <b>2 jugadors dels 7 de l’equip</b> que se’n va dur al Brasil’. També en aquest retall algú havia escrit un 7 i un 2, entre parèntesis i l’un sota l’altre.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCmeV5aFeSMbMa6BFoVf5ketwRZt5Ah0Ce8VgazxxMVi0RHVe-1Y00koE90N3OQxyYaS9rzfQ0UAjYvqbBGsF6PA2cfWvaOpul7phzic-5iexO79bB56R3niWoiUHvRSeCWyMv89AnQ9A/s1600/cat+.triangle+2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCmeV5aFeSMbMa6BFoVf5ketwRZt5Ah0Ce8VgazxxMVi0RHVe-1Y00koE90N3OQxyYaS9rzfQ0UAjYvqbBGsF6PA2cfWvaOpul7phzic-5iexO79bB56R3niWoiUHvRSeCWyMv89AnQ9A/s1600/cat+.triangle+2.gif" height="430" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: No m’ho diguis, Pep. Crec que aquesta vegada ho puc fer jo solet: l’anotació <span class="unidas" style="color: red;"><b class="unidas">(7 2)</b></span> representa les possibles combinacions de 7 elements presos de 2 en 2, que pot fer el seleccionador. Aixó és, el nombre de possibles parelles distintes de jugadors de l’Sporting que l’entrenador pot escollir per que juguin el partit. M’estic equivocant? </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: No, inspector Larry. Ja veig que aprens molt de pressa.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: D’acord, anem a veure quines poden ser. Si tenim 7 jugadors, als què anomenarem A, B, C, D, E, F i G, les <b>combinacions</b> seran: AB, FE, AC, CD, AD, BD, CF... </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Uff! Crec que m’he perdut. Ara no és tan fàcil calcular-les... Vaig a començar un altre cop, d’una manera més ordenada: AB, AC, AD, AE.... </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Després d’una estona, l’inspector va arribar al resultat:</div>
<br />
<span style="color: red; font-size: 150%;"><b>AB AC AD AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE DF DG EF EG FG</b></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Penso que són <b><span style="color: blue; font-size: 200%;">21</span></b>, però no n’estic segur de si m’he oblidat d’alguna parella…</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Sí, és correcte. Encara que, en aquest cas, seria millor acudir a les Matemàtiques. La fòrmula per trobar les <b>combinacions</b> de k elements presos d’un conjunt d’n elements, és la següent:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_khRnPycYm5dVXHt2W5kUDhqwBpoaRQHWKUUZjjnAZOJmvXw6VX2cH6UG645qIE0wTnQCVNIGct00spFuhIZZ1AeHYP96sPEHRoqHTqBNs8ymE9ang-3mwxhiW9xBoV_r1xOmKOm5xEU/s1600/C+(n+k).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_khRnPycYm5dVXHt2W5kUDhqwBpoaRQHWKUUZjjnAZOJmvXw6VX2cH6UG645qIE0wTnQCVNIGct00spFuhIZZ1AeHYP96sPEHRoqHTqBNs8ymE9ang-3mwxhiW9xBoV_r1xOmKOm5xEU/s1600/C+(n+k).gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
F: D’on surt aquesta fòrmula?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Bé, pensem en el primer jugador que pot triar l’entrenador. És clar que hi han 7 possibles candidats, els 7 jugadors de l’Sporting. Quan vulgui triar el segon jugador, ja només tindrà 6 jugadors entre els que escollir-lo, veritat? Per tant, per a cada un dels set jugadors escollits inicialment, hi haurà sis possibles companys. Així que tenim <span class="unidas">7 x 6 = <b>42</b></span><b> possibles parelles</b>:</span></div>
<br />
<span style="color: red; font-size: 150%;"><b>AB AC AD AE AF AG BA BC BD BE BF BG CA CB CD CE CF CG DA DB DC DE DF DG EA EB EC ED EF EG FA FB FC FD FE FG</b></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Però en aquest cas tornem a obtenir les <b>variacions</b> de 2 elements presos d’un conjunt de 7, ja que tenim parelles repetides: AB i BA, per exemple. I hem quedat que ens fa el mateix la posició a la que hi juguin. Què podem fer per eliminar-les de la nostra fòrmula? </span></div>
<br />
F: No sé pas cóm...<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Hauríem de dividir el resultat entre el nombre de formes possibles en què podem trobar la mateixa combinació de jugadors, encara que ordenada de diferent manera. És ho que al nostre Departament anomenem ‘<b>permutacions</b>’ (sense repetició): el nombre de distintes ordenacions que podem fer en un conjunt d’elements, utilizant-hi tots els números, però sense que s’hi repiteixin. </span> </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRNCPoxo9HHT04p2GcEoFaeHwJVJ0dOfDrS_PtLL4_TaVAvvB4yMYrDJE99jHDCExhvOhGGIkm-jcNO2Jd0-_3y7VtKn2RwT2tDkKsmh44xpbsROxH9xYgmQMOww8KUBAW-MmUTk6j_E8/s1600/cat.+permutacions+de+4+jugadors.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRNCPoxo9HHT04p2GcEoFaeHwJVJ0dOfDrS_PtLL4_TaVAvvB4yMYrDJE99jHDCExhvOhGGIkm-jcNO2Jd0-_3y7VtKn2RwT2tDkKsmh44xpbsROxH9xYgmQMOww8KUBAW-MmUTk6j_E8/s1600/cat.+permutacions+de+4+jugadors.gif" height="540" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
F: I cóm calculem el nombre de permutacions?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: És molt senzill: Si tenim k elements, haurem de pensar que qualsevol d’ells pot èsser el primer. Desprès, hi haurà (k-1) elements que puguin estar en segon lloc (ja que no s’hi poden repetir). Hi haurà (k-2) elements que puguin estar en tercer lloc. I així succesivament. El total de formes distintes en que es poden ordenar k elements serà igual a </span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
P(k) = k • (k-1) • (k-2) • … • 3 • 2 • 1</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Al nostre Departament no ens agrada perdre el temps escrivint aquest tipus de fòrmules tan llargues, així que hem inventat per definir aquest producte la clau secreta ‘<b>factorial</b> de k’, que escrivim així: <span style="font-size: 200%;">k!</span> Per tant, podem escriure-ho així: </span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
P(k) = k!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Pel nostre cas amb conjunts de 2 jugadors, tindrem que <span class="unidas">k! = 2! = 2 • 1 = 2</span></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Així que ja tenim el resultat pel nostre problema. Per a obtenir les combinacions de 2 elements presos d’un total de 7, dividim les variacions de 7 elements presos de 2 en 2 entre les permutacions de 2 elements:</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifgVvJlkrrIc0GATbfKm4Z0uXwPVP9KduezrI63f6s38SjrwBQGFDpR7ogQUo59liwQyCSy0ws0g4DZ3-6afgSaV5TtBmKZ62WtTMqsQFgsJzjHuHyalDZD7vydLyJzddsy2GpVFAETCU/s1600/C+%25287+2%2529+2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifgVvJlkrrIc0GATbfKm4Z0uXwPVP9KduezrI63f6s38SjrwBQGFDpR7ogQUo59liwQyCSy0ws0g4DZ3-6afgSaV5TtBmKZ62WtTMqsQFgsJzjHuHyalDZD7vydLyJzddsy2GpVFAETCU/s1600/C+%25287+2%2529+2.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
F: Això és el que vaig dir al començament, sense tanta fòrmula!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: És veritat, però vas trigar molt de temps en obtenir el resultat. I només eren 7 jugadors. Què faries si has de <b>triar</b>, per exemple, <b>a 5</b> jugadors <b>d’entre</b> els <b>23</b> seleccionats? Hauries escrit totes les possibles combinacions?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Hummm… Bé, d’acord. Prossegueix amb la teva explicació, si us plau.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Ara anem a modificar lleugerament la fòrmula anterior, multiplicant el numerador i el denominador per 5!</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYwkvJKMf0bp350IQzRF_gY0KRrLSxkqUaibFOJe4Cp1ONGCP9_umsmUcfR7g0LEtPBSkzwGJoN_UFkvN6QT0PVmaCODgJlkTW43Xfg14s-yF4QxR0lY-FBgmxFo-2yYLi6ru5GdZUPRM/s1600/C+%25287+2%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYwkvJKMf0bp350IQzRF_gY0KRrLSxkqUaibFOJe4Cp1ONGCP9_umsmUcfR7g0LEtPBSkzwGJoN_UFkvN6QT0PVmaCODgJlkTW43Xfg14s-yF4QxR0lY-FBgmxFo-2yYLi6ru5GdZUPRM/s1600/C+%25287+2%2529.gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Hem arribat a la fòrmula que et vaig indicar inicialment, ho veus?</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinbwr28COTiKIDwd_ypqhLsdOdIWaoFgSGFN02Lfm2Z8i2Cy_lUKBWz3prG0evGp1I2jjW6LoNL6TwYCv_utDPDo-nv9sVWHbciTIci9vpIGYNHN_Jq3Uyrj3bqDDecvNhAVeazmQIEIE/s1600/C+%2528n+k%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinbwr28COTiKIDwd_ypqhLsdOdIWaoFgSGFN02Lfm2Z8i2Cy_lUKBWz3prG0evGp1I2jjW6LoNL6TwYCv_utDPDo-nv9sVWHbciTIci9vpIGYNHN_Jq3Uyrj3bqDDecvNhAVeazmQIEIE/s1600/C+%2528n+k%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Correcte. Però començo a estar una mica cansat de tants números, tantes <b>variacions</b>, <b>combinacions</b>, <b>permutacions</b>… Crec que el millor seria prendre les empremptes dactilars del punyal, i assumpte arreglat.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Inspector, ja saps que els assassins solen utilitzar guants en aquests casos… A més, per motiu de la celebració del Mundial, el personal del Laboratori està sota mínims. I sabem que no es distingeixen precisament per la rapidesa de les seves anàlisis.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: D’acord. Seguim amb la investigació. Agafem el tercer retall: ‘Avui es preveu una lluita molt important al centre del camp, així que el seleccionador diu que <b>alinearà a 5 dels 7 migcampistes</b> que s’ha emportat al Mundial.’ Damunt de la notícia es pot llegir una nova anotació <span class="unidas">(7 5)</span>.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirSJiR5pw6BFulwOt-AU9gVloEzhr-8fXJHd-p5Rza9C3-WP64xZYlLTJcpT3qNWokZG9sMpMI4tQ_PJ8jydeSIBuK9eeKxdBQpcVUYTILyXcs33H6PMf4L5rAOYpjWxmeyvTxrfhImVY/s1600/cat.+triangle3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirSJiR5pw6BFulwOt-AU9gVloEzhr-8fXJHd-p5Rza9C3-WP64xZYlLTJcpT3qNWokZG9sMpMI4tQ_PJ8jydeSIBuK9eeKxdBQpcVUYTILyXcs33H6PMf4L5rAOYpjWxmeyvTxrfhImVY/s1600/cat.+triangle3.jpg" height="454" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Bé, doncs ara tenim la combinació de 7 jugadors presos de 5 en 5, oi? Anem a calcular-lo amb la fòrmula que m’has ensenyat abans.</div>
<br />
<span style="color: #073763;">
V: També dona</span> <span style="color: blue; font-size: 200%;"><b>21</b></span>.<br />
<br />
F: Cóm ho has calculat tan ràpidament?<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">V: En realitat no he realitzat cap càlcul. Tenim que</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij8NbmlN1t0ndTDXRDxaAtPgtchkvmqt5Ohjr-c3HZznKW6dvrVmTfgyafaI27JAs0WjZDaYkNcuhYKWgCXvr1jVNIZTLawrhdqu7bZj5F2mNn9Nb_8JOdj_khgk9Q2DyzSBBe88mojdI/s1600/C+%25287+5%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij8NbmlN1t0ndTDXRDxaAtPgtchkvmqt5Ohjr-c3HZznKW6dvrVmTfgyafaI27JAs0WjZDaYkNcuhYKWgCXvr1jVNIZTLawrhdqu7bZj5F2mNn9Nb_8JOdj_khgk9Q2DyzSBBe88mojdI/s1600/C+%25287+5%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<span style="color: #073763;">V: En termes generals, </span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_pWxpO8-tMjeePcHus44ImUqL_EeBz0GEu9J2wC7-QMhbSrCG1KyH1wSqvk016aqAV-2QdvQodkMivVRP5HsqMOOSK38GjcZsE52VHlIpujhi3Ek1eny5PgTF_u1rc_gVPiGGJVu48xE/s1600/C+%2528n+n-k%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_pWxpO8-tMjeePcHus44ImUqL_EeBz0GEu9J2wC7-QMhbSrCG1KyH1wSqvk016aqAV-2QdvQodkMivVRP5HsqMOOSK38GjcZsE52VHlIpujhi3Ek1eny5PgTF_u1rc_gVPiGGJVu48xE/s1600/C+%2528n+n-k%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<span style="text-align: justify;">F: I per què dona el mateix resultat?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Bé, pensa que el problema de calcular les combinacions possibles de 5 jugadors si tenim 7 en total es pot plantejar d’altra manera. Podem pensar en els 2 jugadors que s’hi queden a la banqueta cada cop que el seleccionador tria a 5 d’ells per a jugar.</span> </div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 150%;"><span style="color: blue;">ABCDE</span> – <span style="color: red;">FG</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 150%;"><span style="color: blue;">ABCDF </span>– <span style="color: red;">EG</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 150%;"><span style="color: blue;">ABCEF </span>– <span style="color: red;">DG</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 150%;"><span style="color: blue;">ABCEG </span>– <span style="color: red;">DF</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 150%;">…</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Així que a cada grup de 5 jugadors seleccionats li correspon un grup de 2 jugadors no seleccionats. Hi haurà tants grups distints de 5 jugadors titulars com grups de 2 jugadors que es queden a la banqueta.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Per tant, en comptes de calcular quants <b>grups de 5 jugadors titulars</b> es poden formar, podem veure quànts <b>grups de 2 jugadors suplents</b> pot haver-hi, si tenim 7 jugadors en total, ja que la solució serà la mateixa. I com al retall anterior ja havíem calculat que hi havia 21 possibles combinacions per l’esmentat cas, aquesta vegada no ens cal fer cap cálcul.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Perfecte. Ara només ens resta encaixar les peces amb les què comptem. Els resultats dels 3 parèntesis misteriosos <span class="unidas" style="font-size: 150%; font-weight: bold;"> (4 2)</span>,<span class="unidas" style="font-size: 150%; font-weight: bold;">(7 2) </span>i <b><span style="font-size: 150%;">(7 5)</span></b> han estat els nombres <b><span class="unidas" style="font-size: 150%;">6</span></b>, <span style="font-size: 150%;"><b>21</b></span> i <b><span style="font-size: 150%;">21</span></b>. Jo crec que si el punyal travessava els tres retalls pel seu centre, potser el que hauríem de fer seria trobar el ‘centre’ aritmètic dels nombres obtinguts, és a dir, la seva <b>mitjana</b>:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhImHUwV_ggeunD-BFD3z73QYjKhwvq0VI93JdG8qr81LmHBWmHhBUnWywom2ClNXcybRIJyCLntJ57uX2Hn_C92oGRt7qhrQmb3vie5iZAnZhh17bZAlZIqZ0hgOKbgDVNlvX3cixnfZI/s1600/16.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhImHUwV_ggeunD-BFD3z73QYjKhwvq0VI93JdG8qr81LmHBWmHhBUnWywom2ClNXcybRIJyCLntJ57uX2Hn_C92oGRt7qhrQmb3vie5iZAnZhh17bZAlZIqZ0hgOKbgDVNlvX3cixnfZI/s1600/16.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="text-align: justify;">
F: Apa, </span><b style="text-align: justify;"><span style="font-size: 200%;">16</span></b><span style="text-align: justify;">! Tot just el nombre que té com a dorsal el jugador assassinat! </span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiysAuB9579Bbc4oupDBg3nlWAJn838KGAq-TTOLbQEa8xm6EAYCi8Q6Etswas6Vn4BGjS84_AOtHzGa6gxmf7uG_Cwz5Fpwlelx16yhu4N4m0zpdHo9BNyZanE54Ig2sknQgs5hr2ccow/s1600/16+drakulic.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiysAuB9579Bbc4oupDBg3nlWAJn838KGAq-TTOLbQEa8xm6EAYCi8Q6Etswas6Vn4BGjS84_AOtHzGa6gxmf7uG_Cwz5Fpwlelx16yhu4N4m0zpdHo9BNyZanE54Ig2sknQgs5hr2ccow/s1600/16+drakulic.jpg" height="640" width="416" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<span style="text-align: justify;">
F: És clar que l’assassí és un aficionat a las <b>Matemàtiques</b> i als problemes de <b>lògica</b>, i que a més no ens ho va posarà gens fàcil. I ara, Pep, què fem?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Encara hi ha una dada que no hem utilitzat a la nostra investigació, potser la més evident de totes: els retalls presenten una <b>forma triangular</b>.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Si a l’assassí li agraden les Matemàtiques, i a més tots els problemes que hi ha als retalls són sobre la branca de <b>Combinatòria</b>, sens dubte tot ens condueix al <b>triangle de Pascal</b>. Coneixes aquest triangle, Flanagan?</span></div>
<br />
F: No, no sé pas el que és.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Bé, és normal. Aquest triangle, a l’igual que els criminals més astuts, adopta un munt de personalitats distintes. Per exemple, també se’l coneix per <b>triangle de Tartaglia</b>. En tot cas, i tornant al tema que ens ocupa, et diuré que es tracta d’un triangle de confecció molt senzilla. Primerament escrivim un 1 al vèrtex superior, i a sota, succesivament i en diagonal, escrivim el resultat de sumar els dos nombres situats per sobre. Si no hi ha cap nombre, sumem un zero.</span></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRn_lZ_ED-v4iVk2ASS7MeIwB-F1n4LlEtQcdDnLYwgaLCBBIYQXi_Ivss2G1ubyrsXiFLIcrbIILcxNJf-m-XualT7CGYd6b9qWkq1zNSGC3V6g_vULSs9jPfzf2jJAWHF1FpA8T9uLo/s1600/triangulo+de+pascal+3+4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRn_lZ_ED-v4iVk2ASS7MeIwB-F1n4LlEtQcdDnLYwgaLCBBIYQXi_Ivss2G1ubyrsXiFLIcrbIILcxNJf-m-XualT7CGYd6b9qWkq1zNSGC3V6g_vULSs9jPfzf2jJAWHF1FpA8T9uLo/s1600/triangulo+de+pascal+3+4.jpg" height="640" width="512" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Ara anem a assenyalar en aquest triangle de Pascal els resultats obtinguts. Fixa’t, inspector. En el primer cas (4 2), si agafem la quinta fila (deixem de banda el primer 1 solitari) i ens anem fins al tercer nombre, obtenim el valor de 6. El mateix resultat que utilitzant-hi la nostra fòrmula.</span></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtFGr_pTbQVMXbeYgjVDTIzWuH_T2Hsluz5UQZ-_Tjb_ZhTIYvmTw9hNE9mrgtbHAfL0irVGqtUknbsNwA8dg9FDFTJwuY-truO2MqmNmOoZAR1UsnEERGRIQBXhO11U1ne-NX4WAUo5c/s1600/combinatoria+(4+2).jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtFGr_pTbQVMXbeYgjVDTIzWuH_T2Hsluz5UQZ-_Tjb_ZhTIYvmTw9hNE9mrgtbHAfL0irVGqtUknbsNwA8dg9FDFTJwuY-truO2MqmNmOoZAR1UsnEERGRIQBXhO11U1ne-NX4WAUo5c/s1600/combinatoria+(4+2).jpg" height="640" width="512" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: Per què has assenyalat el tercer nombre de la cinquena fila, i no el segon nombre de la quarta fila?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Perquè el vértex del triangle correspon al <b>coeficient binomial </b> <span class="unidas">(0 0)</span>. I, a cada línia n, el primer nombre representa la combinació <span class="unidas">(n 0)</span>. Així, a la nostra cinquena línia <span class="unidas">(4 0)</span> és igual a 1, <span class="unidas">(4 1)</span> és igual a 4, <span class="unidas">(4 2)</span> és igual a 6, i així succesivament. Comprès?</span></div>
<br />
F: Sí. Abans no vaig pensar en el número 0.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Ara farem el mateix amb el <span class="unidas">(7 2)</span> i amb el <span class="unidas">(7 5)</span>. Pots comprobar que els nombres formen un preciós triangle, de forma pareguda als retalls del diari. </span></div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnLMejpLLCUwoV8lQsPAJMbVvATjR-IB-Cyce2QuiKvOOCDc1rEfH9mswv0fBHLbN2V143qFfU70NzWqn9kFyoG9NsMSWwR_2uBveqb90TGIedxBAnI7XgxbxuKhPgblxuuRYHBoQCdlM/s1600/triangulo+de+pascal+3+de+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnLMejpLLCUwoV8lQsPAJMbVvATjR-IB-Cyce2QuiKvOOCDc1rEfH9mswv0fBHLbN2V143qFfU70NzWqn9kFyoG9NsMSWwR_2uBveqb90TGIedxBAnI7XgxbxuKhPgblxuuRYHBoQCdlM/s1600/triangulo+de+pascal+3+de+3.jpg" height="640" width="512" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: I com el triangle és <b>simètric</b>, ara entenc per què <span class="unidas">(7 2)</span> és igual que <span class="unidas">(7 5)</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">
V: Fantàstic. Ara només ens queda assenyalar el nombre que es troba al <b>centre geomètric</b> del triangule que hem format, que és just el lloc on el punyal travessava els retalls. I obtenim el número 20.</span> <span style="color: red; font-size: 200%;">20</span>.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi07cYROT2oCfjd_jW6b8ghufe6WIVu1WGwDU-JOVjVzThGL3I3KXhZbgXsmgIoSPxwbkBh0FXcLCA65VvlKFuOxXJt4N_eNPvp6aDPIa330sRvC1ulQ7ZBMHwnejtkx2Jr8XQt02WwXs8/s1600/triangulo+de+pascal+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi07cYROT2oCfjd_jW6b8ghufe6WIVu1WGwDU-JOVjVzThGL3I3KXhZbgXsmgIoSPxwbkBh0FXcLCA65VvlKFuOxXJt4N_eNPvp6aDPIa330sRvC1ulQ7ZBMHwnejtkx2Jr8XQt02WwXs8/s1600/triangulo+de+pascal+3.jpg" height="640" width="512" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: A quin jugador correspon aquest nombre? Que el portin aquí inmediatament! – Va cridar l’inspector Larry Flanagan.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Es tractava de <b>Vladimiric</b>. La policia no va trigar molt en trobar-li dins de l’estadi, i el va acostar fins al vestidor.</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7oLCv5udwnYTdn13XYPxJ142-_TY_G0ow5aAhK1RcpqHSuA6abA16e-8nTXEdwiuR2J3IaQquc4kiTKrQJPQsbd_0alfzktP_Uw-_C3bKC3H04DjPkSBRGmvbDLG5Umh611YSugA_HIw/s1600/vladimiric.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7oLCv5udwnYTdn13XYPxJ142-_TY_G0ow5aAhK1RcpqHSuA6abA16e-8nTXEdwiuR2J3IaQquc4kiTKrQJPQsbd_0alfzktP_Uw-_C3bKC3H04DjPkSBRGmvbDLG5Umh611YSugA_HIw/s1600/vladimiric.jpg" height="640" width="512" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Allà Vladimiric va confesar el seu crim. Era amic de Drakulic des de la infància. Des de ben petits Drakulic li havia superat en tot: tenia millor expedient acadèmic, lligava molt més, tenia més amics i jugava millor al futbol. De fet, Drakulic era el capità de la selecció de Transsilvània, i Vladimiric era suplent, amb prou feines si jugava un parell de minuts en alguns partits. Però cap d’aquests motius havia estat la causa que havia desencadenat el fatal desenllaç. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
F: I llavors, per què ho has fet? – Va preguntar Larry Flanagan.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bé, va dir Vladimiric, hi havia solament un parell d’assumptes als quals Drakulic mai m’havia superat: a les Matemàtiques i als problemes de Lògica. Al menys fins avui... Quan veníem a l’autobús des de l’hotel de concentració cap a l’estadi, vam fer una aposta sobre qui resoldria abans el sudoku del diari. I per primera vegada a la vida, Drakulic ha sigut més ràpid que jo. No vaig poder suportar-lo...<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAMD8q6-lKSnk_RgOkSODWjtN3RFJz7yc288Lo3fc7HOxJ9caPGVuC4dnc-IIIM5xFh5_MllYS8tD_L4aHIF_938yxPhJUR4Bi2TPxJeAMA_k4CX2a_EHNNLHy2_qMlj8jmn2F86fPjJ8/s1600/sudoku+3.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAMD8q6-lKSnk_RgOkSODWjtN3RFJz7yc288Lo3fc7HOxJ9caPGVuC4dnc-IIIM5xFh5_MllYS8tD_L4aHIF_938yxPhJUR4Bi2TPxJeAMA_k4CX2a_EHNNLHy2_qMlj8jmn2F86fPjJ8/s1600/sudoku+3.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Enlaces a meneame, divoblogger, etc -->
<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en <a href="http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Muchas gracias.</span>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0Pernambuco, Brasil-8.8137173 -36.954107000000022-16.8625493 -47.281255500000022 -0.76488529999999955 -26.626958500000022tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-82245211588107111562014-06-07T08:00:00.000-07:002014-06-09T08:26:42.731-07:00Arbres i googols al Mundial 2014<!-- Resum de la página -->
<span style="display: none;">Un nou còctel matemàtic que té com a protagonistes el Mundial de Futbol de Brasil, els distints sistemes de competició, la sèrie de Wedderburn-Etherington i la topologia arbòria.<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy5NMDhMbqEYDp9GnRtDOn16kgazFUj7q-AR7dsmFou-3hxJRk0XA4PeobMtxClyEiWxFr_p8QoTL15q69TcmpTSUatzKLRUQTzfooTh6oo7SGc2nP3ICkH8zg0IGZYKbwaO5bmSW8mqc/s1600/im1+Brasil+2014.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="”https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy5NMDhMbqEYDp9GnRtDOn16kgazFUj7q-AR7dsmFou-3hxJRk0XA4PeobMtxClyEiWxFr_p8QoTL15q69TcmpTSUatzKLRUQTzfooTh6oo7SGc2nP3ICkH8zg0IGZYKbwaO5bmSW8mqc/s1600/im1+Brasil+2014.jpg”" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnI1QtAJSNxp9Xaqjn5kWO2kR9t5Bcng5hP7H84BMSBMBw67mB_xsi-NDTwdjZuUv7HdDJWqulNGmqOyv_wwKH-v6WqcUJpGazcqYv6n7VMr_xahaO_OzxgRMEq-4YTy-yEBHqX-Knkro/s1600/im7+habitacionconpan.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnI1QtAJSNxp9Xaqjn5kWO2kR9t5Bcng5hP7H84BMSBMBw67mB_xsi-NDTwdjZuUv7HdDJWqulNGmqOyv_wwKH-v6WqcUJpGazcqYv6n7VMr_xahaO_OzxgRMEq-4YTy-yEBHqX-Knkro/s1600/im7+habitacionconpan.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVJzOQ8GgU4yf0PZwSd73xMq4Wipe1NrcKQsRk6h0nrOpQE1Uh9JJwpydsclKE9mP9Y8j5v_ap3n-tH0dVhXcRKDxfeKAJTD0J7GSBNvdg7ayFsw_Yh1IJ3uHhheL0qeKNH4SP1s2YOg/s1600/im4+8+cabezas+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVJzOQ8GgU4yf0PZwSd73xMq4Wipe1NrcKQsRk6h0nrOpQE1Uh9JJwpydsclKE9mP9Y8j5v_ap3n-tH0dVhXcRKDxfeKAJTD0J7GSBNvdg7ayFsw_Yh1IJ3uHhheL0qeKNH4SP1s2YOg/s1600/im4+8+cabezas+de+serie+2.jpg" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1w2iQloHW3KS0ZnpzWGan01HxLukyKAEE-QkumSQL4-KIMiVysQ1M8bbH8UyYmCqTStfchEzQ5WYgT6MwlWo_8kOJahKbHm1FOFxu_PmSKSxT86PODl_2LzjNmQ9dtuMZRO9nwUQ0E0/s1600/im37+mapamundi2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1w2iQloHW3KS0ZnpzWGan01HxLukyKAEE-QkumSQL4-KIMiVysQ1M8bbH8UyYmCqTStfchEzQ5WYgT6MwlWo_8kOJahKbHm1FOFxu_PmSKSxT86PODl_2LzjNmQ9dtuMZRO9nwUQ0E0/s1600/im37+mapamundi2.jpg" /></a></span>
<!-- Enllaços a altres idiomes -->
<span style=""><a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2014/06/mathematical-binary-trees-structure.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a></span>
<span style=""><a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com.es/2014/05/arboles-matematicos-topologia-arborea.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; margin-left:1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" height="60" width="60" /></a></span>
<!-- Enllaç de participació al Carnaval -->
<div class="marino">
<div style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a l'<a href="http://gaussianos.com/carnaval-de-matematicas-resumen-de-la-edicion-5-4-martin-gardner/" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.4 Martin Gardner</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemáticas</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://gaussianos.com/" target="_blank"><span class="negrita unidas">Gaussianos</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera parte -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<br />
<!-- Texto principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy5NMDhMbqEYDp9GnRtDOn16kgazFUj7q-AR7dsmFou-3hxJRk0XA4PeobMtxClyEiWxFr_p8QoTL15q69TcmpTSUatzKLRUQTzfooTh6oo7SGc2nP3ICkH8zg0IGZYKbwaO5bmSW8mqc/s1600/im1+Brasil+2014.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img alt="El Campionat Mundial de Futbol de Brasil 2014 a Matifutbol" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy5NMDhMbqEYDp9GnRtDOn16kgazFUj7q-AR7dsmFou-3hxJRk0XA4PeobMtxClyEiWxFr_p8QoTL15q69TcmpTSUatzKLRUQTzfooTh6oo7SGc2nP3ICkH8zg0IGZYKbwaO5bmSW8mqc/s1600/im1+Brasil+2014.jpg" height="320" title="El Campionat Mundial de Futbol de Brasil 2014 a Matifutbol" width="292" /></a>Hi ha un gran enrenou abans que comenci el <b>Mundial de Futbol de Brasil 2014, </b>ja que el Comitè Organitzador ha decidit introduir una <b>modificació d'última hora</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Volen aconseguir que <b>participin més països</b> que els <b>32 </b>ja classificats per a la <b>fase final </b>del torneig. Hi han moltíssimes seleccions que han quedat fora del Campionat.<br />
<br />
Donada l'enorme expectació que genera aquest Mundial, i la decepció de nombrosos països per no haver pogut classificar-se'n, els organitzadors del Mundial han decidit ampliar el nombre de seleccions que podran competir-hi.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El <b>calendari </b>de competició establert inicialment per als 32 països era el següent: una primera ronda amb sistema de lliga amb 8 grups de 4 països, dels quals es classifiquen els 2 primers de cada grup. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Els 16 equips així classificats s'enfrontaran entre sí pel sistema d'<b>eliminació directa</b> fins a la final, a la qual el vencedor s'emportarà la Copa del Món.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLaSuNS7iCN-ZuoaKImqPP8gHKjTJmZrjkJ27Y4RIUbZdIZbS0TAjIj7RSA98UvuTwy1ajioK7T0j-QcMLyFIMmuCZgf8zCzrYs4FDiuxIc8to1sojHQJbPaqwXT8H5qA3CAfdHkkSo9k/s1600/im2+WorldCupBrazil2014.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de com es desenvoluparà Campionat del Món de Futbol 2014 de Brasil" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLaSuNS7iCN-ZuoaKImqPP8gHKjTJmZrjkJ27Y4RIUbZdIZbS0TAjIj7RSA98UvuTwy1ajioK7T0j-QcMLyFIMmuCZgf8zCzrYs4FDiuxIc8to1sojHQJbPaqwXT8H5qA3CAfdHkkSo9k/s1600/im2+WorldCupBrazil2014.jpg" height="449" title="Esquema de com es desenvoluparà Campionat del Món de Futbol 2014 de Brasil" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
No obstant això, si volen afegir més països, i que el campionat no es perllongui excessivament, han d'adoptar necessàriament un <b>nou sistema de competició</b>, descartant els grups inicials i realitzant partits eliminatoris des d'un principi.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
A més, donada la disponibilitat dels diferents estadis de futbol i els problemes de logística, han determinat que, dels 64 partits que es preveia disputar amb l'antic sistema, com a màxim es podrien jugar <b>60 partits</b>.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2CCpkBNpUmXPgwmBE3Kxc2Gr-YCYHEozRrknfpKexGPZhiyXbee7MBv-ViwAcPvkV611dfSKog7nMoO02bFXfw8hjdQ3YxM0z_cLPHo0yJkJU3A5PTt-rW0yhlYOl8_MyprufechwCUA/s1600/im3+matematicos.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Grup d'experts matemàtics" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2CCpkBNpUmXPgwmBE3Kxc2Gr-YCYHEozRrknfpKexGPZhiyXbee7MBv-ViwAcPvkV611dfSKog7nMoO02bFXfw8hjdQ3YxM0z_cLPHo0yJkJU3A5PTt-rW0yhlYOl8_MyprufechwCUA/s1600/im3+matematicos.jpg" height="265" title="Grup d'experts matemàtics" width="400" /></a>El Comitè Organitzador ha arranjat una reunió amb diversos experts del Departament de <b>Matemàtiques Aplicades</b> del Ministeri d'Educació.<br />
<br />
En aquesta reunió, el president del Comitè els hi explica a la resta d'assistents el parell de problemes que es presenten:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- El primer d'ells és determinar el nombre màxim de participants que hi pot haver si es celebren un total de 60 partits. Volem que vinguin la <b>màxima quantitat possible de països</b>. Així, d'una banda, tindrem més visites de turistes procedents dels països participants, i d'altra banda, tindrem més ingressos pels drets de televisió dels que decideixin veure’l des de casa.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnI1QtAJSNxp9Xaqjn5kWO2kR9t5Bcng5hP7H84BMSBMBw67mB_xsi-NDTwdjZuUv7HdDJWqulNGmqOyv_wwKH-v6WqcUJpGazcqYv6n7VMr_xahaO_OzxgRMEq-4YTy-yEBHqX-Knkro/s1600/im7+habitacionconpan.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="El Comitè Organitzador i els experts matemàtics, debatint la forma d'organitzar el Mundial" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnI1QtAJSNxp9Xaqjn5kWO2kR9t5Bcng5hP7H84BMSBMBw67mB_xsi-NDTwdjZuUv7HdDJWqulNGmqOyv_wwKH-v6WqcUJpGazcqYv6n7VMr_xahaO_OzxgRMEq-4YTy-yEBHqX-Knkro/s1600/im7+habitacionconpan.jpg" height="374" title="El Comitè Organitzador i els experts matemàtics, debatint la forma d'organitzar el Mundial" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- El segon és analitzar de <b>quàntes formes diferents</b> s'hi pot realitzar aquest torneig amb eliminatòries directes.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- A què et refereixes exactament?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Vull dir que el campionat es pot disputar de moltes formes. Per exemple, pot haver <b>8 caps de sèrie</b>, i que la resta de països competeixin entre ells fins que restin només 8 equips que s'enfrontin amb els caps de sèrie en vuitens de final. Així, si representem els partits a disputar com petits estadis rectangulars de color verd, i als equips participants amb una samarreta i un pantaló de futbol blau, l’esquema de competició quedaría d’aquesta forma:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVJzOQ8GgU4yf0PZwSd73xMq4Wipe1NrcKQsRk6h0nrOpQE1Uh9JJwpydsclKE9mP9Y8j5v_ap3n-tH0dVhXcRKDxfeKAJTD0J7GSBNvdg7ayFsw_Yh1IJ3uHhheL0qeKNH4SP1s2YOg/s1600/im4+8+cabezas+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema del campionat amb 8 caps de sèrie" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVJzOQ8GgU4yf0PZwSd73xMq4Wipe1NrcKQsRk6h0nrOpQE1Uh9JJwpydsclKE9mP9Y8j5v_ap3n-tH0dVhXcRKDxfeKAJTD0J7GSBNvdg7ayFsw_Yh1IJ3uHhheL0qeKNH4SP1s2YOg/s1600/im4+8+cabezas+de+serie+2.jpg" height="168" title="Esquema del campionat amb 8 caps de sèrie" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- O que hi hagi només <b>4 caps de sèrie</b>, i que la resta s'eliminin fins que restin tan sols 4 seleccions que s'enfrontin amb ells.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQlQ5tqnOgKwafA5_AYN51LC02fiiQgoOX9jyC5TSYM367Cw6Q8MKidCztFpDYvAH7Np7rtN1mJoI68QFCu-0KnfxBva9V3V_vymhNDs_uLMV5c9XM48t3o_2PNa_bPFkRP8NxxfgYRHA/s1600/im5+4+cabezas+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema del campionat amb 4 caps de sèrie" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQlQ5tqnOgKwafA5_AYN51LC02fiiQgoOX9jyC5TSYM367Cw6Q8MKidCztFpDYvAH7Np7rtN1mJoI68QFCu-0KnfxBva9V3V_vymhNDs_uLMV5c9XM48t3o_2PNa_bPFkRP8NxxfgYRHA/s1600/im5+4+cabezas+de+serie+2.jpg" height="176" title="Esquema del campionat amb 4 caps de sèrie" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- O que hi hagi tan sols <b>1 cap de sèrie</b> (el país organitzador, és clar), i que la resta s'eliminin fins que quedi només un, que jugarà amb nosaltres la final. A la fi, totes les possibles variants que se us acudeixin.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqWEOpfTQKn5URsI8uHNc-PcqVjBtnrdY683Rbl1cBkJXjEd8LR9bAj8bGCg-e3-75yAP67doQI2NxcWuEbA4RsAc0nHxSM0UYq41Grc77hPsJkkAmYZepg4MAyOzRLMo6gHVVMipBrF8/s1600/im6+1+cabeza+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema del campionato amb 1 cap de sèrie" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqWEOpfTQKn5URsI8uHNc-PcqVjBtnrdY683Rbl1cBkJXjEd8LR9bAj8bGCg-e3-75yAP67doQI2NxcWuEbA4RsAc0nHxSM0UYq41Grc77hPsJkkAmYZepg4MAyOzRLMo6gHVVMipBrF8/s1600/im6+1+cabeza+de+serie+2.jpg" height="224" title="Esquema del campionato amb 1 cap de sèrie" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Entès. Però... no serà possible... És molta feina... per tan poc temps com resta.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No vull excuses. Va, posem-nos mans a l'obra, i demà ens reunim novament aquí.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Després de la reunió, el cap del Departament de Matemàtiques Aplicades es mostra molt preocupat pels problemes plantejats. Voldries ajudar-lo?</div>
<br />
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Homo mathematicus: calculo, llavors existeixo" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segunda parte -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<!-- Texto principal -->Al dia següent, tornen a trobar-se'n els experts matemàtics i els membres del Comitè Organitzador.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Anem-hi a intentar resoldre la primera qüestió. Què em dieu? Quin és el <b>màxim nombre de països</b> que podem convocar si es celebren 60 partits?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, crec que el millor serà confeccionar un quadre, com als tornejos de tennis. Representarem<b> la final </b>amb un petit camp de futbol, com vam dir anteriorment, i d'ell partiran 2 línies cap als dos equips que la disputaran. Ja tenim <b>1 partit</b>.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWtYPPoAaObL1qFpHQD7SASaoctn6KSGKDpyNEcBf_LG3aXDPV292chebBmq1d8BHkCpquLKSwcigXYDUU-28gSyKef8pW3uRL8I3bhdfPT4JvvXnDLdrQD040_SyzCZa8Q71JS9HCeUk/s1600/im8+final2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema d'un campionat amb 2 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWtYPPoAaObL1qFpHQD7SASaoctn6KSGKDpyNEcBf_LG3aXDPV292chebBmq1d8BHkCpquLKSwcigXYDUU-28gSyKef8pW3uRL8I3bhdfPT4JvvXnDLdrQD040_SyzCZa8Q71JS9HCeUk/s1600/im8+final2.jpg" height="174" title="Esquema d'un campionat amb 2 equips" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara substituïm les samarretes que representen els equips per altres dos camps de futbol, que representaran els 2 partits de <b>semifinals</b>. De cada un d'ells tornaran a partir 2 línies, cap als equips que les disputen. I si sumem aquests dos partits al partit de la final, ja comptem amb<b> 3 partits</b> en total.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN1Zn57X88tDp3Fj2lLsahYLTPy1ES6ZDsY5KfBegu28oaK5Te1i6ykwQqeT7oz3R-2qN-aQtyeDCLLYKh2AiGhziO8YM2BlNY12M3UJNeXMMAbktF4gMDcpcjpwa7VHB1ssi14QZcng4/s1600/im9+semifinales2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema d'un campionat de 4 equips amb 2 semifinals" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN1Zn57X88tDp3Fj2lLsahYLTPy1ES6ZDsY5KfBegu28oaK5Te1i6ykwQqeT7oz3R-2qN-aQtyeDCLLYKh2AiGhziO8YM2BlNY12M3UJNeXMMAbktF4gMDcpcjpwa7VHB1ssi14QZcng4/s1600/im9+semifinales2.jpg" height="180" title="Esquema d'un campionat de 4 equips amb 2 semifinals" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Seguim així amb els 4 partits de <b>quarts </b>de final, els 8 partits de <b>vuitens </b>de final, i els 16 partits de <b>setzens </b>de final. Ara tenim un total de 1+2+4+8+16 = <b>31 partits</b>.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPzj6fu-ybbd7ZV_h3pxxuLGoce_5-nK24j_eOrCndIVlnt2AE4k0qV1qt7yaG6wW7nqmJL5qVKMmdFXVhoS6vqZxxVYxoxi5q2TqDcAG5ClFi6K6eFBk7kGR6N5O60377Hilohm0N-18/s1600/im10+dieciseisavos2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de campionat amb 32 equips i sistema d'eliminació directa" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPzj6fu-ybbd7ZV_h3pxxuLGoce_5-nK24j_eOrCndIVlnt2AE4k0qV1qt7yaG6wW7nqmJL5qVKMmdFXVhoS6vqZxxVYxoxi5q2TqDcAG5ClFi6K6eFBk7kGR6N5O60377Hilohm0N-18/s1600/im10+dieciseisavos2.jpg" height="148" title="Esquema de campionat amb 32 equips i sistema d'eliminació directa" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ens resten 29 partits per completar els 60 que volem que es disputin en el campionat. Així que no es poden celebrar tots els 32 partits de <b>trenta-dosens</b> de final, ja que tindríem un total de 31 + 32 = 63 partits. Podeu comptar els camps de futbol a l'esquema, per comprovar-hi que són 63.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioknkhSG9OhVKUnR5Fum5BxKKuJH-hZUCXbItg_0INRW-yRHS5JyzLwoHhKF4SOYatsqhEHRR9UtdKaO95GkB1Nt9DPk-tWrcB2QFjKKrqejiZKLvPWYGHZ3g0Y4o-HVOYRUFc1pSa2ls/s1600/im11+treintaidosavos+completos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de campionat amb 64 equips i sistema d'eliminació directa" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioknkhSG9OhVKUnR5Fum5BxKKuJH-hZUCXbItg_0INRW-yRHS5JyzLwoHhKF4SOYatsqhEHRR9UtdKaO95GkB1Nt9DPk-tWrcB2QFjKKrqejiZKLvPWYGHZ3g0Y4o-HVOYRUFc1pSa2ls/s1600/im11+treintaidosavos+completos+2.jpg" height="169" title="Esquema de campionat amb 64 equips i sistema d'eliminació directa" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ens sobren 3 partits. Així que eliminem 3 partits, fent que hi hagi 3 equips que es classifiquin directament per setzens de final.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBeTmpojoCaMGYHO0mGUi_GEzj6ua1kCjHUGR8OzvJGQn5BkYBjcRjg_hszlmQ7HvvzNoXjNR9pQfSFMOv2ZO_UVd4fxwsqgKSVHPB8lte7OxEppZXUzrBMEkHzDGdDsx3XAAyvihyphenhyphen-Xs/s1600/im12+treintaidosavos+incompletos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Trenta-dosens de final incomplets, amb 3 equips classificats directament per a setzens de final" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBeTmpojoCaMGYHO0mGUi_GEzj6ua1kCjHUGR8OzvJGQn5BkYBjcRjg_hszlmQ7HvvzNoXjNR9pQfSFMOv2ZO_UVd4fxwsqgKSVHPB8lte7OxEppZXUzrBMEkHzDGdDsx3XAAyvihyphenhyphen-Xs/s1600/im12+treintaidosavos+incompletos+2.jpg" height="169" title="Trenta-dosens de final incomplets, amb 3 equips classificats directament per a setzens de final" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara comptem els equips que participaran al torneig: són les samarretes que pengen com fulles als extrems de cada branca.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És veritat, l'esquema del torneig s'assembla a un arbre. Bé, després de comptar-los, em surten 61 samarretes, és a dir, que poden participar fins a <b>61 països</b>, oi?</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- És ben cert, sempre que el torneig s'organitzi amb aquest <b>esquema de competició</b>. Però, i si fem servir uns arbres diferents del que hem confeccionat? Si volem que hi hagi 8 caps de sèrie que comencin la seva participació en vuitens de final, o si volem que hi hagi 4 caps de sèrie, respetant sempre que siguin 60 partits els que es celebrin, els arbres serien els següents:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhx3DoAM14cnIBeNYLAwkPW4YoHNQI02TgBGBVV7OYLCvskrXvin_CHHD0sfk8i900vLGQ7CdrbMTift1oIB5zsXNFWlXNbvbPHZATHysLYfMYCzN4gtrKiKYhCcQmzyzoT2SmMJOhuiEs/s1600/im13+8+cabezas+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de competició amb 61 països i 8 caps de sèrie" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhx3DoAM14cnIBeNYLAwkPW4YoHNQI02TgBGBVV7OYLCvskrXvin_CHHD0sfk8i900vLGQ7CdrbMTift1oIB5zsXNFWlXNbvbPHZATHysLYfMYCzN4gtrKiKYhCcQmzyzoT2SmMJOhuiEs/s1600/im13+8+cabezas+de+serie+2.jpg" height="259" title="Esquema de competició amb 61 països i 8 caps de sèrie" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihgZfUbcFtRMG3r_7zbGKtBvxYUPMGswGKEKFRahNgDXIYNj-RAqniK-JgBv7CydQJ3E4gQf6GGtKR-X7hyphenhyphenDEZKsPSjuSG7hQTfe13cbx1xBAMg2hLQ56nsQ66PdEBK02moHURY_ZfSUs/s1600/im14+4+cabezas+de+serie+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de competició amb 61 països i 4 caps de sèrie" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihgZfUbcFtRMG3r_7zbGKtBvxYUPMGswGKEKFRahNgDXIYNj-RAqniK-JgBv7CydQJ3E4gQf6GGtKR-X7hyphenhyphenDEZKsPSjuSG7hQTfe13cbx1xBAMg2hLQ56nsQ66PdEBK02moHURY_ZfSUs/s1600/im14+4+cabezas+de+serie+2.jpg" height="208" title="Esquema de competició amb 61 països i 4 caps de sèrie" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Què passaria ara? Participarien d'aquesta forma <b>més o menys països</b>? I si se'ns ocorreixen altres arbres diferents dels que hem pintat?<br />
<br />
- Doncs en aquests dos exemples són també 61 països, però no sé què passaria amb la resta d'<b>arbres </b>que puguem formar...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sempre serien 61 països, encara que per demostrar-ho recorrerem a un procediment prou singular.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Anem a comptar el països segons hi siguin eliminats i se'n vagin cap a casa. A tots els partits d'eliminació directa, hi haurà sempre un perdedor, que ja no jugarà més partits. Només hem de pensar que en 60 partits hi haurà 60 països 'perdedors', als quals haurem de sumar el que guanyi la final, que també se n'anirà a casa, però més content. Per tant, sempre hi haurà 61 països, independentment de la forma que adopti el <b>calendari de competició</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- O podem veure-ho d'una altra forma: si en cada partit que hem representat amb un camp de futbol, pensem que l'equip que <b>guanya </b>l'encontre i passa a la següent fase ocupa la <b>meitat més fosca</b>, mentre que el <b>perdedor </b>ocupa la meitat pintada amb <b>verd més clar</b>, podem comprovar que en 60 partits hi han 60 meitats més clares, corresponents als 60 equips eliminats, als quals cal sumar l'equip que ha guanyat el torneig, i que sempre ha ocupat la zona fosca del camp. En total, <b>61 equips</b>. I donarà el mateix l’<i>arbre</i> de competició que formem.<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUxzV8l8pO60zQkDJW19UJBP4ssTi92_eSUsTckMrxCWpqWVXZhwoU8rh9_oWQb1zysC0KohL3ApULQAxAMJXB9Dt-Gb-WPBWRKFa5Jkvq8lQKIzZLvCDEplfVbSU24MD1GjDRlVPfsIY/s1600/im15+treintaidosavos+incompletos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de competició amb 60 partits" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUxzV8l8pO60zQkDJW19UJBP4ssTi92_eSUsTckMrxCWpqWVXZhwoU8rh9_oWQb1zysC0KohL3ApULQAxAMJXB9Dt-Gb-WPBWRKFa5Jkvq8lQKIzZLvCDEplfVbSU24MD1GjDRlVPfsIY/s1600/im15+treintaidosavos+incompletos+2.jpg" height="168" title="Esquema de competició amb 60 partits" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- A més, si encara no ho veieu massa clar, podéu veure el fenomenal article: <a href="http://www.matematicasdigitales.com/cuantos-partidos-hay-en-un-torneo-de-tenis/" target="_blank">Cuántos partidos hay en un torneo de tenis?</a> de José Cárlos Gámez a <a href="http://www.matematicasdigitales.com/" target="_blank">Matemáticas Digitales</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs és veritat. Així que ja podem donar per <b>resolt el primer problema</b> d'esbrinar el màxim nombre de països que poden participar.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara anem a veure la segona qüestió: veure de<b> quàntes formes diferents</b> s'hi pot <b>organitzar el campionat</b>. Dit d'una altra manera, hem d'avaluar els diferents arbres que podem confeccionar per organitzar el campionat amb 61 països.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Bé, no sembla molt difícil. Anem a començar amb un campionat sense equips. No n’hi ha <b>cap </b>forma d’organitzar un <b>campionat </b>amb <b>zero equips</b>, oi?<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Ara pensem en un campionat amb <b>un sol equip</b>. És molt fácil. Tan sols hi ha <b>una forma</b> de fer-ho: li donem el trofeig a l’equip, i ja hi som.<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkZlGu7vPGxDgaCvVG3FaJ2vSKw91diSR6cLo1ERWe9XPxkDdlLFWqEZbjUJjpQvz_kwdsXQtYbyNXhLYHh7_2MIv3L4GIP7kMJ-GL1XoZ0jNXn32wmzhkJvC-RgXhiSTWokP8C5LTrD0/s1600/im16+1+equipo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Campionat d'un sol equip" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkZlGu7vPGxDgaCvVG3FaJ2vSKw91diSR6cLo1ERWe9XPxkDdlLFWqEZbjUJjpQvz_kwdsXQtYbyNXhLYHh7_2MIv3L4GIP7kMJ-GL1XoZ0jNXn32wmzhkJvC-RgXhiSTWokP8C5LTrD0/s1600/im16+1+equipo.jpg" height="200" title="Campionat d'un sol equip" width="178" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Amb <b>2 equips</b>, tots dos jugarien la final, i ja hi és. Només hi hauria <b>una forma</b> d'organitzar-lo.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Correcte.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfESN6DukpSAVZzbqw4HCBYKouUu_kyAbtQR_-QB6BU3st7qRnSzMIs4ZS1RKxml3om05NntjhiGnGvC3zbxWIIGrUxVOB8fFfQxjqtfaExv9bCdM1vWyr9hoE6gd6zTyC93Tm8xKPTfI/s1600/im17+final2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Campionat amb 2 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfESN6DukpSAVZzbqw4HCBYKouUu_kyAbtQR_-QB6BU3st7qRnSzMIs4ZS1RKxml3om05NntjhiGnGvC3zbxWIIGrUxVOB8fFfQxjqtfaExv9bCdM1vWyr9hoE6gd6zTyC93Tm8xKPTfI/s1600/im17+final2.jpg" height="175" title="Campionat amb 2 equips" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Amb <b>3 equips</b>, també només hi ha <b>una forma</b> possible d'organitzar l'esdeveniment: primerament s'enfronten 2 equips entre si, i després el guanyador juga amb el tercer equip, no?<br />
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiteoVxBbkcMoNFsHNH2sMQFd67I8ruBy_JN_Z7AMEnQCXSFikC7w9JM1VyXW1IIdWN0sM_jlQz_8MOzAN7h64yREXhTc-AufdWpE7jLdUIF1jGRAwJ8EnPNhyxgMW_Zga-aZb2H94i-1s/s1600/im18+3+equipos+1+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema de campionat amb 3 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiteoVxBbkcMoNFsHNH2sMQFd67I8ruBy_JN_Z7AMEnQCXSFikC7w9JM1VyXW1IIdWN0sM_jlQz_8MOzAN7h64yREXhTc-AufdWpE7jLdUIF1jGRAwJ8EnPNhyxgMW_Zga-aZb2H94i-1s/s1600/im18+3+equipos+1+2.jpg" height="200" title="Esquema de campionat amb 3 equips" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Efectivament. Però, si en comptes d'enfrontar en primera ronda al primer equip amb el segon, fem que s'enfrontin el primer amb el tercer, o el segon amb el tercer, llavors tindriem altres 2 esquemes de competició diferents, no?<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-u4CBIHC8FvyyC6sTMc210xiQjSY_rzSRQvbs6brFxkC12um8MQMmipwh_9t2n5ka8UEqUeWzx6FtPF4tHAxBegXZpOLHi4eZvjmkFmK9brzbapSq7nwuyOwkBY3qi6XK6sjjZQFR1bs/s1600/im19+3+equipos+1+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Dues formes distintes d'organitzar un campionat de 3 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-u4CBIHC8FvyyC6sTMc210xiQjSY_rzSRQvbs6brFxkC12um8MQMmipwh_9t2n5ka8UEqUeWzx6FtPF4tHAxBegXZpOLHi4eZvjmkFmK9brzbapSq7nwuyOwkBY3qi6XK6sjjZQFR1bs/s1600/im19+3+equipos+1+2.jpg" height="130" title="Dues formes distintes d'organitzar un campionat de 3 equips" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- No. És cert que els equips que s'enfrontarien serien diferents, però l'esquema de competició seria el mateix: primerament juguen dos, i el vencedor juga amb l'equip restant. De moment, el que ens interessa és esbrinar quants esquemes diferents es poden confeccionar i decidir-nos per un d’ells. Després ja veurem la forma de col·locar a cadascuna de les seleccions dins d’aquest esquema, d'acord? Així que els seguim pintant del mateix color a tots els equips, ja que no els volem diferenciar.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Perfecte. Ara treballarem amb 4 equips. El més normal és fer que s'enfrontin entre ells en 2 semifinals, i que els guanyadors passin a la final.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm7XSt8AIlpz7ydI2uaDTeXet0V0OG6l0CCJRtTQTBDlTnMFfbIHVtkByW9bX8KGXGHPrCjeHonrLuMpP9zdCQRSL9-TdoB6a3DTSj79QcZ9iYN0DvrgTWNB6yYUXi07YruBsl-H1_6_o/s1600/im20+4+equipos+1+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema d'una competició de 4 equips, amb 2 semifinals" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm7XSt8AIlpz7ydI2uaDTeXet0V0OG6l0CCJRtTQTBDlTnMFfbIHVtkByW9bX8KGXGHPrCjeHonrLuMpP9zdCQRSL9-TdoB6a3DTSj79QcZ9iYN0DvrgTWNB6yYUXi07YruBsl-H1_6_o/s1600/im20+4+equipos+1+2.jpg" height="174" title="Esquema d'una competició de 4 equips, amb 2 semifinals" width="320" /></a></div>
<br />
- Però existeix una altra manera d'enfrontar-los, eliminant-se d'un en un.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKiu895qOiL1a6oBELsJ0PqiC1g-bZ6yR-UD5k1TLLJvTgBKDwNS9TVc-dgpW37ggR8NzUQ2y8YBRVf3K2WoJLFA6MTtCB_Kk7I30TezupwLMdL6kusI7mqE2OQd4s7zhA24MjXnwW3Ps/s1600/im21+4+equipos+1+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Esquema d'una competició de 4 equips, sense semifinals" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKiu895qOiL1a6oBELsJ0PqiC1g-bZ6yR-UD5k1TLLJvTgBKDwNS9TVc-dgpW37ggR8NzUQ2y8YBRVf3K2WoJLFA6MTtCB_Kk7I30TezupwLMdL6kusI7mqE2OQd4s7zhA24MjXnwW3Ps/s1600/im21+4+equipos+1+2.jpg" height="238" title="Esquema d'una competició de 4 equips, sense semifinals" width="320" /></a></div>
<br />
<span style="text-align: justify;">- Així que, amb <b>4 equips</b>, tenim <b>2 arbres </b>diferents. Anem a veure amb <b>5 equips</b>: hi ha <b>3</b> possibles maneres.</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinWtN4d7E8t3ag93Hmx5MFEYSn3Z9FMOJwMb4ZoOuskJkRQRmkV8O4MX8udjDC5nDSsFzXXyCEhobCiLZlFA1vA1S5_3KlheLt-nHxzl0aw9Ion0zbUB2qF231mfDhJlWsK0UsDfXlk1c/s1600/im22+5+equipos+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinWtN4d7E8t3ag93Hmx5MFEYSn3Z9FMOJwMb4ZoOuskJkRQRmkV8O4MX8udjDC5nDSsFzXXyCEhobCiLZlFA1vA1S5_3KlheLt-nHxzl0aw9Ion0zbUB2qF231mfDhJlWsK0UsDfXlk1c/s1600/im22+5+equipos+1.jpg" height="126" title="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgCnPApQJotcvS8hXC-iY4yGuGU_zsZQBN0GfAfQdALD-UYANyNyo1WYvd-QFam-ZEkbouaHaNvp5SAIm7cm8QsmykEZUWTDm2dUf5PjYyQLryHug5okQbN18P3qkyzysVs5JqB8q8Z0k/s1600/im23+5+equipos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgCnPApQJotcvS8hXC-iY4yGuGU_zsZQBN0GfAfQdALD-UYANyNyo1WYvd-QFam-ZEkbouaHaNvp5SAIm7cm8QsmykEZUWTDm2dUf5PjYyQLryHug5okQbN18P3qkyzysVs5JqB8q8Z0k/s1600/im23+5+equipos+2.jpg" height="141" title="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgx2mfNNDBoL4hzrapTDYYA_S94bDBjXpsh3dON7wqKB0D1n2uWJcrlPPEG1eXpt3_ufBS2WULdWIWQyiBuESIBaYBjM1I1Bb4PnsxGsNTXIo3-PQoXR24YZaREtzd_v4yXTQ0NxhLJ4V4/s1600/im24+5+equipos+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgx2mfNNDBoL4hzrapTDYYA_S94bDBjXpsh3dON7wqKB0D1n2uWJcrlPPEG1eXpt3_ufBS2WULdWIWQyiBuESIBaYBjM1I1Bb4PnsxGsNTXIo3-PQoXR24YZaREtzd_v4yXTQ0NxhLJ4V4/s1600/im24+5+equipos+3.jpg" height="153" title="Possible esquema de competició per un torneig de 5 equips" width="160" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
- I amb <b>6 equips</b>, se m'ocorren <b>6</b> formes possibles.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpxkaHy8IgEc7wHL8tjdBVJYAylAhatrZXQpry4oLbakOzrlb6CuvX0DfX5-oYXk6MsoHD4pGhENz7StFPG01RqMXoaa9uKKqkhG5QPgCQk6_pFCWGHJUi8sLBEEscziE5H5EeOFSONAs/s1600/im25+6+equipos+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpxkaHy8IgEc7wHL8tjdBVJYAylAhatrZXQpry4oLbakOzrlb6CuvX0DfX5-oYXk6MsoHD4pGhENz7StFPG01RqMXoaa9uKKqkhG5QPgCQk6_pFCWGHJUi8sLBEEscziE5H5EeOFSONAs/s1600/im25+6+equipos+1.jpg" height="171" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqa5K2b5T19rvedRKr4iylnXHgh_03f_RwMQKhTO1T5bKpjRPGIAGVxtGz5uOOeKcMVwLtLEkD_g1FplcOMQlp7H0n4YAue5ezZRqcEW-luvXvdFpE3eDdVhizs35dwQSYmmsjvOsr-kE/s1600/im26+6+equipos+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqa5K2b5T19rvedRKr4iylnXHgh_03f_RwMQKhTO1T5bKpjRPGIAGVxtGz5uOOeKcMVwLtLEkD_g1FplcOMQlp7H0n4YAue5ezZRqcEW-luvXvdFpE3eDdVhizs35dwQSYmmsjvOsr-kE/s1600/im26+6+equipos+2.jpg" height="153" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEf4KnYaqn0QBqhu9hDm_cAU4JRe4xbpB4nl9FGptfG6ZwEIjiO_QKe40ac3NUwJU-B1awU0d2ZXqvfH2TUY7HnqqKNlsERiZPv_MV2x6apIHgXemvVAcgzFMT_tc04HLdg34Hw3Iz_g8/s1600/im29+6+equipos+5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEf4KnYaqn0QBqhu9hDm_cAU4JRe4xbpB4nl9FGptfG6ZwEIjiO_QKe40ac3NUwJU-B1awU0d2ZXqvfH2TUY7HnqqKNlsERiZPv_MV2x6apIHgXemvVAcgzFMT_tc04HLdg34Hw3Iz_g8/s1600/im29+6+equipos+5.jpg" height="140" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihwtxeSV5d0S1nRjem7Myu4v_0MMf7eUvZrnnVBcmXLgDiZ9AFh1JxNBUkEapQte-i_k0kNrGOVnFTf7GapMK0Id-FkRDo7hBdZRMOJPOKLDBS9kjc-xcKqfVcmlVZOeSJxwV95OZm2WU/s1600/im27+6+equipos+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihwtxeSV5d0S1nRjem7Myu4v_0MMf7eUvZrnnVBcmXLgDiZ9AFh1JxNBUkEapQte-i_k0kNrGOVnFTf7GapMK0Id-FkRDo7hBdZRMOJPOKLDBS9kjc-xcKqfVcmlVZOeSJxwV95OZm2WU/s1600/im27+6+equipos+3.jpg" height="158" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaLekQpDYZJ_f5uFSFIEzcM-o8tIvxhkX2tvVePyuNoIWKbZjcmqVGs8ZBzk4pmHLGLg5XVGltaxuSvlyYnuuSVWo1FwniGWXTRHT4vloLgGuR7XviPoU5H2rnlf8zZ_dOO_s0l2IhUig/s1600/im28+6+equipos+4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaLekQpDYZJ_f5uFSFIEzcM-o8tIvxhkX2tvVePyuNoIWKbZjcmqVGs8ZBzk4pmHLGLg5XVGltaxuSvlyYnuuSVWo1FwniGWXTRHT4vloLgGuR7XviPoU5H2rnlf8zZ_dOO_s0l2IhUig/s1600/im28+6+equipos+4.jpg" height="160" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPzp3XO7bspwTichoE7XqyJxIs9sPxC5Ng9H34jFeedPVNLgmwRZ0-iNFJABZdRHaBygy9ihtVdjV57kVjMY3WrtwU94aJbbbHQ8BhgUZnflHZ8GzOrSukZutP5oLS43CIxiM4Tpqx3FA/s1600/im30+6+equipos+6.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPzp3XO7bspwTichoE7XqyJxIs9sPxC5Ng9H34jFeedPVNLgmwRZ0-iNFJABZdRHaBygy9ihtVdjV57kVjMY3WrtwU94aJbbbHQ8BhgUZnflHZ8GzOrSukZutP5oLS43CIxiM4Tpqx3FA/s1600/im30+6+equipos+6.jpg" height="125" title="Possible esquema de competició per un torneig de 6 equips" width="160" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Amb <b>7</b> equips podem formar <b>11</b> arbres diferents. Amb <b>8</b> hem construit <b>23</b> arbres i amb <b>9 </b>podem disenyar <b>46</b> arbres. Però cada cop resulta més difícil dibuixar les diferents opcions. Crec que d'aquesta forma no arribarem enlloc...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Potser hauriem de trobar alguna formula per a calcular quants arbres diferents es poden formar amb 61 competidors. Per això, estudiarem la <b>sèrie </b>que portem fins ara per veure si podem deduir quins seran els següents termes.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlezM2mweBp48cnxkeEBohOxAGItDBqWyoQFXdkKXS5yrbiWtBl6G4-JWOh4CUwmauEAP5j6qAUCrY0LRhSQ4i6rm5jy7CqebIM3dwhrVoIE567RbDO8-sQltDVBh7LdN4PTj1zC10O6g/s1600/im31+serie+espa%25C3%25B1ol.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Possibles models de competició diferents, en funció dels equips que participin en un campionat" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlezM2mweBp48cnxkeEBohOxAGItDBqWyoQFXdkKXS5yrbiWtBl6G4-JWOh4CUwmauEAP5j6qAUCrY0LRhSQ4i6rm5jy7CqebIM3dwhrVoIE567RbDO8-sQltDVBh7LdN4PTj1zC10O6g/s1600/im31+serie+espa%25C3%25B1ol.jpg" title="Possibles models de competició diferents, en funció dels equips que participin en un campionat" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no sembla pas que els nombres obtinguts segueixin cap tipus de <b>seqüència matemática</b>. Potser hauriem de buscar a l’internet una solución pel nostre problema.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Sí, però el primer que hem de fer és definir exactament què és el que busquem.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_(teor%C3%ADa_de_grafos)" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;" target="_blank"><img alt="Arbre (teoria de grafs) a la Viquipèdia" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaw6NdpvQ1miL_UtG_7iXtbcljJgPr4X2FDcMFmuH4KknXXcZTnC2v-1i1z_CXu4gtRVRbpZFQsXHwxHpgglZ6afVeXcj4aIMd0LuEp3Ox3H9bjKKihqsLjGcuf2ruDtR37TXW9wMhbbM/s1600/im32+arbol.jpg" title="Arbre (teoria de grafs) a la Viquipèdia" /></a>- Bé, aquests arbres que estem dibuixant s’anomenen ‘grafs’ en termes matemàtics. I com tenen una forma jeràrquica que s’assembla a la d'un arbre (o d'una arrel), també en matemàtiques se’ls coneix perl nom d’<b>arbres</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- A més, són uns arbres molt especials, ja que de tots els petits estadis (que anomenarem <b>nodes</b>) que representen els partits, parteixen 2 línies (<b>branques </b>o fills). No hi por haver un partit al què s’enfrontin més de 2 equips, així que parlarem d'<b>arbres binaris</b>, ni tampoc es pot jugar un partit amb un sol equip, per tant, diem que es tracta d’<b>arbres estrictament binaris</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Per altra banda, no ens importa l’ordre de les diferents branques, ja que ens hi fixem en l’estructura de l’arbre, i ens és igual de moment qui jugui els partits, com ja hem dit abans. Així que estem parlant d’<b>arbres estrictament binaris no ordenats</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ja només cal utilitzar el cercador d’internet, posar ‘quants arbres estrictament binaris no ordenats es poden formar’ i esperar els resultats...</div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi86ot5MNB1zdRW4I-sKKpF264kz-zmYo9vGiK-TAR8tldt_2of47gaILZq4T185VDToX_UPpZ-_IK6YMeqEJfVZb_K00yZ5_3omfaztxaesW4NqQdS-9dTCgizIEBsBZWoR5i3Owo9arE/s1600/im33+habitacionconpan.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Els experts matemàtics i el Comité organitzador buscaran la solució a l'internet" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi86ot5MNB1zdRW4I-sKKpF264kz-zmYo9vGiK-TAR8tldt_2of47gaILZq4T185VDToX_UPpZ-_IK6YMeqEJfVZb_K00yZ5_3omfaztxaesW4NqQdS-9dTCgizIEBsBZWoR5i3Owo9arE/s1600/im33+habitacionconpan.jpg" height="374" title="Els experts matemàtics i el Comité organitzador buscaran la solució a l'internet" width="640" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Doncs no hi han molts resultats. A més, no em sembla que s'hi ajustin prou al que estem buscant. O potser no estem enfocant correctament el problema.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Hauriem de reprendre novament la sèrie d’arbres que haviem calculat prèviament:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">0 1 1 1 2 3 6 11 23 46 98</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- I la introduirem en aquesta utilíssima pàgina web, que reconeix tota mena de sèries a partir dels seus termes:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://oeis.org/" target="_blank"><img alt="L'Enciclopèdia Virtual de les Seqüències de Nombres Sencers" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDU8Xrnh1Dud6uu7dGzT2oG51hrH1z2C97veSEhZhfpl4g2WnKQYXQbPpKFOTz_AV6n9xnCUYiYlQKMDNLoK_qt6uz-4XnOska3rHFDqfGMqf1Uj_C0KzkHTZtqOkoE0QfNJVEtxGKYs8/s1600/im34+web+de+series.JPG" height="326" title="L'Enciclopèdia Virtual de les Seqüències de Nombres Sencers" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://oeis.org/A001190/b001190.txt" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;" target="_blank"><img alt="Primers 200 termes de la sèrie A0010 de Wedderburn-Etherington" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibdtks6iKcxJxFIvgkHnpX0JejGCRW-mhyhVzqWLb1oY1Dy0Irc6A9JQ87N-jNjUQgahIWcL438bhZSKEhes3Im-aEyTGI-fZFOFfCOk78DWSZtuOMnxCVd9f5dTr0jzE7lMVW5-XhwHA/s1600/im35+serie+completa.JPG" height="200" title="Primers 200 termes de la sèrie A0010 de Wedderburn-Etherington" width="71" /></a>- Ahà! Aquí tenim la solució: es tracta de la <b><a href="https://oeis.org/A001190" target="_blank">sèrie A001190</a></b> de <b><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%E2%80%93Etherington_number" target="_blank">Wedderburn-Etherington</a></b>. Podem comprovar que, entre les utilitats descrites per aquesta sèrie, trobem la de calcular el nombre de <b>possibles calendaris de competició diferents</b> que es poden formar amb un nombre determinat de participants.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Ara només hem de clicar a l’enllaç on <b>T. D. Noe</b> elabora una taula amb els <b>200 primers termes de la sèrie</b>, i obtenir el resultat corresponent a 61 equips: </div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">844206159208807054529</span></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Deu n’hi do! Quin nombre! Li posarem els punts, per tal de fer-nos una idea més precisa de la seva grandària.</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">844.206.159.208.807.054.529</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Més de 844 trilions d’arbres diferents! Ni a la selva amazònica n'hi han tants d'arbres!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIYna5CSnkxA9KA7wAPp_jHNFIo7oZHnAqstE-y0QE42pq5fgmaM-DFnThpNi1jqtvyl9xURfBfam8yr49yJlojj1dnzO6kvc6j83L0n45eg9IOgCSr1ST-9G2xZH815EduxbmPZCp3ZU/s1600/im36+habitantes+de+brasil.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Població aproximada de Brasil a l'any 2013" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIYna5CSnkxA9KA7wAPp_jHNFIo7oZHnAqstE-y0QE42pq5fgmaM-DFnThpNi1jqtvyl9xURfBfam8yr49yJlojj1dnzO6kvc6j83L0n45eg9IOgCSr1ST-9G2xZH815EduxbmPZCp3ZU/s1600/im36+habitantes+de+brasil.jpg" height="320" title="Població aproximada de Brasil a l'any 2013" width="320" /></a>- Sembla un nombre prou gran. I vam dir que hauriem d’estudiar tots el casos per veure quin sistema adoptem, oi? Em sembla que haurem de treballar les 24 hores.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Bé, pensem-hi una mica. Si un/una de nosaltres li dedica 1 minut a cada arbre, i no menja, ni dorm, ni descansa, necessitarà un total de 160.617.610.995.447 anys.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Caldrà posar a treballar a tot el Departament.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Què va, encara que tots el brasilers (més de 201 milions de persones) ens ajudessin en aquesta tasca, trigariem 7.989.625 anys en aconseguir-la.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">- Bé, com que a gairebé totom li agrada el futbol, què tal si demanessim l’ajut de tota la <a href="http://www.worldometers.info/world-population/" target="_blank">població mundial</a>?</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1w2iQloHW3KS0ZnpzWGan01HxLukyKAEE-QkumSQL4-KIMiVysQ1M8bbH8UyYmCqTStfchEzQ5WYgT6MwlWo_8kOJahKbHm1FOFxu_PmSKSxT86PODl_2LzjNmQ9dtuMZRO9nwUQ0E0/s1600/im37+mapamundi2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Població mundial" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1w2iQloHW3KS0ZnpzWGan01HxLukyKAEE-QkumSQL4-KIMiVysQ1M8bbH8UyYmCqTStfchEzQ5WYgT6MwlWo_8kOJahKbHm1FOFxu_PmSKSxT86PODl_2LzjNmQ9dtuMZRO9nwUQ0E0/s1600/im37+mapamundi2.jpg" height="292" title="Població mundial" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- En aquest cas, tan sols es trigarien <b>221.987 anys</b> per estudiar durant 1 sol minut cadascuna de les possibles formes d'organitzar el nostre campionat de 61 equips.<br />
<br />
- Per cert, suposo que te'n recordes de quan vaig comentar que no ens interessava <b>diferenciar</b> els distints <b>equips</b>, i que haviem de centrar-nos tan sol en l'estructura del campionat, veritat?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-u4CBIHC8FvyyC6sTMc210xiQjSY_rzSRQvbs6brFxkC12um8MQMmipwh_9t2n5ka8UEqUeWzx6FtPF4tHAxBegXZpOLHi4eZvjmkFmK9brzbapSq7nwuyOwkBY3qi6XK6sjjZQFR1bs/s1600/im19+3+equipos+1+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Dues formes distintes d'organitzar un campionato de 3 equips" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-u4CBIHC8FvyyC6sTMc210xiQjSY_rzSRQvbs6brFxkC12um8MQMmipwh_9t2n5ka8UEqUeWzx6FtPF4tHAxBegXZpOLHi4eZvjmkFmK9brzbapSq7nwuyOwkBY3qi6XK6sjjZQFR1bs/s1600/im19+3+equipos+1+2.jpg" height="130" title="Dues formes distintes d'organitzar un campionato de 3 equips" width="400" /></a></div>
<br />
- Sí, encara que no vaig entendre molt bé per què.<br />
<br />
- Anem a retomar el tema per un moment. Tenim 61 equips, així que volem saber les distintes formes en que podem ordenar-los. En Matemàtiques, parlem de les <b>permutacions</b> que es poden donar en un conjunt de 61 elements.<br />
<br />
- Això és. I és fàcil de calcular-les. El primer equip que triem pot ser qualsevulla de les 61 seleccions. Per a cada una d'elles, el segon equip l'agafarem aquesta vegada entre les 60 restants. Per a cada una d'aquestes combinacions de 2 equips, tindrem ara 59 equips entre els que triar el tercer païs. I així successivament.<br />
<br />
- Per tant, el nombre total de permutacions dels 61 països serà igual a:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">61 · 60 · 59 · 58 · ..... · 3 · 2 ·1 = 61!</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Efectivament, per abreujar utilitzem l'expressió '<b>factorial</b> de 61', que representem amb el símbol d'admiració. I si fem el càlcul, obtindrem el següent resultat:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">61! = 5,0758 · 10 <sup>83</sup></span></div>
</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- O sigui, un cinc seguit de 83 xifres més. Si el nombre d'arbres ja et semblava enorme (<span style="font-size: large;">8,4421 · 10 <sup>20</sup></span>), imagina't com serà aquest. I si multipliquem el nombre d'arbres pel de les formes d'ordenar els distints països dins d'ells, obtindrem un preciòs nombre:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">4,2850 · 10 <sup>104</sup> = 42.850 · 10 <sup>100</sup></span></div>
<br />
- Quaranta i dos mil vuitcents cinquanta gúgols de formes distints d'organitzar el nostre campionat! Hem de recordar que un <b><a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Googol" target="_blank">googol</a></b> es més gran que el nombre d'àtoms d'hidrògen que existeixen a l'<b>univers conegut</b>...<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkKR9I5ewinpO780mg3F6zpwIfjvlLeY6hrR3LfFTfwWvUwmmLdMq2qLL59l3jjdMVJOyoeNpVgtWweto9evZjQ_chcFrYfAcHsisTtnA_BbtlArfn0-7TSkem5wSXmZHuEIaU2jQvC8E/s1600/universo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Radiació de fons de microones de l'Univers" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkKR9I5ewinpO780mg3F6zpwIfjvlLeY6hrR3LfFTfwWvUwmmLdMq2qLL59l3jjdMVJOyoeNpVgtWweto9evZjQ_chcFrYfAcHsisTtnA_BbtlArfn0-7TSkem5wSXmZHuEIaU2jQvC8E/s1600/universo.jpg" height="369" title="Radiació de fons de microones de l'Univers" width="640" /></a></div>
<br />
- Uff. Llavors crec que el millor será emprar el <b>sistema tradicional</b>: 29 partits de trenta-dosens, lliurant a tres països d’aquesta primera ronda, i eliminatòries completes des de setzens.</div>
<br />
- Els 3 països exents serien Brasil, i altres dos.<br />
<br />
- És clar!<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Anem-hi! Ara toca decidir quins països convidem a participar al Mundial, per completar el quadre de 61 equips. I també hauriem de pensar en organitzar quelcom original per a la cerimònia d'apertura <a href="http://www.matifutbol.com/ca/pilotes.html" target="_blank">Què us aseembla si donem uns balons que omplin tot l'estadi?</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinZ2O6iXqMeZt7fnBfwU-TP5LVCiNpmKL3wRCh8hWbUfKqI-LiBL_T4RTm-YOfDXLpumw2uUXMjHOIIsqKHcf93jh4qIoX_JRM32jszINb9K8FZbetjh378K1JTN2kjUPjAh74OsMI-ow/s1600/maracanaconbalones.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinZ2O6iXqMeZt7fnBfwU-TP5LVCiNpmKL3wRCh8hWbUfKqI-LiBL_T4RTm-YOfDXLpumw2uUXMjHOIIsqKHcf93jh4qIoX_JRM32jszINb9K8FZbetjh378K1JTN2kjUPjAh74OsMI-ow/s1600/maracanaconbalones.jpg" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- D'acord. Però abans, si algú està interessat en aquest tema de les <b><a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Estructura_arb%C3%B2ria" target="_blank">estructures arbòries</a></b>, aquí us deixo uns enllaços per aprofundir en ell: <a href="http://matematicasparacomputadora.weebly.com/-641-componentes-raiacutez-hoja-padre-hijo-descendientes-ancestros.html" target="_blank">Matemáticas para computadora</a>, <a href="http://www.utm.mx/~rruiz/cursos/ED/material/ABB.pdf" target="_blank">Estructuras de datos</a>, <a href="http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/icbi/asignatura/Cap6ARBOLES.pdf" target="_blank">Árboles</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
- Y més abaix us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.</div>
<br />
- Adeu siau. I que guanyi el millor!<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Enlaces a meneame, divoblogger, etc -->
<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20men%C3%A9ame%20xxx%20http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="https://www.blogger.com/xxx%20poner%20enlace%20a%20divoblogger%20xxx%20http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Muchas gracias.</span>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0Río de Janeiro - Estado de Río de Janeiro, Brasil-22.9082998 -43.197077299999989-23.3788568 -43.845270799999987 -22.437742800000002 -42.548883799999992tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-75136037585146908822014-03-27T14:25:00.000-07:002014-05-11T07:55:24.844-07:00La probabilitat i la sortida del sol<!-- Resumen de la página -->
<span style="display: none;">És fácil decidir sobre vàries ofertes quan un coneix els detalls de totes elles. Però quan manca alguna dada, resulta més complicat trobar un mètode satisfactori per prendre la decisió correcta. En aquest cas, Michael Laudrup s'enfronta a una decisió sobre dues ofertes, de les que només coneix una. I sembla que l'aplicació de les matemàtiques en aquest cas, no li ajuda, sino que encara l'embolica més per fer l'elecció. Conoixerà la paradoxa de l'elecció?<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYz0rSSmtxWDC4zhTy09vW28m1IaFZjeHdv8Jsyx_uRhWkRua4vHcabDHbNaSNDeHKANtoKaQ2pfmph8DSczQN8gqtgKl1S09Uzc8RWyjp454HsEGI1GM_t6df8K6naTWhL6HAto91H48/s400/laudruponthebeach.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYz0rSSmtxWDC4zhTy09vW28m1IaFZjeHdv8Jsyx_uRhWkRua4vHcabDHbNaSNDeHKANtoKaQ2pfmph8DSczQN8gqtgKl1S09Uzc8RWyjp454HsEGI1GM_t6df8K6naTWhL6HAto91H48/s200/laudruponthebeach.jpg" height="150" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbm6bMWS-RobllZb0QKubG45_SAHLmegQxmthTSneBfkYvEBcf8rnhBsmduaapVVGRUnFz-nG-wAmeMtPNpwIfJb8V0sTVfHPjqca8NZBclgljierCyBhRY7Tn8_qgGQE7qnsDpi0u5w/s400/satellite.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbm6bMWS-RobllZb0QKubG45_SAHLmegQxmthTSneBfkYvEBcf8rnhBsmduaapVVGRUnFz-nG-wAmeMtPNpwIfJb8V0sTVfHPjqca8NZBclgljierCyBhRY7Tn8_qgGQE7qnsDpi0u5w/s200/satellite.jpg" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgsEpA7s8hwWViLCKsS7Z3cj0A0p85Vl9BlLyCjmm7daUTDKI0FtG0B9-1h2Ln6_l1f5HzYtRbV9YB2Q-qUhEkPQtBOj0djeuP67JAfT5qz3N1Z9zoTajzYFthdFT3e0IPkbElTUTgjqY/s400/sunrise2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgsEpA7s8hwWViLCKsS7Z3cj0A0p85Vl9BlLyCjmm7daUTDKI0FtG0B9-1h2Ln6_l1f5HzYtRbV9YB2Q-qUhEkPQtBOj0djeuP67JAfT5qz3N1Z9zoTajzYFthdFT3e0IPkbElTUTgjqY/s200/sunrise2.jpg" /></a></span>
<!-- Enlaces a otros idiomas -->
<a href="http://mathsball.blogspot.com/2014/03/probability-two-envelopes-paradox-exchange.html" style="float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 0em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" height="60" width="60" /></a>
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2014/03/probabilidad-paradoja-dos-sobres-cambio.html" style="clear: left; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 3em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" height="60" width="60" /></a>
<!-- Enlace de participación en el Carnaval -->
<br />
<div class="marino">
<div style="text-align: justify;">
(Aquesta entrada participa a la <a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/2014/03/edicion-52-emmy-noether_10.html" target="_blank"><span class="negrita">Edició 5.2. Emmy Noether</span></a> del <a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" target="_blank"><span class="negrita">Carnaval de Matemàtiques</span></a>, l'amfitrió del qual és el blog <a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/" target="_blank"><span class="negrita unidas">Mates de David</span></a>.)</div>
</div>
<!-- Primera parte -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">PRIMERA PART</span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<!-- Texto principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfSsN-2PbjQJvwLMiqXRkf13LOMnV7a9pt-l6YX6vMF4En5GlOSjUwpryaw13Yzo3-eA6K_8Gh3nxJYelxZ8PmQ_LvRcWV5WGlJBXXsqhQgvrd-Ja-H4De-pFaKDrnT-y40cilzUa2a14/s1600/southpacificisland.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Paisatge de costa. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfSsN-2PbjQJvwLMiqXRkf13LOMnV7a9pt-l6YX6vMF4En5GlOSjUwpryaw13Yzo3-eA6K_8Gh3nxJYelxZ8PmQ_LvRcWV5WGlJBXXsqhQgvrd-Ja-H4De-pFaKDrnT-y40cilzUa2a14/s1600/southpacificisland.jpg" height="200" title="Paisatge de costa. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" width="196" /></a>Surt el sol a una preciosa <b>illa del Sud del Pacífic</b>. És un lloc tan allunyat de qualsevol altre lloc habitat, que ni tan sols arriba el senyal telefònic per connectar-se'n a internet. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Tan sols cada dues hores passa per sobre un satèl·lit de <b>telecomunicacions</b>, que permet als seus habitants connectar-se amb la resta del món durant gairebé un minut.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Michael Laudrup</b> ha escollit aquest idíl·lic lloc per passar unes tranquil·les i merescudes vacances amb la seva família.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Com cada matí, s'ha acostat a la costa per presenciar la <b>bella matinada</b>. Són les vuit del matí. Just en aquest moment passa per sobre el satèl·lit, i el telèfon sona indicant-li que té un missatge.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaDHyFJotJVvJ7H__gSQ4Ouqsk9KBUCLBg3mZCcdHm5GNwQ4Uv_InP9jOYcXnF6jq7Ezwusyud_XrHUd7Bvqg2LhUJ3Cv8ojzlCpp9-Yj-pWuwU25iSxeJ6EYs23RgqgVvMMn4XhmQjZM/s1600/sunrise.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Magnífica matinada. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaDHyFJotJVvJ7H__gSQ4Ouqsk9KBUCLBg3mZCcdHm5GNwQ4Uv_InP9jOYcXnF6jq7Ezwusyud_XrHUd7Bvqg2LhUJ3Cv8ojzlCpp9-Yj-pWuwU25iSxeJ6EYs23RgqgVvMMn4XhmQjZM/s1600/sunrise.jpg" height="224" title="Magnífica matinada. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" width="320" /></a>No li ve de gust agafar el telèfon, però veu que es tracta d'un missatge del seu <b>representant</b>, així que finalment decideix llegir-lo. El missatge diu així:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
'Michael, tens <b>dues ofertes per entrenar</b> la propera temporada. Una és de la Juventus de Torí, i l'altra és del Real Madrid. Com pots veure, uns t'ofereixen just el <b>doble </b>que els altres. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El problema és que necessiten una resposta immediata, així que d'aquí a 2 hores, quan tinguis novament connexió, hauràs contestar-me i dir-me per quin dels dos equips has decidit fitxar. Si no, tots dos buscaran un altre entrenador. La Juventus t'ofereix 2 milions d'euros, i el Real Madrid...'</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Apa! Just en aquest moment, el satèl·lit s'havia allunyat prou com perquè es tallés la connexió.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbm6bMWS-RobllZb0QKubG45_SAHLmegQxmthTSneBfkYvEBcf8rnhBsmduaapVVGRUnFz-nG-wAmeMtPNpwIfJb8V0sTVfHPjqca8NZBclgljierCyBhRY7Tn8_qgGQE7qnsDpi0u5w/s1600/satellite.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="El satèl·lit de comunicacions passa cada dues hores per la illa." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbm6bMWS-RobllZb0QKubG45_SAHLmegQxmthTSneBfkYvEBcf8rnhBsmduaapVVGRUnFz-nG-wAmeMtPNpwIfJb8V0sTVfHPjqca8NZBclgljierCyBhRY7Tn8_qgGQE7qnsDpi0u5w/s1600/satellite.jpg" height="240" title="El satèl·lit de comunicacions passa cada dues hores per la illa." width="320" /></a>Michael tenia dues hores per a decidir per quin dels dos equips fitxar.<br />
<br />
Així que va baixar-hi fins a la platja, i va començar a <b>meditar la resposta</b> que li donaria al seu representant.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ambdues ofertes procedien de dos equips amb els quals havia jugat, de manera que no sentia especial predilecció per l’un o l’altre.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
L'oferta de la Juve és molt bona, però, i si la del Real Madrid és millor?</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJXSltrYUERA4F7iE6sia-K1N3LcLRy-MDZrITW2hahs9mDlEo_GvfzMc1UHKjCJ2ygvQ0nuQxMKv4pjkYpFU_7opWT9wk1l8fQqBBJDr69dA1MbJElrDjl9L9-k3B1N9pThRE_i31p2s/s1600/realmadridbadge.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut del Real Madrid" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJXSltrYUERA4F7iE6sia-K1N3LcLRy-MDZrITW2hahs9mDlEo_GvfzMc1UHKjCJ2ygvQ0nuQxMKv4pjkYpFU_7opWT9wk1l8fQqBBJDr69dA1MbJElrDjl9L9-k3B1N9pThRE_i31p2s/s1600/realmadridbadge.gif" height="200" title="Escut del Real Madrid" width="142" /></a><b><span style="font-size: x-large;">vs.</span></b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwclKjVS6lTrJbonn_YOfNivZA6ebX8a4Pf3lxjXhH1KKkcB01R2F6dvBp8TyKLKJD6hMMUJZXhEw66I_Mq5ZQjlPkvZSJni1SOOxTI2lF3M2f1EAgYE-wexN8-yCxGEwvbO2cYu5L9O4/s1600/juventusbadge.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Escut de la Juventus de Torí" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwclKjVS6lTrJbonn_YOfNivZA6ebX8a4Pf3lxjXhH1KKkcB01R2F6dvBp8TyKLKJD6hMMUJZXhEw66I_Mq5ZQjlPkvZSJni1SOOxTI2lF3M2f1EAgYE-wexN8-yCxGEwvbO2cYu5L9O4/s1600/juventusbadge.gif" height="200" title="Escut de la Juventus de Torí" width="120" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Serà una difícil elecció. Podria tirar sort, però es tracta d’una decisió important, què mereix buscar alguna forma lògica de prendre la decisió. Potser els coneixements de <b>probabilitat </b>que encara recordava dels seus estudis el podrien ajudar...</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYz0rSSmtxWDC4zhTy09vW28m1IaFZjeHdv8Jsyx_uRhWkRua4vHcabDHbNaSNDeHKANtoKaQ2pfmph8DSczQN8gqtgKl1S09Uzc8RWyjp454HsEGI1GM_t6df8K6naTWhL6HAto91H48/s1600/laudruponthebeach.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Laudrup està pensant per quin dels dos equips fitxarà." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYz0rSSmtxWDC4zhTy09vW28m1IaFZjeHdv8Jsyx_uRhWkRua4vHcabDHbNaSNDeHKANtoKaQ2pfmph8DSczQN8gqtgKl1S09Uzc8RWyjp454HsEGI1GM_t6df8K6naTWhL6HAto91H48/s1600/laudruponthebeach.jpg" height="480" title="Laudrup està pensant per quin dels dos equips fitxarà." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
T'atreveixes a ajudar a Michael a escollir el seu nou equip per a la propera temporada?</div>
<br />
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Homo mathematicus -->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Dedica un moment a pensar en la solució, i després segueix amb la història." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" height="250" title="Dedica un moment a pensar en la solució, i després segueix amb la història." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<!-- Segunda parte -->
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">SEGONA PART</span></div>
<!-- Texto principal -->
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
Al principi, Laudrup pensa que l'oferta del Juventus és força temptadora. I a més, hi ha un 50% de probabilitat de que l'opció que triï sigui <b>la millor</b> de les dues.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi7uirKkw8YtO-F8LFmKJL77q0_I-Pdb5VsEjwk_jK87qgs4bqOIE0QaUV4jcnWm-osNCMtSNAeTFfNHrBRxIhDnlne7S5cGfuQug8mZJcXbDpDjWiagtFBa8IsbHyNGtMgce3796U1t4/s1600/prueba7.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Laudrup va jugar a la Juventus de Torí. Triarà ser el seu entrenador?" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi7uirKkw8YtO-F8LFmKJL77q0_I-Pdb5VsEjwk_jK87qgs4bqOIE0QaUV4jcnWm-osNCMtSNAeTFfNHrBRxIhDnlne7S5cGfuQug8mZJcXbDpDjWiagtFBa8IsbHyNGtMgce3796U1t4/s1600/prueba7.jpg" title="Laudrup va jugar a la Juventus de Torí. Triarà ser el seu entrenador?" /></a><span style="color: #134f5c;">Ja m'agradaria guanyar aquests diners cada any... I atès que si tria l'oferta del Reial Madrid s'arrisca a guanyar menys diners, al cap de les dues hores jo contestaria: fitxo per la Juventus!</span></div>
<br />
<span style="text-align: justify;">Doncs sí, sembla una elecció lògica.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Sens dubte. Si canviant la seva elecció pot guanyar 2 milions, i tan sols pot perdre 1 milió, tot és ben clar, oi?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bé, aquí estariem envers un estudi econòmic sobre la utilitat marginal d'aquests 2 milions: Laudrup pot ésser més preocupat per perdre 1 miliò, que interessat per guanyar 2 milions més.<br />
<br />
Però suposarem que a Michael l'importa el mateix el milió adicional que pot guanyar que el que pot perdre, i abordarem el problema d'una altra forma. Vegem: tenim una oferta de 2.000.000 € de la Juventus, oi?</div>
<br />
<span style="color: #134f5c;">Sí.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
I sabem que una de les ofertes és el <b>doble </b>que l'altra. Així que el Real Madrid pot haver ofert 1 milió o 4 milions d'euros.</div>
<br />
<span style="color: #134f5c;">Correcte.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bé, ara anem a calcular quin és el <b>salari estimat </b>que obtindrà Laudrup si canvia d'opinió i escull fitxar pel Real Madrid.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Hi ha un 50% de possibilitats de guanyar 1 milió d'euros, i un altre 50% de possibilitats de guanyar 4 milions d'euros. Així que el guany estimat d'aquesta segona opció, qué anomenarem E(Q<sub>2</sub>), la calcularem fent la <b>mitjana </b>dels dos casos que es poden donar:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMNTqXBGrvARYErjNcFO4ea9AQ8-MxojwO_Sb6Dnsh-G72KRED6NRvRLm5bNWh4wphXcPPMKt7H5L0QcGteEE3TvQKRGY3BczoTDhlvhT8DS2JkCMzM4p6gRQLMhdP6Pxhih6wq_obgUc/s1600/formula1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Càlcul del guany estimat E(Q2) = 1/2 (1.000.000) + 1/2 (4.000.000) = 2.500.000" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMNTqXBGrvARYErjNcFO4ea9AQ8-MxojwO_Sb6Dnsh-G72KRED6NRvRLm5bNWh4wphXcPPMKt7H5L0QcGteEE3TvQKRGY3BczoTDhlvhT8DS2JkCMzM4p6gRQLMhdP6Pxhih6wq_obgUc/s1600/formula1.JPG" title="Càlcul del guany estimat E(Q2) = 1/2 (1.000.000) + 1/2 (4.000.000) = 2.500.000" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Així que, si canvia d'opció, el seu guany mitjà s'estima en dos milions i mig, mig milió més que si es queda a l'equip de Torí, no?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Efectivament, si apliquem les lleis de la probabilitat, Laudrup hauria en aquest cas de triar la segona opció. Però a més, és un succès que no només passa en aquest cas, sinó que es donarà sempre que el representant expressi la diferència entre les dues ofertes en<b> termes relatius</b>.</div>
<br />
<span style="color: #134f5c;">No acabo de comprendre’n.</span><br />
<br />
Anomenarem <span style="text-align: justify;">Q</span><sub style="text-align: justify;">a</sub> i <span style="text-align: justify;">Q</span><sub style="text-align: justify;">b</sub> a les dues ofertes. Definim r com la raó entre l’una i l’altra:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgJ-Fah7h27H85FxzB3BOFkbXt0xzvwTjbVl8N-Vd_H7oATQp71PMRL4RphyY5NbNj6bL-SjYi_WdY4tqzqHjmmbJtL9Kjlz4Rm45xlc766Ckufi-cRTsi7-KoY0buEAv35YDBp9C3edM/s1600/formula2.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Raó entre les dues ofertes r = Qa/Qb" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgJ-Fah7h27H85FxzB3BOFkbXt0xzvwTjbVl8N-Vd_H7oATQp71PMRL4RphyY5NbNj6bL-SjYi_WdY4tqzqHjmmbJtL9Kjlz4Rm45xlc766Ckufi-cRTsi7-KoY0buEAv35YDBp9C3edM/s1600/formula2.JPG" title="Raó entre les dues ofertes r = Qa/Qb" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
No ens importa quina de les dues ofertes, Q<sub>a</sub> o Q<sub>b</sub><sub>,</sub> més gran. En tot cas, r sempre serà un nombre <b>positiu </b>més gran que zero (de moment, Laudrup no pensa entrenar cap equip de forma gratuïta, així que ni Q<sub>a</sub> ni Q<sub>b </sub>són iguals a zero, ni tampoc pensa pagar diners per fer-ho, així que Q<sub>a</sub> i Q<sub>b</sub> són dos valors positius majors que zero), i per tant, r també ho és.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Si fem que Q<sub>1</sub> és l’oferta que triem en primer lloc, i Q<sub>2</sub> és l’oferta que encara no hem descobert, tenim que Q<sub>2 </sub>pot valer (<span style="text-align: justify;">Q</span><sub style="text-align: justify;">1</sub> · r) o bé (<span style="text-align: justify;">Q</span><sub style="text-align: justify;">1</sub> / r).</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Calculem el valor estimat de Q<sub>2</sub>, que anomenarem E(Q<sub>2</sub>), pel cas que hi ha la <b>mateixa probabilitat </b>de que qualsevulla de les dues ofertes sigui la més gran:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoK38FDNACVAYCUdUQlun6zgH842UderShCg-AzMewKmkApUZFzCtR7c2CZQ1fM-V8C6KkM-XkM2yRsFEMNLEOVydQESR-8a0px_1uDb7ap3vLKzIt_5-AWC-Gp-EreXj0tazQVCAgcpU/s1600/formula3.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Càlcul del valor estimat E(Q2)= 1/2 (Q1/r) + 1/2 (r Q1) = 1/2 (r^2+1) (Q1/r)" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoK38FDNACVAYCUdUQlun6zgH842UderShCg-AzMewKmkApUZFzCtR7c2CZQ1fM-V8C6KkM-XkM2yRsFEMNLEOVydQESR-8a0px_1uDb7ap3vLKzIt_5-AWC-Gp-EreXj0tazQVCAgcpU/s1600/formula3.JPG" title="Càlcul del valor estimat E(Q2)= 1/2 (Q1/r) + 1/2 (r Q1) = 1/2 (r^2+1) (Q1/r)" /></a></div>
<br />
Si definim k com<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqx-0yyFiF0zhQdH73U7TzgES2VWPJA4mUN2HO_hXCdbzdbptvRiMhPKLVD5GnX7ex2BXXSAoNtXIntfu9bR4yFHdkJJmejE1QZRmH3f9dlM-H9dFCHukuCMJhxODupVYd343UF2HLqfY/s1600/formula4.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="k = 1/2 (r^2+1) / r" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqx-0yyFiF0zhQdH73U7TzgES2VWPJA4mUN2HO_hXCdbzdbptvRiMhPKLVD5GnX7ex2BXXSAoNtXIntfu9bR4yFHdkJJmejE1QZRmH3f9dlM-H9dFCHukuCMJhxODupVYd343UF2HLqfY/s1600/formula4.JPG" title="k = 1/2 (r^2+1) / r" /></a></div>
<br />
<br />
Tenim que<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge3mxWLm6ubegZbRFGhlI9tii5vAsctwCppi2KMv4opH_9jrL5_zxotRxR3QbcrBFnJwsBz_2Vd-sITDyOwRAljRTscQhyJB3fQVdhVb7v2ypflMztWbWVv0smq_uUI2bqaCIjjJTcitI/s1600/formula5.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="E(Q2) = k Q1" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge3mxWLm6ubegZbRFGhlI9tii5vAsctwCppi2KMv4opH_9jrL5_zxotRxR3QbcrBFnJwsBz_2Vd-sITDyOwRAljRTscQhyJB3fQVdhVb7v2ypflMztWbWVv0smq_uUI2bqaCIjjJTcitI/s1600/formula5.JPG" title="E(Q2) = k Q1" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Anem a veure gràficament com es comporta el valor de k en funció dels valors de r, és a dir, segons la diferencia que hi hagi entre les dues ofertes:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRmm4KaT6HjFBiq67eCzv-TnxWgfCvXZLP-laoVe03hrB0TBPe5MrVLeoTBJ46cTwKcCjte1KOIT-NGqiYCIhj2cDFrLPOUbJMOe3P06tmb5WYCEY8QXUo6PNKVTNbRv0zGAsHlG9r0aU/s1600/formula.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Gràfica de la funció k = 1/2 (r^2 + 1) / r" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRmm4KaT6HjFBiq67eCzv-TnxWgfCvXZLP-laoVe03hrB0TBPe5MrVLeoTBJ46cTwKcCjte1KOIT-NGqiYCIhj2cDFrLPOUbJMOe3P06tmb5WYCEY8QXUo6PNKVTNbRv0zGAsHlG9r0aU/s1600/formula.jpg" height="426" title="Gràfica de la funció k = 1/2 (r^2 + 1) / r" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVqfG3MN01Kz4VjRB90GFywq2hyphenhyphenltEZnVDXAI0tHAukQRTmxxbJ5qewrgLUDDumUeg8LEf6SR6qITHgieVbtOQU5Z5Z5HC0NcAhPQETMd7a7BTOV0ieGIeUJ9CQ8gKPKsp85GSqBw57oQ/s1600/formula11.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="La segona oferta sempre serà millor que la primera k >= 1 -> E(Q2) >= Q1" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVqfG3MN01Kz4VjRB90GFywq2hyphenhyphenltEZnVDXAI0tHAukQRTmxxbJ5qewrgLUDDumUeg8LEf6SR6qITHgieVbtOQU5Z5Z5HC0NcAhPQETMd7a7BTOV0ieGIeUJ9CQ8gKPKsp85GSqBw57oQ/s1600/formula11.JPG" title="La segona oferta sempre serà millor que la primera k >= 1 -> E(Q2) >= Q1" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3yVrtm-etRwWppfZM3qY5xWIjtdq7xJzq1ot3mBy1ShTCvgTFPkD4zT8LKSbh3iJ-rN8o05WBmSRshNbVmetLn1m4ZkDdPWmRX_uXiwiBP0EfMqmpa0AoYrhoa_mjuSzfkJ0x76Ug1dA/s1600/prueba8.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Laudrup va jugar al Real Madrid. També l'entrenarà?" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3yVrtm-etRwWppfZM3qY5xWIjtdq7xJzq1ot3mBy1ShTCvgTFPkD4zT8LKSbh3iJ-rN8o05WBmSRshNbVmetLn1m4ZkDdPWmRX_uXiwiBP0EfMqmpa0AoYrhoa_mjuSzfkJ0x76Ug1dA/s1600/prueba8.jpg" height="320" title="Laudrup va jugar al Real Madrid. També l'entrenarà?" width="214" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
Veiem que k serà sempre més gran que 1, llevat del cas que les dues ofertes siguin iguals). de manera que el valor estimat de l'oferta desconeguda <span style="text-align: start;">E(Q</span><sub style="text-align: start;">2</sub><span style="text-align: start;">) </span>sempre serà més gran que el de l’oferta que coneixem Q<sub>1</sub>. Així que, sigui com sigui la primera opció, sempre haurem d'<b>escollir la segona</b>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">O sigui, que Laudrup haurà de contestar: fitxaré pel Real Madrid!</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sí, però... t’imagines què passaria si l’agent hagués citat en primer lloc l’oferta del Real Madrid? Tot i seguint el mateix raonament, ara Laudrup estaria pensant en fitxar per la Juve...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Malgrat això, tot això passa tan sols quan la relació entre ambdues ofertes l'expressem en termes relatius. Imaginem que el seu representant, en comptes de dir que una oferta és el doble que l'altra, hagués dit que una oferta és superior a l'altra en 1.000.000 € per exemple, és a dir, que hi hagués quantificat la diferència en valors absoluts. Què és el que passaria?</div>
<br />
<span style="color: #134f5c;">No ho sé.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Anem a calcular de nou el guany estimat de Laudrup si tria l’opció del Real Madrid:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifu5qZUpCZdwOa1fSS_fDr7-2BSW7mb4V5NQymEo2UcAI7GL0-DVUo20u3WP-6kB-p6Lrt_KXItxbrbwOW1AGi65woc8wvsE9It1JxnFIrQ7VWnebkGeqiQPLLnPQelM2gzJ-gn_EmxBY/s1600/formula6.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Càlcul del guany estimat E(Q2) = 1/2 (1.000.000) + 1/2 (3.000.000) = 2.000.000" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifu5qZUpCZdwOa1fSS_fDr7-2BSW7mb4V5NQymEo2UcAI7GL0-DVUo20u3WP-6kB-p6Lrt_KXItxbrbwOW1AGi65woc8wvsE9It1JxnFIrQ7VWnebkGeqiQPLLnPQelM2gzJ-gn_EmxBY/s1600/formula6.JPG" title="Càlcul del guany estimat E(Q2) = 1/2 (1.000.000) + 1/2 (3.000.000) = 2.000.000" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Resulta que obtenim un <b>guany estimat</b> de 2.000.000 €, tot just la mateixa quantitat que li ofereix la Juventus!</div>
<br />
Anem a veure-ho en termes matemàtics . Si ara definim r com:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk7lMA2UdfkSOHXpIKWy3UGmSei1t0U8Rdl66RyuMyDBpKVuDuCCo9Zt_4xGdnn-PxL2AfXyVUHkRxzpuR0VE-jQjTYIVEebjCwW72fX1Oo-4p3MKdCtm4xLIT758dkqx037k6BmkZULE/s1600/formula10.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="r = Qa - Qb" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk7lMA2UdfkSOHXpIKWy3UGmSei1t0U8Rdl66RyuMyDBpKVuDuCCo9Zt_4xGdnn-PxL2AfXyVUHkRxzpuR0VE-jQjTYIVEebjCwW72fX1Oo-4p3MKdCtm4xLIT758dkqx037k6BmkZULE/s1600/formula10.JPG" title="r = Qa - Qb" /></a></div>
<br />
tenim que:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigdxNT0yI7y530yU3bZvyfJlf_Kdm-uhwoJ9u4X7VmNn-DfxxmQ3oAa7R_kpw3QWyJYH5IFpuNYposGLNeq__FHQQ-PGCz0_ZlVJ2ISkf6oSbBOaOvIFDsiJNGvXi4F9LNTeYRWXMrVUk/s1600/formula7.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="E(Q2) = 1/2 (Q1 + r) + 1/2 (Q1 - r)" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigdxNT0yI7y530yU3bZvyfJlf_Kdm-uhwoJ9u4X7VmNn-DfxxmQ3oAa7R_kpw3QWyJYH5IFpuNYposGLNeq__FHQQ-PGCz0_ZlVJ2ISkf6oSbBOaOvIFDsiJNGvXi4F9LNTeYRWXMrVUk/s1600/formula7.JPG" title="E(Q2) = 1/2 (Q1 + r) + 1/2 (Q1 - r)" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxwLVyW1LomnKAxP1tvldAJ2PDl3tCm7nfRV_jqPt3om8WUC9BdnlD0CRQQA5UrNw5iKqbYm-ouLMPkWjjo3aeqYtd01g7riLK6v3XoTWsNjg3ZYwWbjl4ikvN5Zam0CIKba1IuH5Hd9s/s1600/formula8.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="E(Q2) = 1/2 (Q1 + Q2 - Q2) + 1/2 (Q1 - Q2 + Q1)" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxwLVyW1LomnKAxP1tvldAJ2PDl3tCm7nfRV_jqPt3om8WUC9BdnlD0CRQQA5UrNw5iKqbYm-ouLMPkWjjo3aeqYtd01g7riLK6v3XoTWsNjg3ZYwWbjl4ikvN5Zam0CIKba1IuH5Hd9s/s1600/formula8.JPG" title="E(Q2) = 1/2 (Q1 + Q2 - Q2) + 1/2 (Q1 - Q2 + Q1)" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieb9s7vOsFQ3ywImJURP1yBqh51FaCEyiKLv15zuiLZ1VM3ytsNkF4tU3i6dIybkqauRc48SLJ8fgq1S9Zkmlx6eAGxNA7ACakBW5UlLkTwf0JQfr9f51wyeH-SB36PtfOb6pC0ST-aQI/s1600/formula9.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="E(Q2) = 1/2 (2 Q1) = Q1" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieb9s7vOsFQ3ywImJURP1yBqh51FaCEyiKLv15zuiLZ1VM3ytsNkF4tU3i6dIybkqauRc48SLJ8fgq1S9Zkmlx6eAGxNA7ACakBW5UlLkTwf0JQfr9f51wyeH-SB36PtfOb6pC0ST-aQI/s1600/formula9.JPG" title="E(Q2) = 1/2 (2 Q1) = Q1" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Així que si la diferència la comptabilitzem en termes absoluts, i no relatius, passa que obtenim una <b>solució matemàtica</b> més 'lògica'...</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
És cert, en aquest cas el resultat matemàtic coincideix amb el que ens dicta el sentit comú.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiABC5slTAsB_iTUx9fHE_cmPtOUqekxCGIM9rIzWQeU9Qp6fAfLV3Y09nYoG40cpKpK5hUIO0l7lhFK2eo1qJZY7v6f61oAxolZOI5CwfjyuPCiW42h8bGGe6BmrlbA17JuDic0nC7CTY/s1600/prueba9.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Laudrup es pensa si seguir entrenant el seu equip actual." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiABC5slTAsB_iTUx9fHE_cmPtOUqekxCGIM9rIzWQeU9Qp6fAfLV3Y09nYoG40cpKpK5hUIO0l7lhFK2eo1qJZY7v6f61oAxolZOI5CwfjyuPCiW42h8bGGe6BmrlbA17JuDic0nC7CTY/s1600/prueba9.jpg" height="108" title="Laudrup es pensa si seguir entrenant el seu equip actual." width="200" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
I com les ofertes de tots dos clubs són iguals, i Laudrup té la mateixa simpatia per tots dos, li costaria molt decidir-se’n per un dels dos, pel qual Michael potser constestaría finalment: Em quedo al meu equip actual!</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Bé, però aquestes oportunitats no sorgeixen cada dia. No podem ajudar-li d'alguna manera a decidir-se’n per una de les dues ofertes?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Està bé, després de tants càlculs, no li deixarem sense una solució pel seu problema.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ja hem vist que segons interpretem les dades, la decisió pot ser diferent. Llavors, què ha de fer Laudrup per prendre una decisió correcta?</div>
<a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="Fernando Llorente i la seva difícil el·lecció sobre per quin equip fitxar." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMsf1ukyWmbVe36gAKHF5qSN71xqgLOJWZjQOcZpdw_n_d5lN0s0hxc8TTppcvS7huFPBDtMacV8GRKnFTfrm9mXsT1EgN-sMdX2Wz6un4MW2RBjSJaDpjeCaI7eCl70pyMpFMilcWBzE/s1600/llorente1.jpg" title="Fernando Llorente i la seva difícil el·lecció sobre per quin equip fitxar." /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
Te'n recordes de quan Llorente no sabia què fer, si fitxar pel Tottenham Hotspur o per l'Aston Villa? El vam veure fa un temps, a la nostra història ‘<a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" target="_blank">La difícil decisió de Llorente</a>’.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Ah, sí, ja me'n recordo. En aquell cas el que havia de fer era aplicar la <b>teoria de la parada òptima</b>, oi?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Així és. El primer que ha de fer Laudrup és pensar quant vol guanyar per entrenar la temporada que ve, i si n’hi ha una oferta que iguali o superi aquesta quantitat, prendre-la, sense pensar que posteriorment pot tenir ofertes millors. I ja que en un principi l'oferta de la Juventus li semblava prou interessant i complia les seves expectatives, sens dubte hauria acceptar-la.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2nIfqJJF86TixEcB-Ydc65vmIBtjg3nx1h5odG7CnKOlLOzSuBD6wItqhhcKsrtG-RBIFQNMoxS3yeaACpiSMGWtLj9iG9eMo3dUNYBI1t2FKs0aJDERZSm2ammAv6vYZbMlk6VEcmPc/s1600/prueba7.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Sembla que finalment Laudrup entrenarà a la Juventus." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2nIfqJJF86TixEcB-Ydc65vmIBtjg3nx1h5odG7CnKOlLOzSuBD6wItqhhcKsrtG-RBIFQNMoxS3yeaACpiSMGWtLj9iG9eMo3dUNYBI1t2FKs0aJDERZSm2ammAv6vYZbMlk6VEcmPc/s1600/prueba7.jpg" height="200" title="Sembla que finalment Laudrup entrenarà a la Juventus." width="167" /></a><span style="color: #134f5c;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Llavors, podem concloure que Laudrup contestarà : Fitxo per la Juventus!</span></div>
<br />
Ho sento, però tampoc serà així.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Com ? Hi ha algun raonament més que se'ns hagi escapat?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sens dubte. Aquest problema que se li ha plantejat a Laudrup té una relació directa amb la teoria de la decisió i la interpretació bayesiana de la probabilitat, i ha estat estudiat des de fa temps per experts en lògica, filosofia, matemàtiques, etc. S'anomena <b><span style="color: red; font-size: large;">la paradoxa dels dos sobres</span></b> o <b>paradoxa del canvi</b>. En aquest enllaç, podràs trobar més informació sobre el tema: <a href="http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2008/v2008n06.pdf" target="_blank">La paradoxa dels dos sobres: models del joc i simulacions</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #134f5c;">Sí, però, al final, què és el que va fer Laudrup? Si no va fitxar pel Real Madrid, i tampoc per la Juve, què és el que va fer?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Efectivament, després de les 2 hores de passeig per la platja, va decidir que en cap dels dos llocs, ni a Madrid ni a Torí, podria veure les <b>magnífiques matinades</b> d'aquesta illa. I va decidir que tampoc tornaria a entrenar al seu equip actual. Es prendria un any sabàtic, descansant en aquest magnífic lloc amb la família.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
I després d'enviar el missatge de resposta al seu representant, va fer el que havia d'haver fet quan va arribar a l'illa: apagar el telèfon.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgsEpA7s8hwWViLCKsS7Z3cj0A0p85Vl9BlLyCjmm7daUTDKI0FtG0B9-1h2Ln6_l1f5HzYtRbV9YB2Q-qUhEkPQtBOj0djeuP67JAfT5qz3N1Z9zoTajzYFthdFT3e0IPkbElTUTgjqY/s1600/sunrise2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Matinada. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgsEpA7s8hwWViLCKsS7Z3cj0A0p85Vl9BlLyCjmm7daUTDKI0FtG0B9-1h2Ln6_l1f5HzYtRbV9YB2Q-qUhEkPQtBOj0djeuP67JAfT5qz3N1Z9zoTajzYFthdFT3e0IPkbElTUTgjqY/s1600/sunrise2.jpg" height="480" title="Matinada. Foto de http://photoxperiences.blogspot.com.es/" width="640" /></a></div>
<br />
<!-- Fin del texto principal -->
<!-- Enlaces a meneame, divoblogger, etc -->
<span style="color: #20124d; display: none; font-family: Verdana, sans-serif;">Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en <a href="http://www.meneame.net/story/sorprendente-caso-coche-extra" target="_blank">menéame</a> y <a href="http://divoblogger.com/story?id=41970" target="_blank">divoblogger</a>. Muchas gracias.</span>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-71366042284501260462013-10-24T13:48:00.000-07:002013-10-27T08:51:00.960-07:00Esmorzar amb Matemàtiques<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com/2013/10/desayuno-con-matematicas_24.html" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" width="60" /></a>
<a href="http://mathsball.blogspot.com/2013/10/breakfast-at-les-deux-magots.html" style="float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" width="60" /></a>
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
PRIMERA PART</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkGRlK66WqBGQzM8etbUepmyCoOtkWrv6taXy7DIMbl3OEB0QabpnN9ZPC2qCj25Et-Wna8d9cMcD7C3Dcag347zzUKSZ6ujSkl9aqm7O0QwHf8_WBIppfCQOyv7-JyarpRJ8iBAspCVc/s1600/ibratriste.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Zlatan Ibrahimovic intrigat per la paradoxa de l’amistat" border="0" height="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkGRlK66WqBGQzM8etbUepmyCoOtkWrv6taXy7DIMbl3OEB0QabpnN9ZPC2qCj25Et-Wna8d9cMcD7C3Dcag347zzUKSZ6ujSkl9aqm7O0QwHf8_WBIppfCQOyv7-JyarpRJ8iBAspCVc/s320/ibratriste.jpg" title="Zlatan Ibrahimovic intrigat per la paradoxa de l’amistat" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Zlatan Ibrahimovic </b>està trist, molt trist. Això és perquè creu que té pocs <b>amics </b>al seu equip. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Quan fa un repàs als seus companys d'equip, se n’adona que gairebé tots els seus amics tenen més amics que ell. I no només als entrenaments o al vestuari, sinó que també tenen més seguidors i amics a les xarxes socials ( Facebook, Twitter, Linkedin, Google+ ... ). </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2pP7EGP9CHrEfxipqyOy4WeDGm-XbEqJm75mL4tPWyUy-KLuoSuR67NzqYXVsh8LeX1YyQmEjMPeCCLa2ve3sUSXo1pohY_f3WuEUDUCijGJPa7IyeXFvor5RUiFUzobjnTaBhGQJXDo/s1600/desayunofrances2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Magnífic esmorzar continental." border="0" height="134" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2pP7EGP9CHrEfxipqyOy4WeDGm-XbEqJm75mL4tPWyUy-KLuoSuR67NzqYXVsh8LeX1YyQmEjMPeCCLa2ve3sUSXo1pohY_f3WuEUDUCijGJPa7IyeXFvor5RUiFUzobjnTaBhGQJXDo/s200/desayunofrances2.jpg" title="Magnífic esmorzar continental." width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4WyhyphenhyphenPyzgH2PAQeH0gsxA4ijrsDclqIiAmlxwyw_XnzRHVwvEo3VlexCZ8_aPXSPniI6hyS4J4NUG-4nUV4ubZX2m1xMgQp42jvLDQcd-WPJjKMSug8Lpc_clFSCf5iOmbcmTUNlqBus/s1600/redessociales.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 0em;"></a>S'ha fet el ferm propòsit de canviar aquesta situació al llarg d’aquesta temporada, així que busca algú qui li aconselli sobre què ha de fer per a aconseguir més amistats. Així que queda amb el seu company <b>Thiago Silva</b> per esmorzar a <i>Les Deux Magots</i> i parlar sobre el tema.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMZ9aByGEpgm3WCstPqt-SSwxn-CpEne4NmZSGudo5ud43qHFvv-kzwDHizUFHjDOVMpOlEvtZ5pMRT8FLnb_WK3Wez3ll_6isubMfRIc_ojWa3wgWWWMT942yYTz-c4v6n8rdPspMRoM/s1600/leseeuxmagots.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Restaurant Les Deux Magots, a París." border="0" height="132" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMZ9aByGEpgm3WCstPqt-SSwxn-CpEne4NmZSGudo5ud43qHFvv-kzwDHizUFHjDOVMpOlEvtZ5pMRT8FLnb_WK3Wez3ll_6isubMfRIc_ojWa3wgWWWMT942yYTz-c4v6n8rdPspMRoM/s200/leseeuxmagots.jpg" title="Restaurant Les Deux Magots, a París." width="200" /></a>Fa un dia esplèndid a París, i ambdòs s’hi asseuen a la terraça per prendre un magnífic <b>esmorzar</b>. Zlatan li <b>planteja el problema</b> a Thiago:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">Els meus amics són molt més populars que jo. M'he adonat de que tenen més amics, i m'agradaria fer quelcom per tenir tantes amistats com ells.</span><span style="color: #990000;"> </span></div>
<div>
<br /></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2pP7EGP9CHrEfxipqyOy4WeDGm-XbEqJm75mL4tPWyUy-KLuoSuR67NzqYXVsh8LeX1YyQmEjMPeCCLa2ve3sUSXo1pohY_f3WuEUDUCijGJPa7IyeXFvor5RUiFUzobjnTaBhGQJXDo/s1600/desayunofrances2.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><br /></a><span style="text-align: justify;">Thiago li respon de la següent manera:</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">No hauries de preocupar-te’n pel que em dius. És una cosa molt habitual, que no té res a veure amb tu. Es tracta d'un <b>problema </b>estrictament <b>matemàtic</b>. </span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Creus tu també que la culpa és de les matemàtiques? Pensa-ho un moment, i passa a veure la solució a la segona part.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="rojo negrita">
SEGONA PART</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKWt1P8D8aY7wPZ8h4FcDzgR72e_4EH4eV_Pt0YKwJNGQ9lfroBLmKqwVyJXhV0LRDLxl-DHGySbhmTo3iIWsCIRy19HyQfRCLXyLSXVlOP-2_m2Z09BYfY8TeQsIfay-6HMMutqPMFw/s1600/thiago2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Thiago Silva a punt d’explicar-li a Ibra la paradoxa de l’amistat." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKWt1P8D8aY7wPZ8h4FcDzgR72e_4EH4eV_Pt0YKwJNGQ9lfroBLmKqwVyJXhV0LRDLxl-DHGySbhmTo3iIWsCIRy19HyQfRCLXyLSXVlOP-2_m2Z09BYfY8TeQsIfay-6HMMutqPMFw/s1600/thiago2.jpg" title="Thiago Silva a punt d’explicar-li a Ibra la paradoxa de l’amistat." /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Doncs, com bé diu Thiago, es tracta d'un simple <b>problema matemàtic</b>, i no d'una altra índole. Vegem com s’ho explica Thiago a Ibra:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Coneixes la <b>paradoxa de l'amistat</b>? Segons aquesta, ho més probable és que els teus amics tinguin més amics que tu...</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">Bé, algun cop he sentit que les persones normalment tendim a fer-nos amics d'aquelles persones que tenen molts amics, i en menor mesura de les que tenen pocs amics...
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Sí, això ho va dir el psicòleg Satoshi Kanazawa: la gent sol establir amistat més freqüentment amb persones que tenen molts amics que amb aquelles altres que tenen pocs. Encara que no es tracta d'això exactament, sinó que més aviat hauriem de fixar-nos en els estudis del sociòleg Feld. </span></div>
<br />
<span style="color: #660000;">És aquest Feld qui va descobrir la paradoxa de l'amistat?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Sí. En realitat, la paradoxa de l'amistat de Feld és una propietat de la Teoria de Grafs, per la qual s'estableix que és molt probable que els nostres amics tinguin més amics dels que tenim nosaltres...</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGXW1erccmNPHNqOH6Km9QU8ytcs-VAknxjjRj8Ko2NB_8VZ9HqK5ux89OfeCidSjcA8pFdikwhCiQagMnwzFuyoSAHanDzjL7cfAqb3owzwGdmliBLP1OKtguatO-W1U3DvYHoCgn7x4/s1600/papeljugadores.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Llista de jugadors que composen l’alineació inicial del Paris Saint Germain." border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGXW1erccmNPHNqOH6Km9QU8ytcs-VAknxjjRj8Ko2NB_8VZ9HqK5ux89OfeCidSjcA8pFdikwhCiQagMnwzFuyoSAHanDzjL7cfAqb3owzwGdmliBLP1OKtguatO-W1U3DvYHoCgn7x4/s320/papeljugadores.jpg" title="Llista de jugadors que composen l’alineació inicial del Paris Saint Germain." width="256" /></a><span style="color: #660000;">Com és això?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Thiago agafa una llibreta i comença a escriure sobre el paper les relacions d'amistat dels components de l’equip.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Anem a veure-ho de forma gràfica. Escriurem en aquest paper els 11 jugadors que normalment són titulars de l'equip (llista de la dreta).</span><br />
<span style="color: #073763;"></span>
<span style="color: #073763;">Ara anem a representar gràficament les relaciones d’amistat entre ells. Als <b>jugadors </b>els hi identificarem amb un <b>cercle blau</b> (vèrtexs), i ficarem dins del cercle el nombre del seu dorsal. Els que siguin <b>amics</b>, els unirem mitjançant una <b>línia vermella</b> (arestes).</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">I al costat de cada jugador contarem el <b>nombre d'amics</b> que té (línies vermelles) i l'escriurem en color <b>lila</b>. D'aquesta forma podem veure gràficament totes les relacions d'amistat existents a l'equip. </span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Com pots veure, tú ets el cercle blau amb el nombre 10 dins d’ell. De ti parteixen 3 línies vermelles cap als teus 3 amics: Pastore (27), Lucas (29) i Lavezzi (22). I per això he escrit un <b>3 </b>de color lila al costat del teu cercle, perquè tens 3 amics.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEbYLGqWXwLsDQ_YDNAKxPpJWIFphOnh9_8-uBlFWiABmfFuCTReU9gOT85OIJ85FExT5eBgr9JbWC_6iFWiJmQXnWxajO5r8e47vTRMm72oqJJLDBr9FaRlDIcoYuN5V63JbFjr_cFHg/s1600/grafodeamistades.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Graf de relacions d’amistat entre els jugadors de l’equip." border="0" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEbYLGqWXwLsDQ_YDNAKxPpJWIFphOnh9_8-uBlFWiABmfFuCTReU9gOT85OIJ85FExT5eBgr9JbWC_6iFWiJmQXnWxajO5r8e47vTRMm72oqJJLDBr9FaRlDIcoYuN5V63JbFjr_cFHg/s400/grafodeamistades.gif" title="Graf de relacions d’amistat entre els jugadors de l’equip." width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div style="color: #073763; text-align: justify;">
Ara, a partir d’aquest gràfic anem a confeccionar una taula, de la següent forma. A la línia corresponent a cada jugador apuntarem, a les caselles on es creua la seva fila amb les columnes dels seus amics, el nombre d’amics que tenen aquests. A la taula de la dreta, a la primera columna hi ficarem el total d’amics (relacions o línies vermelles) que té cada jugador. A la segona columna sumarem tots els amics dels seus amics. I a la tercera columna calcularem la mitjana dels amics dels seus amics, dividint la suma dels amics dels amics entre el nombre d’amics.</div>
<br />
<span style="color: #073763; text-align: justify;"></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCA3XhgP7NfKp8CDDl0rI936Y8SFMM_zbk7CUUDLlpo8Jm15BZhT7ypuNQH47a1_Wd59TojTGwayyQeeuE6jeXIWTxuz_HBLADkaDawPxnyfmUZfKT6aiBbOVs7SfS9KVrSLSze8DyLnk/s1600/11jugadors.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Taula de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." border="0" height="328" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCA3XhgP7NfKp8CDDl0rI936Y8SFMM_zbk7CUUDLlpo8Jm15BZhT7ypuNQH47a1_Wd59TojTGwayyQeeuE6jeXIWTxuz_HBLADkaDawPxnyfmUZfKT6aiBbOVs7SfS9KVrSLSze8DyLnk/s640/11jugadors.JPG" title="Taula de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="text-align: justify;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Anem-hi primerament amb tu, <b>Ibra</b>, que ets el <b>nombre 10</b>. Fixa't en la fila del 10: tens <span class="unidas">3 amics</span>, que són Lavezzi (22), Lucas (29) i Pastore (27). Lavezzi (22) té <span class="unidas">3 amics</span>, així que hem col·locat un 3 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la columna 22. Lucas (29) té <span class="unidas">7 amics</span>, així que escribim un 7 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la seva columna 29. I Pastore (27) té <span class="unidas">2 amics</span>, així que hem escrit un 2 a la casella corresponent.</span></div>
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Doncs així procedirem amb tots els jugadores, i veiem què és el que passa a la taula de la dreta.</span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;"></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Si ens fixem en quants jugadors tenen més amics que la mitjana dels seus amics, veiem <b>en color vermell</b> que, sorprenentment, <b>tan sols </b>hi han <b>3 </b>jugadors (23, 2 i 29) que tenen <b>més amics que la mitjana dels seus amics</b> (el nombre de la primera columna és major que el de la tercera), i els <b>8 restants</b> tenen <b>menys amics</b> que la mitjana dels seus amics. I com podem comprovar, la mitjana total d’amics </span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #073763;"><span style="font-size: large;">42 / 11 = 3,82 </span></span></div>
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">és prou inferior que la mitjana total dels amics dels amics:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #073763; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #073763; font-size: large;">182 / 42 = 4,33</span></div>
</div>
<br />
<span style="color: #660000;">I per què passa això?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Això té alguna cosa a veure amb les propietats de la <b>mitjana geomètrica</b> i de la <b>variància estadística</b>. Agafarem un altre paper, i ens hi centrarem tan sols en les relacions d'amistat que tenen entre els 4 defenses.</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWLjSwZTw9V2cxZL2LmWpMRE2pb70coDLxuIGqIGyqbCfouBkYL9sBK82Fc7u0AZkVQnyNgbYdr58B0Xo7TMAusMsUJlN2a02G03ycEQhu233wdKl5hn-Zvbq5CHWvzpn7TPiEjnjthyphenhyphenE/s1600/grafodefensas.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Graf de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." border="0" height="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWLjSwZTw9V2cxZL2LmWpMRE2pb70coDLxuIGqIGyqbCfouBkYL9sBK82Fc7u0AZkVQnyNgbYdr58B0Xo7TMAusMsUJlN2a02G03ycEQhu233wdKl5hn-Zvbq5CHWvzpn7TPiEjnjthyphenhyphenE/s320/grafodefensas.gif" title="Graf de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Veiem que Van der Wiel (23) té 2 amics, Jallet (26) té 2 amics, Maxwell (17) té solamente 1 amic, i jo, Thiago (2), tinc 3 amics.</span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Calculem la mitjana d'amics que tenen els defenses: <span style="font-size: large;">(3+2+2+1)/4 = 2</span>. Comprobem que els defenses en general tenen <b>2 amics de mitjana</b> cadascú d'ells.</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoztWRh_hH6bo7TekR7mVC4K8bFOyPw9svi2TH7Yt585eAtfmKTsXn_2A8aPYgpYLRG18h_VmczRuQ2lNUJGS4ZyDrJl6ajARg_GhgeehJZ_mK-Vr8KZ_U9S9i5j8vqR727qzP3nJQdWY/s1600/4jugadors.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Taula de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." border="0" height="187" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoztWRh_hH6bo7TekR7mVC4K8bFOyPw9svi2TH7Yt585eAtfmKTsXn_2A8aPYgpYLRG18h_VmczRuQ2lNUJGS4ZyDrJl6ajARg_GhgeehJZ_mK-Vr8KZ_U9S9i5j8vqR727qzP3nJQdWY/s400/4jugadors.JPG" title="Taula de relacions d’amistat entre els defenses de l’equip." width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Ara anem a calcular la mitjana d'amics dels amics que tenen els defenses. Van der Wiel (23) té 2 amics, que tenen <span style="font-size: large;">2</span> i <span style="font-size: large;">3</span> amics, respectivament. Jallet (26) té dos amics, els quals tenen <span style="font-size: large;">2</span> i <span style="font-size: large;">3</span> amics. Maxwell (17) té un amic, qui té <span style="font-size: large;">3</span> amics. I jo (2) tinc tres amics, amb <span style="font-size: large;">2</span>, <span style="font-size: large;">2</span> i <span style="font-size: large;">1</span> amic, respectivament.</span></div>
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Així, tenim les dades següents:</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3. </span></div>
</div>
<br />
<span style="color: #073763;">Les reordenem així:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1</span></div>
<br />
<span style="color: #073763;">I calculem la mitjana:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;">(3+3+3 + 2+2 + 2+2 + 1) / 8 = </span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;">(3·3 + 2·2 + 2·2 + 1·1) / 8 =</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;">(3<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup>) / 8 = </span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;">2,25</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Veiem com també, de forma aparentment sorprenent, <b>la mitjana d'amics dels amics</b> dels defenses és <b><span style="font-size: large;">2,25</span></b>, superior a la <b>mitjana d'amics</b> dels defenses que vam calcular abans, i que donava <b><span style="font-size: large;">2</span></b>.</span></div>
<br />
<span style="color: #660000;">Doncs és veritat. I això passa sempre?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Sí, sempre. Llevat que tots tinguin el mateix nombre d'amics. En aquest cas les dues mitjanes són iguals.</span></div>
<br />
<span style="color: #660000;">I per què passa això?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Suposo que t’has adonat, quan he calculat la mitjana d'amics dels amics, de que he reordenat d’una forma especial les dades que teniem.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;">2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3</span><span style="font-size: x-large;"> → </span><span style="font-size: x-large;">3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1</span></div>
</div>
<br />
<span style="color: #660000;">Sí, m'he fixat. Per què ho has fet ?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Ho he fet perquè veiessis el següent: les persones que tenen molts amics les incorporem dins de la suma moltes vegades, de fet, tantes vegades com amics tenen (3 cops el nombre 3), mentre que les persones que tenen pocs amics les hi incloem en menor mesura (1 vegada el nombre 1). Això vol dir que dins de la mitjana, tenen més pes aquelles persones que tenen més amics</span> <span style="font-size: large;">(</span><span style="font-size: x-large;">3+3+3</span><span style="font-size: large;">+2+2+2+2</span><span style="font-size: x-small;">+</span>1<span style="font-size: large;">)</span><span style="color: #073763;">, i per això puja la mitjana global.</span></div>
<span style="text-align: justify;"><span style="color: #073763;"><br /></span></span><span style="text-align: justify;"><span style="color: #073763;">Però, a la mitjana dels amics, només les hi sumem una vegada </span> </span><span style="font-size: large; text-align: justify;">(3+2+2+1)</span><span style="text-align: justify;"><span style="color: #073763;">, és a dir, tenen el mateix pes tan qui té molts amics com qui té pocs.</span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">Ara ja ho entenc, però no acabo de veure que una mitjana hagi de ser més gran que l'altra per aquest motiu.</span></div>
<br />
<span style="color: #073763;">Bé, doncs anem-hi llavors a la <b>demostració matemàtica</b>.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: #073763;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Anomenem <b><span style="font-size: large;">x<sub>i</sub></span> </b>al nombre d'amics del jugador <i><b><span style="font-size: large;">i</span></b></i>, i <b><span style="font-size: large;"><i>μ</i></span> </b>a la mitjana d'amics dels <b><span style="font-size: large;">n</span> </b>jugadors de l'equip, que serà igual a:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeO3XQMzfBwNOx7K4EQGctUYSx-_vZ0J09xv1WMg7u9gIOSHFIZmiBxFM2agdsPbzHE3SzE2oAMCirHvJQ-QpsJ06oWHLX77slgP9rQ2MoZMO1sPr16-eZfyYv8jjSJ0dzF42k0ne8EN4/s1600/formula105.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Fórmula de la mitjana aritmètica." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeO3XQMzfBwNOx7K4EQGctUYSx-_vZ0J09xv1WMg7u9gIOSHFIZmiBxFM2agdsPbzHE3SzE2oAMCirHvJQ-QpsJ06oWHLX77slgP9rQ2MoZMO1sPr16-eZfyYv8jjSJ0dzF42k0ne8EN4/s1600/formula105.gif" title="Fórmula de la mitjana aritmètica." /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Ara anem a veure com calculem la mitjana dels amics dels jugadors. Ja hem vist a l'exemple dels defenses a què correspon la suma dels amics dels amics, concretament a <span style="font-size: large;">∑(x<sub>i</sub><sup>2</sup>)</span>, i que el nombre total d'amistats entre ells és <span style="font-size: large;">∑x<sub>i</sub></span>. Pel qual la mitjana dels amics dels amics, què anomenarem <i style="font-size: x-large;"><b>μ'</b></i> serà:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio4deHAmsTP_lqUqlBpZJxD8Ch34tjJT4DCwpX7qYOKELgAQyhyphenhyphenyonrmJVm1gOzGOmiA-95pL2gjTOIf3vcOrKE2KKHvWNLNuZ2Ip6XBEOq3yJ1RVsIh4QoF_hW4BIS0HHY9ry0qpB4vY/s1600/formula106.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Fórmula de la mitjana aritmètica dels amics dels amics." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio4deHAmsTP_lqUqlBpZJxD8Ch34tjJT4DCwpX7qYOKELgAQyhyphenhyphenyonrmJVm1gOzGOmiA-95pL2gjTOIf3vcOrKE2KKHvWNLNuZ2Ip6XBEOq3yJ1RVsIh4QoF_hW4BIS0HHY9ry0qpB4vY/s1600/formula106.gif" title="Fórmula de la mitjana aritmètica dels amics dels amics." /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="color: #073763;">Ens resta per esbrinar si <b><i style="font-size: x-large;">μ</i> </b>es major, menor o igual que <i style="font-size: x-large;"><b>μ'</b></i>.</span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Per això utilitzarem la fórmula de la variància estadística (<span style="font-size: large;"><i>σ<sup>2</sup></i></span>). Sabem que:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-5TlD6EKDTce_C_35n1A3wit4HFP1P-OZSM_F4ZHnYzauZ6Vng9RrKszI-C3756EVQco6DKHdolVRyKZAPY-lXdwjSccl0I6tqzKNjHdrcVngKBY2BM0smWXBiYX840LCPoq0oUoSpLY/s1600/formula107.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Fórmula de la variància estadística." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-5TlD6EKDTce_C_35n1A3wit4HFP1P-OZSM_F4ZHnYzauZ6Vng9RrKszI-C3756EVQco6DKHdolVRyKZAPY-lXdwjSccl0I6tqzKNjHdrcVngKBY2BM0smWXBiYX840LCPoq0oUoSpLY/s1600/formula107.gif" title="Fórmula de la variància estadística." /></a></div>
<span style="color: #073763;">D'aquí es dedueix que:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg32LAKxDsptLJ8jzH7mCydJmo8utp8WKW99_jA8y8oqcw3pN1NKoOSKQHimRP4D0tqnSUpWd_YHA0yvAO14ywcSS0tDSKalaZN_cyIiZEoQv1H7ikg3jBX7hRlj7l6Ya59lZy7wV7hhhw/s1600/formula102.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg32LAKxDsptLJ8jzH7mCydJmo8utp8WKW99_jA8y8oqcw3pN1NKoOSKQHimRP4D0tqnSUpWd_YHA0yvAO14ywcSS0tDSKalaZN_cyIiZEoQv1H7ikg3jBX7hRlj7l6Ya59lZy7wV7hhhw/s1600/formula102.gif" title="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." /></a></div>
<span style="color: #073763;">Dividim per <span style="font-size: large;">∑(x<sub>i</sub>)</span> ambdòs termes i ens resta:</span><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3Ou9EVFNzprELpGWYDkMwWyWSHaA_RchEoUHpXmb-zxW4nZn_RYG_H-G3xiXWVirPyEy28aWys5D4j8S7LVjZqZjUCB-A0V12y7HcICI5Zf7zxknAazG_uXzPZRq5_2wESir1z3l6iQM/s1600/formula101.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." border="0" height="91" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3Ou9EVFNzprELpGWYDkMwWyWSHaA_RchEoUHpXmb-zxW4nZn_RYG_H-G3xiXWVirPyEy28aWys5D4j8S7LVjZqZjUCB-A0V12y7HcICI5Zf7zxknAazG_uXzPZRq5_2wESir1z3l6iQM/s640/formula101.gif" title="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." width="640" /></a><br />
<span style="color: #073763;">Així que:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYAWAjaki9A8daH9J0ETj2FYhWgEFKGGxzm-O1Wa5hUbjsQX2-DMnsHRTJ-UcVpgYbn1UmG833gtwKrjagSgJmlWQDb4eF4GVVkCqna13nwQw6Z7dCPCXtYfsJqQ2R8Mzb-98TxZLFDJQ/s1600/formula103.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYAWAjaki9A8daH9J0ETj2FYhWgEFKGGxzm-O1Wa5hUbjsQX2-DMnsHRTJ-UcVpgYbn1UmG833gtwKrjagSgJmlWQDb4eF4GVVkCqna13nwQw6Z7dCPCXtYfsJqQ2R8Mzb-98TxZLFDJQ/s1600/formula103.gif" title="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">O el que és el mateix: <b><i style="font-size: x-large;">μ'</i> = <i style="font-size: x-large;">μ</i></b> + un valor que ha de ser major o igual que zero, ja que la variància estadística és sempre positiva, tal com ho és la mitjana d’amics.</span></div>
<span style="color: #073763;"></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Per tant, en un grup<b> la mitjana dels amics dels amics sempre serà major o igual que la mitjana dels amics</b>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgpjpNCOOLe72AMO5-4HLixsjX4c2ifeFng045w1SBcfgtsuyHavPRpWHi6cSd4HMRT2oyLG-Apc1LOeX76wycP2F8vhlgfbIXLCQftfzIlTS69QHL1VsVTlu39vlCnphFFgMWOBIbzpQ/s1600/formula108.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgpjpNCOOLe72AMO5-4HLixsjX4c2ifeFng045w1SBcfgtsuyHavPRpWHi6cSd4HMRT2oyLG-Apc1LOeX76wycP2F8vhlgfbIXLCQftfzIlTS69QHL1VsVTlu39vlCnphFFgMWOBIbzpQ/s1600/formula108.gif" title="Comparació matemàtica entre la mitjana dels amics i la mitjana dels amics dels amics." /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">Bé, amb aquesta <b>explicació matemàtica</b> definitivament m'has convençut. I tots aquests estudis serveixen per a alguna cosa més que perquè la gent no es deprimeixi per tenir menys amics que els seus amics?</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Bé, això té múltiples aplicacions en molts altres àmbits de la vida... </span><span style="color: #073763;">Per exemple, s'utilitza pel </span><b style="color: #073763;">control de malalties</b><span style="color: #073763;">. Així, a nosaltres ens fan de forma periòdica controls de sang per saber si tenim alguna malaltia contagiosa. Per això, tots els mesos el club tria 5 jugadors a l’atzar i els realitza l’analisi. Veritat que ara pots imaginar una forma millor de fer aquests controls?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="color: #073763;">
<br /></div>
<span style="color: #660000;">Crec que sí...</span><br />
<div style="color: #073763;">
<br /></div>
<div style="color: #073763;">
Doncs és cert, haurien de triar 5 jugadors a l’atzar, i que aquests els indiquessin el nombre dels seus amics. Com aquests amics segur que tenen una mitjana d'amics superior a la dels triats inicialment, també tindran una probabilitat molt més gran de ser infectats, ja que al tenir més amistats estan més exposats al contagi. D'aquesta manera aconseguim una mostra de jugadors més significativa que si la seleccionem a l'atzar.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">Justament això és el que estaba pensant. </span><br />
<br /></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFINdZpCUOClHCxOlcKYUq438LnyxoA48Q_pzKe5B8BqNQxw0nIcnaMXcfJgXXaHXXzA-ReDzKRbbkuIO_jmmYmF16-B03nfYgfvHjWG22-9pV_JCqz4g9FCEgTOO_QSIP0DFQWx6ow3E/s1600/gimnasio1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">t<img alt="Gimnàs." border="0" height="132" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFINdZpCUOClHCxOlcKYUq438LnyxoA48Q_pzKe5B8BqNQxw0nIcnaMXcfJgXXaHXXzA-ReDzKRbbkuIO_jmmYmF16-B03nfYgfvHjWG22-9pV_JCqz4g9FCEgTOO_QSIP0DFQWx6ow3E/s200/gimnasio1.jpg" title="Gimnàs." width="200" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Així és como es fan certs controls sanitaris en col·legis, hospitals, residències de majors, etc. Altra aplicació val també per quan algú vagi a un </span><b style="color: #073763; text-align: justify;">gimnàs </b><span style="color: #073763;">no es desmoralitzi perque vegi que la majoria de la gent està en millor forma que ell... Això, Ibra, no ens passa a nosaltres, oi? En aquest cas el que han de pensar és que, quan fan una ullada a la gent que està al gimnàs, la mostra que estan extraient està esbiaixada, ja que el més probable és que la gent que veuen són aquells que passen més hores allà i que, per tant, estan en millor condició física.</span><br />
<div style="color: #073763;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
<span style="color: #073763;">També podem utilitzar aquest tipus de mostra per altres coses. Donat el cas, és una tècnica prou útil pels nens que <b>col·leccionen </b>cromos de futbolistes como nosaltres. Poden aplicar la paradoxa de l'amistat per completar millor els seus àlbums. Normalment, quan tenen cromos repetits intenten canviar-los entre els seus amics. Però així gairebé mai aconsegueixen completar la seva col·lecció.</span></div>
<div style="color: black; text-align: start;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; color: black; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpgq6D9Wi0WR2iQVP4_C5Zza6s-27qo2SHUgWEZkPw5y9U5DzNUyfRQKjnzMJjWI1T2EzNPUZwCaNmkcbiWWZtcFnOkBGYLYw-6SlKLVmj8qC5rbKHwqiH20k35i2UBG6fPIkC0-jxGc8/s1600/cromos.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Cromos de futbolistes." border="0" height="128" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpgq6D9Wi0WR2iQVP4_C5Zza6s-27qo2SHUgWEZkPw5y9U5DzNUyfRQKjnzMJjWI1T2EzNPUZwCaNmkcbiWWZtcFnOkBGYLYw-6SlKLVmj8qC5rbKHwqiH20k35i2UBG6fPIkC0-jxGc8/s640/cromos.gif" title="Cromos de futbolistes." width="640" /></a></div>
<div style="color: black; text-align: start;">
<br /></div>
<div style="color: black; text-align: start;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihTOPb8S7ymk9h_h7Qsi4uAGQjI_50RTJMVdOD_gAmMsrowVu3_3z1FT9foKMpLGQivirw6LOeinxcvzxrKRPfjmtl4q1fzYanP9xQH2NKV0c5_e8LfisEYB7B94FWG_-2_MYWXTzMW6w/s1600/intercambiodecromos.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Canviant cromos de futbolistes." border="0" height="133" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihTOPb8S7ymk9h_h7Qsi4uAGQjI_50RTJMVdOD_gAmMsrowVu3_3z1FT9foKMpLGQivirw6LOeinxcvzxrKRPfjmtl4q1fzYanP9xQH2NKV0c5_e8LfisEYB7B94FWG_-2_MYWXTzMW6w/s320/intercambiodecromos.JPG" title="Canviant cromos de futbolistes." width="320" /></a><span style="color: #073763;">És millor que al pati s'acostin a uns quants nens triats a l'atzar i els demanin que els presentin als seus amics, perquè així aconseguiran intercanviar els seus cromos amb els nens més populars del col·legi que, com tenen més amics, també tenen més possibilitats de tenir aquests cromos que els manquen. Encara que hauran de tenir molt de compte per que no els hi contagiïn qualsevulla malaltia...</span><br />
<div>
<span style="color: #073763;"><br /></span></div>
</div>
<div style="color: #073763;">
Y així pots entendre también per què quan anem de vacances a la platja, ens trobem que normalment són prou abarrotades. On són aquestes platges paradisíaques i desertes que apareixen als catàlegs de viatges? Un cop més, hi han moltes probabilitats de que la playa a la què hi anem sigui plena de gent, i molt poques de que sigui pràcticamente deserta, degut a aquesta paradoxa.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="color: #660000;">Llavors, no m'he de preocupar per tenir tan pocs amics, oi?</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">En absolut. Ja veus que passa a tot arreu. No només al Paris Saint Germain, ans a tots els equips: al Real Madrid, <span class="unidas">AC Milà</span>, Manchester United, <span class="unidas">L.A. Galaxy</span>, Santos, <span class="unidas">FC Barcelona</span>... I li passa a gairebé tots els jugadors: Cristiano Ronaldo, Neymar, Falcao, Messi...</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #660000;">De veritat? </span>-pregunta Ibra esbossant un tímid somriure-. <span style="color: #660000;">Crec que després d'aquestes explicacions, i veient que se'ns ha fet molt tard, bé mereix que et convidi a un bon menjar a un restaurant que conec...</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #073763;">Sí, però abans apunta aquests enllaços, per si ets interessat en conèixer més sobre el tema de la <b>paradoxa de l'amistat</b>: </span><a href="http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1828/yo-quiero-tener-42-amigos" target="_blank">'Yo quiero tener 42 amigos' de Clara Grima y Raquel García</a>, o <a href="http://www.ciencia-explicada.com/2011/12/la-paradoja-matematica-de-forever-alone.html" target="_blank">'La paradoja matemática de forever alone' de Ciencia Explicada</a>.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw9SLMav4KbbmMUPd_fmLLfrnTS5uQYzNaC5dnDZbOyZpxPeobEdUs8cr6jcczoHBum5xWuSVTRA0sctroUN6kuCKxJgC8oZMpSqVkQHPN7XusbQlzYPJXVW7vsf0aWjAfDg9OIDG8b-0/s1600/restaurantecena1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Restaurant a París." border="0" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw9SLMav4KbbmMUPd_fmLLfrnTS5uQYzNaC5dnDZbOyZpxPeobEdUs8cr6jcczoHBum5xWuSVTRA0sctroUN6kuCKxJgC8oZMpSqVkQHPN7XusbQlzYPJXVW7vsf0aWjAfDg9OIDG8b-0/s640/restaurantecena1.jpg" title="Restaurant a París." width="640" /></a></div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-18972099389805970102013-09-02T08:42:00.000-07:002013-09-03T07:30:49.027-07:00Ramats de cabres i decisions de grup<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com.es/2013/09/rebanos-de-cabras-y-decisiones-de-grupo.html" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" width="60" /></a>
<a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2013/09/herds-of-goats-and-group-decisions.html" style="float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" width="60" /></a>
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
PRIMERA PART</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgam2vMJI8DEKPxLWKwRA39GYk4k-VMAm5OBeBBB20vkSvNcm9-xo6oGWPjUUvr6a5p0fMi_Zmr_f_mwGpeq3ja_rxHwjGiBpdxGzsf0JAylWtL7YagPwYR6nCZjI1o19pBiNb9FIJXwYo/s1600/cabra1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Cabra feliç desprès de menjar-se'n tota la gespa del camp de futbol" border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgam2vMJI8DEKPxLWKwRA39GYk4k-VMAm5OBeBBB20vkSvNcm9-xo6oGWPjUUvr6a5p0fMi_Zmr_f_mwGpeq3ja_rxHwjGiBpdxGzsf0JAylWtL7YagPwYR6nCZjI1o19pBiNb9FIJXwYo/s1600/cabra1.jpg" width="400" title="Cabra feliç desprès de menjar-se'n tota la gespa del camp de futbol" /></a>
<span class="negrita">Reunió d'urgència</span> a can <span class="rojo"> Barça</span>.</p>
<p>El passat dissabte unes <span class="pino negrita">cabres salvatges</span> van entrar als <span class="negrita">camps d'entrenament</span>, i s'hi van menjar tota la gespa dels terrenys de joc.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbc_GDFkrihAD9p-C7vtIyaK1CAveidgNoVtAk6BNqcunUe4-ubV5hNCCXjtDrU28WSCvO6LccjK3cDcoFLBA6bO-Cy-KXinsPktBKi-kZqkw1YmB4mioVu8Ohbq7AXK0IkjaDyt3RL7U/s1600/rebanyo1.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;">
<img alt="Ramat de cabres menjant-se'n la gespa dels camps de futbol" border="0" height="265" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbc_GDFkrihAD9p-C7vtIyaK1CAveidgNoVtAk6BNqcunUe4-ubV5hNCCXjtDrU28WSCvO6LccjK3cDcoFLBA6bO-Cy-KXinsPktBKi-kZqkw1YmB4mioVu8Ohbq7AXK0IkjaDyt3RL7U/s1600/rebanyo1.jpg" title="Ramat de cabres menjant-se'n la gespa dels camps de futbol" width="320" /></a>
Resta una setmana per què comenci la <span class="marron">Lliga</span>, i l'equip no té cap lloc on entrenar-s’hi.</p>
<p>Així que es reuneixen el <span class="marino negrita">president</span>, <span class="marino">Sandro Rossell</span>, el <span class="verde negrita">director esportiu</span>, <span class="verde">Andoni Zubizarreta</span>, el <span class="violeta negrita">preparador físic</span>, <span class="violeta">Alvio Paolorosso</span>, i l'<span class="burdeos negrita">entrenador</span>, el <span class="burdeos">Tata Martino</span>.</p>
<p>Han de decidir <span class="negrita">on</span> s’entrenaran durant tota aquesta setmana.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPq9cDPlIIEenQFdmzMlchXqt2RgiRKEBJ4ip5QsyjvtJn140v8BBjvlg8dcwZsqMbDg9i-qCDLzbOSdkxm9EkqWKk_1vLYD3gMJorHFxaNK2DdmrrWvHvzsJX1AL3_HW0hbnSJdBjUao/s1600/rossell1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="President del FC Barcelona, Sandro Rossell" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPq9cDPlIIEenQFdmzMlchXqt2RgiRKEBJ4ip5QsyjvtJn140v8BBjvlg8dcwZsqMbDg9i-qCDLzbOSdkxm9EkqWKk_1vLYD3gMJorHFxaNK2DdmrrWvHvzsJX1AL3_HW0hbnSJdBjUao/s1600/rossell1.jpg" title="President del FC Barcelona, Sandro Rossell" /></a>
El <span class="marino">president</span> decideix proposar una idea:</p>
<p><span class="marino">- Per què no fem una <span class="negrita">concentració</span> d'una setmana a <span class="azul negrita">Andorra</span>? </span></p>
<p>Al <span class="verde">director esportiu</span> li sembla una bona idea. </p>
<p>El <span class="violeta">preparador físic</span> creu que és una bona decisió. </p>
<p>I l'<span class="burdeos">entrenador</span>, donat que a tothom li sembla positiva la idea d'entrenar a <span class="azul negrita">Andorra</span>, tampoc hi posa objeccions. </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKlUx3YhK1EUE2beFhdyBCJRr8zJhH-QW_BDfaVbDr4zg3U9B1ebEiju3Db7MgBY94fv2TXkDypzOssY00FFa_uMxvUCabE_Y2LxaAjyxpFOgTT_pYJaVXbknQmDyNszYCP0mX5HiPt9c/s1600/zubizarreta1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Andoni Zubizarreta, director esportiu del FC Barcelona" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKlUx3YhK1EUE2beFhdyBCJRr8zJhH-QW_BDfaVbDr4zg3U9B1ebEiju3Db7MgBY94fv2TXkDypzOssY00FFa_uMxvUCabE_Y2LxaAjyxpFOgTT_pYJaVXbknQmDyNszYCP0mX5HiPt9c/s1600/zubizarreta1.jpg" title="Andoni Zubizarreta, director esportiu del FC Barcelona"/></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmFNJ2HiLX6uilZfT3uYaVfnOsQD6-z6pXg4ZG74oI6Qz-jlYv1QEm7efJXyUu_AbPQwNycXIPGPxjaQIoC-sphvTl_DB7tTYM5NT5NE6wnV5iUDcIe3YBfknWwg3v1gPW53t4m9sOlLo/s1600/elvio1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Elvio Paolorosso, preparador físic del FC Barcelona" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmFNJ2HiLX6uilZfT3uYaVfnOsQD6-z6pXg4ZG74oI6Qz-jlYv1QEm7efJXyUu_AbPQwNycXIPGPxjaQIoC-sphvTl_DB7tTYM5NT5NE6wnV5iUDcIe3YBfknWwg3v1gPW53t4m9sOlLo/s1600/elvio1.jpg" title="Elvio Paolorosso, preparador físic del FC Barcelona" /></a>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLYC_OLbB_wmx2boeYaYabq4CF2mfdMP7GZ-oOEQ5U2EoVdcukyZVjWCNAUmJQM3X3UzhIxed3wnnxlzwmOJAkQcK-waEphqf0Q6ACAzYINcZCRRrStc-77nWwJHariglSd6WfZrZ8hYM/s1600/tata1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img border="0" alt="Gerardo 'Tata' Martino, entrenador del FC Barcelona" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLYC_OLbB_wmx2boeYaYabq4CF2mfdMP7GZ-oOEQ5U2EoVdcukyZVjWCNAUmJQM3X3UzhIxed3wnnxlzwmOJAkQcK-waEphqf0Q6ACAzYINcZCRRrStc-77nWwJHariglSd6WfZrZ8hYM/s1600/tata1.jpg" title="Gerardo 'Tata' Martino, entrenador del FC Barcelona"/></a>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p>Així que, per <span class="negrita">unanimitat</span>, decideixen que aquesta setmana el <span class="rojo negrita unidas">FC Barcelona</span> entrenarà a <span class="azul negrita">Andorra</span>.</p>
<p>Tots estan d'acord, però... creus que han pres la <strong>decisió correcta</strong>?</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<p class="rojo negrita">SEGONA PART</p>
<p class="lector">Si tots els participants han expressat allò que realment pensaven que era el millor per a l'equip, la decisió serà correcta, no? </p>
<p>Doncs no, en aquest cas no han adoptat la millor decisió.</p>
<p class="lector">Creus que algun d'ells no s'ha atrevit a dir el que pensava?</p>
<p>No, realment tots han votat per l’opció que creien que era més bona pel club.</p>
<p class="lector">Llavors, tots s'han <span class="negrita">equivocat</span>? Se suposa que si hi són exercint aquests càrrecs, serà perquè tenen una alta capacitat per prendre aquest tipus de decisions de forma correcta, oi?</p>
<p>És cert. Tots ells tenen prou capacitat per a exercir el seu treball. I cap d'ells era equivocat. Malgrat això, entre tots han pres una decisió errònia.</p>
<p class="lector">Com pot ser possible? </p>
<p>Anem a veure què era el que <span class="negrita">pensava</span> cada un d'ells, i què és el que van dir.</p>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4bL_Gild6qZHceGUWV8VqAsC1EGsDAhd-v9sjDC4vY35R9UKG89_axhGljoHpTj5b8ZhgdtTbi9bXp5oz2rf-djloGbgAMqbiFQl9dU4HVQ4h5acSQ-N6WIl-FQMK2kHrApUZ8ta1GRg/s1600/rossellpiensa.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Pensaments del president del FC Barcelona Sandro Rossell" border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4bL_Gild6qZHceGUWV8VqAsC1EGsDAhd-v9sjDC4vY35R9UKG89_axhGljoHpTj5b8ZhgdtTbi9bXp5oz2rf-djloGbgAMqbiFQl9dU4HVQ4h5acSQ-N6WIl-FQMK2kHrApUZ8ta1GRg/s1600/rossellpiensa.gif" title="Pensaments del president del FC Barcelona Sandro Rossell" width="320" /></a>
Comencem pel <span class="marino negrita">president</span>, Sandro Rossell. </p>
<p>Ell pensava que el <span class="verde">director esportiu</span> preferiria allunyar la plantilla dels mitjans periodístics de Barcelona, amb la finalitat de que es preparessin d'una manera més <span class="unidas">tranquil•la</span> per afrontar la nova temporada. I Andorra és un <span class="unidas">excel•lent</span> lloc per aconseguir aquest propòsit. </p>
<p>A més, Sandro creia que el <span class="violeta">preparador físic</span> estaria d'acord a fer una preparació d'una setmana en alçada, ja que això els proporcionaria als jugadors un fons físic superior, amb el qual poder afrontar amb més garanties la temporada. </p>
<p>I pensava que al nou <span class="burdeos">entrenador</span> li vindria de gust que els components de la plantilla estiguessin concentrats una setmana més, ja que hi han hagut diversos canvis de jugadors durant l'estiu, i els hi aniria bé una major compenetració entre tots ells i el nou tècnic. </p>
<p>No obstant, organitzar de manera tan precipitada l'estada fora de Barcelona de tota la plantilla durant una setmana li suposarà nombrosos problemes. Ell, personalment, hagués <span class="negrita">preferit</span> que entrenessin al <span class="negro negrita">Miniestadi</span>, a pocs metres del Camp Nou, però entenia que tots els altres preferirien l'opció d'Andorra, i per això havia suggerit la idea. </p>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjT8D7JZC0unNlk3mE8mebDm7ll3mJ8YxFX_FPbU880d09_GZLXE8NEssMjiUeQM3xxCOAH852PSO0ZNVlOb6tBUAcsszNx_PInI2Ehko2T3wJEdx_4gzhPN2k8t11W3Eww3gROALJ0pGQ/s1600/zubipiensa.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Pensaments del director esportiu del FC Barcelona, Andoni Zubizarreta" border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjT8D7JZC0unNlk3mE8mebDm7ll3mJ8YxFX_FPbU880d09_GZLXE8NEssMjiUeQM3xxCOAH852PSO0ZNVlOb6tBUAcsszNx_PInI2Ehko2T3wJEdx_4gzhPN2k8t11W3Eww3gROALJ0pGQ/s1600/zubipiensa.gif" title="Pensaments del director esportiu del FC Barcelona, Andoni Zubizarreta" width="320" /></a>
Anem a veure què va passar amb Andoni Zubizarreta, <span class="verde">director esportiu</span> del club. </p>
<p>Atès que Rossell ja havia manifestat la seva preferència, Andoni entenia que el <span class="marino">president</span> pensava que l'estada a Andorra podia ser una bon reclam a nivell publicitari pel club. </p>
<p>A més, pensava que el <span class="violeta">preparador físic</span> valoraria positivament el fet de que la plantilla respirés l'aire fresc de la muntanya, i no la pol • lució de la ciutat. </p>
<p>I segur que a l'<span class="burdeos">entrenador</span> li agradaria visitar aquest petit país i passar-hi una setmana, ja que coneixia el seu interès pel turisme de muntanya. </p>
<p>Per tant, Zubizarreta pensava que tots preferirien entrenar a Andorra, i per això va donar-hi el seu vot a favor, tot i que ell particularment pensava que era millor que entrenessin al <span class="negro negrita">Mini Estadi</span>, ja que amb els <span class="negrita">diners</span> que es gastarien a l'estada fora de Barcelona bé podrien haver fitxat el defensa central que necessitaven. </p>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwxEKEESIjoxnM56iyQXDetRtiRWvsZfW2kJb8_UfnVPkOPt8l0qt8D2ng3mfRdYdLlnwEasitG4d9DYVJm7VC2-Zd8aUU6nWRo7DhZ5hHUNyPrYGNGpA4ftwdVvpqAtFqsKF2Ar9f90M/s1600/alviopiensa.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Pensaments del preparador físic del FC Barcelona, Alvio Paolorosso" border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwxEKEESIjoxnM56iyQXDetRtiRWvsZfW2kJb8_UfnVPkOPt8l0qt8D2ng3mfRdYdLlnwEasitG4d9DYVJm7VC2-Zd8aUU6nWRo7DhZ5hHUNyPrYGNGpA4ftwdVvpqAtFqsKF2Ar9f90M/s1600/alviopiensa.gif" title="Pensaments del preparador físic del FC Barcelona, Alvio Paolorosso" width="320" /></a>
Què va passar amb el <span class="violeta">preparador físic</span>, Alvio Paolorosso? </p>
<p>Portava pocs dies al club, pel qual no coneixia una altre lloc on entrenar-hi. De totes maneres, estava clar que anar a Andorra havia de ser una opció molt favorable, ja que tant el <span class="marino">president</span> president com el <span class="verde">director esportiu</span> havien expressat la seva voluntat de que l'equip s'entrenés allà. </p>
<p>A més, segur que a l'<span class="burdeos">entrenador</span> li agradaria allunyar-se del bullici de Barcelona. El Tata Martino havia tingut unes setmanes de molta feina, degut al trasllat de tota la seva família des d’Argentina, i de segur que valoraria positivament uns dies de ‘vacances’ a la muntanya. </p>
<p>Per tot això, també va donar el seu vot a favor d'Andorra. Tanmateix, després de l'esgotadora gira de promoció que havia fet l'equip durant les últimes setmanes per tot el món, pensava que potser seria millor entrenar al nivell del mar, al <span class="negro negrita">Mini Estadi</span>, i no sotmetre a la plantilla a un entrenament en alçada, que podria d'<span class="negrita">esgotar-los</span> definitivament. </p>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBD6olXNqjiRZXd3wgkXr6j29fIot5CFrW3A13Zfxeu2wIyGGfFWnB1v_QPATSJpGjSVRHcN1HxItr6RcvG2ZjiJ0BvUBrT_2WA-z-IfEUWTy2445plj1Zhh59eO4uk3iz7N9JZoo0MCs/s1600/tatapiensa.gif.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="Pensaments de l'entrenador del FC Barcelona, Gerardo Tata Martino" border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBD6olXNqjiRZXd3wgkXr6j29fIot5CFrW3A13Zfxeu2wIyGGfFWnB1v_QPATSJpGjSVRHcN1HxItr6RcvG2ZjiJ0BvUBrT_2WA-z-IfEUWTy2445plj1Zhh59eO4uk3iz7N9JZoo0MCs/s1600/tatapiensa.gif" title="Pensaments de l'entrenador del FC Barcelona, Gerardo Tata Martino" width="320" /></a>
I finalment, vegem el que va pensar l'<span class="burdeos">entrenador</span>, Gerardo 'Tata' Martino.</p>
<p>Era clar que els altres tres preferien anar a Andorra, abans d'entrenar al Miniestadi. </p>
<p>Estava convençut de que el <span class="marino">president</span> tenia al cap la possibilitat de treure una bona rendibilitat a aquesta estada de l'equip a Andorra, i per això havia suggerit aquest destí, i que el <span class="verde">director esportiu</span> creia adient no modificar la planificació d'entrenaments al Mini Estadi de la resta de categories inferiors .</p>
<p>També suposava que al <span class="violeta">preparador físic</span> li agradaria canviar les avorrides sessions d'entrenament al camp de futbol per la realització de divertides rutes d'entrenament per la muntanya. </p>
<p>Gairebé tot això, al Tata Martino, després de diverses setmanes de gira per tot el món, li venia de gust prendre contacte amb un camp ben preparat com el del <span class="negro negrita">Mini Estadi</span>, i no pas amb els <span class="negrita">terrenys de joc</span> d'Andorra, que probablement no estarien en <span class="negrita">perfectes condicions</span>. </p>
<p>Però veient que la resta de persones semblava que preferien l'altra opció, tant pel que havien votat com pel que ell creia que pensaven, va optar per votar-hi en el mateix sentit. </p>
<p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhD91nYCpOslI59YNIODAuK4kF230TDU9ZnfursXU4COM4Wg7lBSN91E0mIG2ySijgt7xC6-qmMgGvC67u15wlqjqWW7IeIDZb0UfdT8Pe7PBW-aA1VA73586xDiPdSLCoswWGS0jY1f68/s1600/miniestadi1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img height="255" alt="Camp Nou i Mini Estadi" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhD91nYCpOslI59YNIODAuK4kF230TDU9ZnfursXU4COM4Wg7lBSN91E0mIG2ySijgt7xC6-qmMgGvC67u15wlqjqWW7IeIDZb0UfdT8Pe7PBW-aA1VA73586xDiPdSLCoswWGS0jY1f68/s1600/miniestadi1.jpg" title="Camp Nou i Mini Estadi" width="320" /></a>
Així que tots haguessin preferit que l'equip s'entrenés al <span class="negrita">Mini Estadi</span>, i malgrat això la decisió presa va ser la de fer una concentració de 7 dies a <span class="azul negrita">Andorra</span> ... </p>
<p>A més, cal afegir que tots ells han '<span class="negrita">sacrificat</span>' els seus <strong>interesos personals</strong> pel que suposaven era l'<strong>interès general</strong> de l'equip, pel qual la seva frustració pot resultar encara més gran.</p>
<p class="tecnico">Estem davant d'un exemple del que s'anomena <strong>'Paradoxa de Abilene'</strong>. Aquesta paradoxa, que afecta els camps de la psicologia, de la sociologia i dels negocis, va ser descrita per <strong>Jerry B. Harvey</strong>, de la Universitat George Washington, el 1988. </p>
<p class="tecnico">Tracta sobre les <strong>decisions dolentes</strong> que en determinades ocasions prenen els <strong>grups</strong>, ja siguin comunitats de veïns, famílies, grups d'amics, equips directius, parlaments, consells d'administració, o societats senceres. I pot tractar-se de petites decisions com triar el restaurant per anar a sopar, o de grans decisions econòmiques que afecten un gran nombre de països. </p>
<p class="tecnico">En tots aquests casos, es tracta de grups petits o nombrosos de persones que acaben fent una cosa que cap d'elles vol de forma individual. </p>
<p>Per què passa això? </p>
<p class="tecnico">De vegades pot ser degut a que tots segueixen <strong>l'opinió del líder o de la majoria o del 'ramat'</strong>, per evitar problemes, per no discutir, per no convertir-se en el típic aixafaguitarres, o per no estar ben vist l'<strong>anar en contra de l'opinió generalitzada</strong>. </p>
<p class="tecnico">D'aquesta manera, les persones se senten en certa manera <span class="negrita">‘pressionades’</span>, conscient o inconscientment, per anar a favor del que es suposa que opina la majoria. </p>
<p class="tecnico"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKRq3oNlqdhf6qbu5xRN1U-nXiQ0YmP9wMCm26UbWUyjlv9fOVY_kK0Y39wo6JzxczanLirnrOo97RYequhxsGfpbx8jy8eoBW_z9rQmKNPt1QFT728JyrMA7sTMm7X8r30RK5jh_ri-o/s1600/andorra1.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: -1em;">
<img alt="Principat d'Andorra" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKRq3oNlqdhf6qbu5xRN1U-nXiQ0YmP9wMCm26UbWUyjlv9fOVY_kK0Y39wo6JzxczanLirnrOo97RYequhxsGfpbx8jy8eoBW_z9rQmKNPt1QFT728JyrMA7sTMm7X8r30RK5jh_ri-o/s1600/andorra1.jpg" title="Principat d'Andorra" /></a>
Així, ningú està disposat a fer el primer pas per expressar una <strong>objecció</strong> al <strong>'pensament de grup'</strong>, almenys en el moment de la decisió. Encara que no és infreqüent que envers el menor contratemps, tothom ràpidament critiqui la decisió presa, afirmant que ell ja sabia el que anava a ocórrer, i que hagués degut escollir una altra opció. </p>
<p class="tecnico">De fet, les darreres investigacions fan creure als científics que el <strong>cervell</strong> humà està <strong>programat</strong> per canviar el seu punt de vista si aquest no concorda amb la norma. </p>
<p class="tecnico">Així, hi ha estudis que suggereixen que el <strong>'Pensament de grup'</strong> no només s'imposa a l'hora de votar, sinó que fins i tot, al cap d'un temps, els membres del grup acaben pensant d'aquella manera que se suposa que haurien de pensar. D'aquesta manera, el cervell humà s'hi protegeix de la contradicció que suposa pensar d'una manera i actuar de manera contrària. </p>
<p>I quina és la manera de no caure en aquesta paradoxa? </p>
<p class="tecnico">Doncs l'única manera és <strong>fomentar</strong> dins del grup l'<strong>intercanvi d'informació</strong> entre els membres i el <strong>respecte de totes les opinions</strong>, de manera que puguin sorgir diferents alternatives i solucions eficaces pels problemes que es plantegen. </p>
<p>Si esteu interessats en aquest tema, podeu consultar més sobre la paradoxa d'Abilene a la <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Pensament_de_grup" target="_blank">Viquipèdia</a>, a <a href="http://www.wikilingua.net/ca/articles/p/a/r/Paradoja_de_Abilene_4f3b.html" target="_blank">Wikilingua.net</a> i a <a href="http://gestiodeprojectes.blogspot.com.es/2012/02/la-paradoxa-dabilene.html" target="_blank">gestiodeprojectes.blogspot.com</a>.</p> WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-16787208064010520262013-08-12T08:43:00.002-07:002023-05-26T09:05:24.373-07:00Endevins. Quin equip guanyarà la Champions?<!--Resumen de la pàgina-->
<span style="display: none;">La propera final de la Champions ens permet repassar una de les propietats bàsiques de la probabilitat, y aprendre a guanyar uns diners apostant al seu possible vencedor.
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;">
<img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" width="150" /></a>
<a href="http://matematicasyfutbol.blogspot.com.es/2013/08/adivinos-quien-ganara-la-champions.html" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix-c28WGc0yCeOqjI_j0nMHuR5rlOnV6qzkgsor4_ZQpRh7jQTYNkZ9-uade3sWy3lAkDm-nUVCaAYZGSaS1vB75vQMwkRiVdBWFWlqgO6xXTOJGf4eYz1f_LEDtOhjFrYUjDl94k5FqQ/s1600/versionespanyola.gif" width="60" /></a>
<a href="http://mathsball.blogspot.com.es/2013/08/team-win-champions-league.html" style="float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ-ZEYZT8WGhaAulfNg1ZHnG_bnSUUwydjkgBcZHAQcFH-c2Er4Os4mEJ_xG3eHujT47ZhosWj31n2-rprxck-iiIuxeiZlFa0hFhaSVBDcwrBO9Gi-7mhFYw0EIrOtR2ca1UWjqtNv64/s1600/englishversion.gif" width="60" /></a>
</span>
<br />
<div class="rojo negrita" style="float: left; margin-left: 2em;">
PRIMERA PART</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span class="negrita"></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>
<span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfZAdQxRCBG71ENB3zrEP0e9q5Ch1EIzN9aKb36WurhqPy8gU4QVZfWuT3nRxc3t-GNBtEDRgyBqhg9b284xeUOH0a3p0mqCnYUlyxWmTV5AX-bau0tCyj3iZ7ZLin5xORtXgXRNkZdCYylEey_nKLs4dCoS0iZsG-4kF05ohFDsXuwRhq0PNC__AF/s960/Estadio%20Ataturk%20de%20Estambul.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="672" data-original-width="960" height="224" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfZAdQxRCBG71ENB3zrEP0e9q5Ch1EIzN9aKb36WurhqPy8gU4QVZfWuT3nRxc3t-GNBtEDRgyBqhg9b284xeUOH0a3p0mqCnYUlyxWmTV5AX-bau0tCyj3iZ7ZLin5xORtXgXRNkZdCYylEey_nKLs4dCoS0iZsG-4kF05ohFDsXuwRhq0PNC__AF/s320/Estadio%20Ataturk%20de%20Estambul.jpg" width="320" /></a></div><span>10 de juny de</span> <b>2023</b>. Manquen escasses hores per a que comenci la <b>final </b>de la <span class="pino negrita">Lliga de Campions de la UEFA 2022-2023</span> d'aquesta temporada.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A la final què es celebra a ´'estadi olímpic Atatürk d'Estambul han accès els equips de l'Ínter de Milà i el Manchester City.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Es preveu que sigui un <strong>partit de futbol</strong> molt interessant i competit, i no hi ha un <span class="negrita">clar</span> <strong>favorit</strong> pel mateix.</div>
<br /><div style="text-align: justify;">He quedat amb uns amics per a veure el partit per <strong>televisió</strong>, i hem decidit fer una <strong>aposta</strong> per veure qui serà qui encerti l'equip què s'en durà la <strong>copa</strong>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhryUtc2Ev24DAlrYSFY4zhWPAXC_bSmEMNXZxae3_8W5bYraCGhF045dCoFToNi1TduDmIZMc7IIQZ9AtktyUdQ2M4vWUP5jvAGJxCVO_xxizZKP_wS7q-wRyH6CBLRvvas53-Aof1sctw1MYDq0Sxuj5GD7xIh8f0zRceYyjct7qg_d5iLsilCzdF/s414/Escudo%20Inter%20de%20Mil%C3%A1n.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="414" data-original-width="380" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhryUtc2Ev24DAlrYSFY4zhWPAXC_bSmEMNXZxae3_8W5bYraCGhF045dCoFToNi1TduDmIZMc7IIQZ9AtktyUdQ2M4vWUP5jvAGJxCVO_xxizZKP_wS7q-wRyH6CBLRvvas53-Aof1sctw1MYDq0Sxuj5GD7xIh8f0zRceYyjct7qg_d5iLsilCzdF/w238-h259/Escudo%20Inter%20de%20Mil%C3%A1n.gif" width="238" /></a> <span style="font-size: xx-large;">vs. </span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI-2Arml9NzT1DFhpNNxW45uiiK5gfMtBt2vEcZ26A7fdjmGoL6ipdvQCi6RgSgWr-BMDBEN_OZhT9ccTJUnIDo88jORLlKU53o9j0uJ4SNYpRCRxxnqhD-t9thXsv9lWqJwT7JoLrE-bcoVokvKCQpE6in56vk59CCjr5JQKYkuTEV0wANk2AqY0W/s650/Escudo%20Manchester%20City.gif" style="font-size: xx-large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="650" data-original-width="625" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI-2Arml9NzT1DFhpNNxW45uiiK5gfMtBt2vEcZ26A7fdjmGoL6ipdvQCi6RgSgWr-BMDBEN_OZhT9ccTJUnIDo88jORLlKU53o9j0uJ4SNYpRCRxxnqhD-t9thXsv9lWqJwT7JoLrE-bcoVokvKCQpE6in56vk59CCjr5JQKYkuTEV0wANk2AqY0W/w256-h266/Escudo%20Manchester%20City.gif" width="256" /></a></div></div><span style="font-size: x-large;"><br /></span><br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Per tal de comptar amb un lleuger <span class="negrita">avantatge</span> sobre els meus amics, cerco a l'internet <strong>endevins</strong> especialitzats en temes <strong>esportius</strong>, per que em prediguin qui serà el vencedor.</div>
<br />
I he trobat les següents opcions: <br />
<br />
1 - <span class="pino negrita">Meritxell l'en-Divina</span>: encerta el <span class="marino negrita">80%</span> dels cops, i les seves consultes són a <span class="rojo negrita">10 €</span>.<br />
<br />
2 - <span class="lila negrita">Vicent l'e-Vident</span>: té un percentatge d'encerts del <span class="marino negrita">60%</span>, i demana <span class="rojo negrita">5 €</span>; per consulta.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
3 - <span class="azul negrita">Pierre No'ncertores</span>: només demana <span class="marino negrita">1 €</span> per consulta, si bé té un percentatge d'encerts de tan sols el <span class="rojo negrita">10%</span>.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-left: 3em; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQUi52VHV3mbH_xFyv7hBVD23k4x6obaRGMrrnRVC92kadKEZ4UK-IiL7fmcrNMl8mp34tiPJljvbqbWdUPzbu6dQT_YyeUOJNqw68XzpDKrFCz0hOM8xbhXxP5eNUOkVZPILOCstqDcY/s1600/endevi1.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="L'endevina Meritxell l'en-Divina consultant la seva copa màgica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQUi52VHV3mbH_xFyv7hBVD23k4x6obaRGMrrnRVC92kadKEZ4UK-IiL7fmcrNMl8mp34tiPJljvbqbWdUPzbu6dQT_YyeUOJNqw68XzpDKrFCz0hOM8xbhXxP5eNUOkVZPILOCstqDcY/s1600/endevi1.jpg" title="L'endevina Meritxell l'en-Divina consultant la seva copa màgica" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Meritxell l'en-Divina</span></td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijRQWNil8URWI1jM1gy80F4Ed82-cuI-MH2VEwDLfsg0J4pQzmySxfC6BA8QHK6l4Ju5E1vMsW516teBhh5UO9jdbMkT37yqSutq47tfQeTqNbOCIcgqXnoOfXV8gm4C6eSxShp_7Yr6s/s1600/endevi2.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="L'endeví Vicent l'e-vident consultant la seva copa màgica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijRQWNil8URWI1jM1gy80F4Ed82-cuI-MH2VEwDLfsg0J4pQzmySxfC6BA8QHK6l4Ju5E1vMsW516teBhh5UO9jdbMkT37yqSutq47tfQeTqNbOCIcgqXnoOfXV8gm4C6eSxShp_7Yr6s/s1600/endevi2.jpg" title="L'endeví Vicent l'e-vident consultant la seva copa màgica" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;"><span style="font-size: small;">Vicent l'e-vident</span><br />
<div>
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="L'endeví Pierre No'ncertores consultant la seva copa màgica" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" title="L'endeví Pierre No'ncertores consultant la seva copa màgica" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;"><span style="font-size: small;">Pierre No'ncertores</span><br />
<div>
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
No n’estic gaire segur de quin endeví hauria de consultar. Podries ajudar-me?<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="rojo negrita">
SEGONA PART</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Finalment, he decidit de trucar al meu amic Pep Vitruvi, qui ha vingut de seguida a la meva casa per ajudar-me.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: #073763;">Suposo que hauràs pensat que potser hauries de consultar na Meritxell, perquè, si bé és la més cara (10€), també és la que ens asegura un percentatge d’encert <b>encert més gran</b></span> – em comenta Pep.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmNmhmdrwNOyP752g5vGzaH5IpjivuF6a5sP2fZ2NUNWZg2jyE_RWEH_vrfbcJdkILdN6jT58hAekB4ltDkA1qfrMBA83CFV3R4kcJN9yfhcXCUSJx4TfSVCkpuCZZS5lsmHcAE582h4U/s1600/policias1.jpg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmNmhmdrwNOyP752g5vGzaH5IpjivuF6a5sP2fZ2NUNWZg2jyE_RWEH_vrfbcJdkILdN6jT58hAekB4ltDkA1qfrMBA83CFV3R4kcJN9yfhcXCUSJx4TfSVCkpuCZZS5lsmHcAE582h4U/s1600/policias1.jpg" width="146" /></a>Doncs sí. La veritat és que havia pensat que si faig una aposta elevada, compensaré ben bé el major <b>cost </b>de la consulta.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">Te’n recordes de quan estudiavem <b>Probabilitat</b>?</span><br />
<br />
Uff, molt lleugerament.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">Bé, t’hauré de refrescar una mica la teva memoria. Anem a veure. Tenim que la probabilitat d’un succés es calcula com la relació entre els casos favorables que es poden donar i els casos posibles.</span><br />
<br />
Sí, això ho recordo.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">Així, per exemple, tenim el cas de <b>Pierre No'ncertores</b>. Em vas comentar que té un percentatge d’encerts del 10%. Saps el què vol dir això exactament?</span><br />
<br />
Sí, és clar. Això vol dir que si fa 100 prediccions, encertarà només 10 d’elles.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">D’acord. En terms matemàtics, diriem que si definim el <b>succés</b> A=”encertar la predicció”, tindrem que la <b>probabilitat </b>del succés A serà igual a P(A) = 10% = 0,1</span><br />
<span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Ara anem a veure la probabilitat de que Pierre no encerti.</span><br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Imatge de l'endeví Pierre No'ncertores consultant la copa màgica" border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_h4VrDamhNiE_zmX2bKYdSkcBTmhwCI5wmB2BYhWURmACq1LXo3jSTGBm8-T3rhvHovhp-Bl4xeWjhkMQq92fvHr5UT84_-23ozoOhCWB9HAFSaaohkPb2R3P5Z02xlMYfri87HSIjU/s1600/endevi3.jpg" title="Imatge de l'endeví Pierre No'ncertores consultant la copa màgica" width="240" /></a>Fàcil. Serà el 90%.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">Efectivament. Segons una de les <b>propietats bàsiques</b> de la <b>Teoria de la Probabilitat</b>, per a un succés o event A, la probabilitat de que es produeixi el <b>succés contrari</b> A’ la calcularem de la següent forma:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b>P(A')= 1 – P(A)</b></i></div>
<br />
<span style="color: #073763;">Al nostre cas, si definim A’=”no encertar la predicció”, llavors P(A’) = 1–0,1 = 0,9 = 90%. I amb això ja hem resolt el problema. No ens cal fer més càlculs per saber quin endeví és al qui li hem de consultar.</span><br />
<br />
No ho entenc. Què vols dir? No veig què té aixó a veure amb el problema de triar el millor endeví. A més, hem de tenir en compte el cost de les consulta a cadascú d’ells. La fórmula ha de ser més complexa.<br />
<br />
<span style="color: #073763;">Bé, en aquest cas, el cost de cada una de les opcions és absolutament irrelevant per a la resolució del problema. Has de tenir en compte que tan sols es tracta de saber quien equip guanyarà, no d’endevinar el resultat final del partit.</span><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg11SLusKWJLnREJhHDF7PMnhiCf6Y_96n8EqEIbxeX89fjxdDyQLg5ct4AAK7qBLGRDvjcuHICDse2rc5k7m7QW3pVV2S3Fc4W-Uzkenn7thGk-NMhiRVTt4mOGJCCbp7_Hy3IxM8MinA/s1600/MosesMabhidaStadium12.jpg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="131" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg11SLusKWJLnREJhHDF7PMnhiCf6Y_96n8EqEIbxeX89fjxdDyQLg5ct4AAK7qBLGRDvjcuHICDse2rc5k7m7QW3pVV2S3Fc4W-Uzkenn7thGk-NMhiRVTt4mOGJCCbp7_Hy3IxM8MinA/s1600/MosesMabhidaStadium12.jpg" width="320" /></a><span style="color: #073763;"><br /></span>
<span style="color: #073763;">Per tant, és tan simple com consultar a Pierre No’ncertores, escoltar el que diu, i fer tot just el contrari. D’aquesta manera, obtindrem una <b>probabilitat </b>d'encertar el guanyador del 90%, <b>molt més gran</b> que la dels altres dos endevins. I, a més, a un preu <b>més econòmic!</b></span><br />
<br />
<br />
Si t'ha agradat la història, no dubtis en compartir-la amb els teus amics mitjançant els enllaços que tens més endevant. A més, pots veure un munt d'històries sobre matemàtiques i futbol, clicant anls enllaços que pots trobar en la columna de l'esquerra.<br />
<div>
<br /></div>
</div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-89166641504255615322013-07-23T10:35:00.000-07:002013-07-24T13:53:58.269-07:00El futbol i la felicitat.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdqfVmtgMJQnY_JoC-qD3ijznCbXfXL4pEI23fSWdli_07Mzz7YIqwpIGjh-rn_SKRMz_Kx8b-5DLZ8wCh6zvYYBWdP0Lck19q6QxaHf8PcRyzdvgADSdU1dsqA0XrMv6Lj1OetGA4TUI/s1600/escudobayern2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" alt="Escut del Bayern de Múnic" title="Escut del Bayern de Múnic"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdqfVmtgMJQnY_JoC-qD3ijznCbXfXL4pEI23fSWdli_07Mzz7YIqwpIGjh-rn_SKRMz_Kx8b-5DLZ8wCh6zvYYBWdP0Lck19q6QxaHf8PcRyzdvgADSdU1dsqA0XrMv6Lj1OetGA4TUI/s1600/escudobayern2.gif" alt="Escut del Bayern de Múnic" title="Escut del Bayern de Múnic"/></a> <b><span style="font-size: x-large;">vs</span></b>. <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhq0y66xOw8k3zxMvo6iwNBBqHhipgPwSZ2nQqMVeBLAiD_o5tdx0v9_ypkGCCLxNXFsR93yUhzxNA6kxj1UIpb7GHR3ZoCDo9XKCO7FR_EHOq_w8XeEGCAAxRn2PKRZDVSOsauojiFubI/s1600/escudoborussiadortmund.gif" alt="Escudo del Borussia de Dortmund" title="Escudo del Borussia de Dortmund" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhq0y66xOw8k3zxMvo6iwNBBqHhipgPwSZ2nQqMVeBLAiD_o5tdx0v9_ypkGCCLxNXFsR93yUhzxNA6kxj1UIpb7GHR3ZoCDo9XKCO7FR_EHOq_w8XeEGCAAxRn2PKRZDVSOsauojiFubI/s1600/escudoborussiadortmund.gif" alt="Escudo del Borussia de Dortmund" title="Escudo del Borussia de Dortmund"/></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<p><span class="negrita burdeos">Weidenfeller</span>, <span class="negrita burdeos">Grosskreutz</span> i <span class="negrita burdeos">Schieber</span> són jugadors del <span class="negrita">Borussia de Dortmund</span>. </p>
<p>Els seus dorsals són el <span class="super negrita burdeos">1</span>, el <span class="super negrita burdeos">19</span> i el <span class="super negrita burdeos">23</span>, respectivament. </p>
<p>Acaben de perdre la final de la Champions League a Wembley, però són feliços. </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPfqbaU3U_i6pwVyM0Jpkw-LIrlEjPufmKMSe7xJsYk8ZGWsryBUhh5nt2CinbGl5KpjgzPLwL7M8vuSIDQ24NzB2PVefuXH2CDRsxVPp8Ua0vjlIXFxGOvtUiZ1KqqClBkJE88YB1cDw/s1600/weidenfeller1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPfqbaU3U_i6pwVyM0Jpkw-LIrlEjPufmKMSe7xJsYk8ZGWsryBUhh5nt2CinbGl5KpjgzPLwL7M8vuSIDQ24NzB2PVefuXH2CDRsxVPp8Ua0vjlIXFxGOvtUiZ1KqqClBkJE88YB1cDw/s1600/weidenfeller1.gif" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEFOOqB7d5kflL1bJ8D1fRanSwUFRKct4aVm28rxFFPP1gTUzVSACqmNOpHQu7bM-evwsDDfNIcGSndRcNzU6lwGzLhItCVX3uLq2qm476BCdPXlDa79awkNmCF4bJYilh-vgm_Z3XC5k/s1600/grosskreutz19.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEFOOqB7d5kflL1bJ8D1fRanSwUFRKct4aVm28rxFFPP1gTUzVSACqmNOpHQu7bM-evwsDDfNIcGSndRcNzU6lwGzLhItCVX3uLq2qm476BCdPXlDa79awkNmCF4bJYilh-vgm_Z3XC5k/s1600/grosskreutz19.gif" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzpL6MI2XHq4WsCy3Q6FCcsrRNjuZ9jmhZLq4Q70m8e5R4jMNomyS7CxWEPfgsM45I-kW59ECR489ylLhFzaNRrXwM6kwuCj984Q8r_A4SusyyLPZNRBCANEh5M_0gqP1XkEvYWtpnNWI/s1600/schieber23.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzpL6MI2XHq4WsCy3Q6FCcsrRNjuZ9jmhZLq4Q70m8e5R4jMNomyS7CxWEPfgsM45I-kW59ECR489ylLhFzaNRrXwM6kwuCj984Q8r_A4SusyyLPZNRBCANEh5M_0gqP1XkEvYWtpnNWI/s1600/schieber23.gif" /></a></div>
<p><span class="negrita rojo">Lahm</span>, <span class="negrita rojo">Boateng</span> i <span class="negrita rojo">Javi Martínez</span> són jugadors del <span class="negrita">Bayern de Múnic</span>. </p>
<p>Els seus dorsals són el <span class="super negrita rojo">21</span>, el <span class="super negrita rojo">17</span> i el <span class="super negrita rojo">8</span>, respectivament. </p>
<p>Acaben de guanyar la final de la Champions League a Wembley, però estan tristos. </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgd9fukitYZRkU9KIocW0pwKQD1-YZxHDFxiH378HQwRxNIW0V1sppjemzLQj5HCMkN3GO4QGveX1gr9y3YmVNYg0KM4vKv-oFohA1bVqujJTz_snCAMSHEJzD6Euplm2TgN-W0JtnQtL0/s1600/lahm21.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgd9fukitYZRkU9KIocW0pwKQD1-YZxHDFxiH378HQwRxNIW0V1sppjemzLQj5HCMkN3GO4QGveX1gr9y3YmVNYg0KM4vKv-oFohA1bVqujJTz_snCAMSHEJzD6Euplm2TgN-W0JtnQtL0/s1600/lahm21.gif" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLE51YNk8KF8hrKCeELemMZUaVeUtgkhwF4Y3apT6CGquA8sZPk63xEztu2dlBETyJdHlgCbV_ul-s8hoerAibE6siMDC-1zwnyxvFUmRaBANR80UcHCGramPEq8oSYCryJqk5m-jmovE/s1600/boateng17.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLE51YNk8KF8hrKCeELemMZUaVeUtgkhwF4Y3apT6CGquA8sZPk63xEztu2dlBETyJdHlgCbV_ul-s8hoerAibE6siMDC-1zwnyxvFUmRaBANR80UcHCGramPEq8oSYCryJqk5m-jmovE/s1600/boateng17.gif" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyMuPkCM5NhcJkJfEveLq8XBWwI_eUk6B1FS-9OFpiwBngHGylRWsLEzK8i3-iX2wzcZyDcmcZZ-j5rouXawCS2Tz-RT0DVDEQ36izY5ZPiFSWTWhrZQMmJJpGzILiU63VvgZzMmn_ooM/s1600/martinez8.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyMuPkCM5NhcJkJfEveLq8XBWwI_eUk6B1FS-9OFpiwBngHGylRWsLEzK8i3-iX2wzcZyDcmcZZ-j5rouXawCS2Tz-RT0DVDEQ36izY5ZPiFSWTWhrZQMmJJpGzILiU63VvgZzMmn_ooM/s1600/martinez8.gif" /></a><br /></div>
<p>Pots imaginar què és el que passa aquí? </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s1600/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCYfLbse_MJP-ez7aQsiH2gmknjX7Mclv7t4ZNDECXx7bWVBVAn0qzmK13n2ety2mjiLDws2xT2WlW6XKSP_yvI8MOW4OtBGRRe_HNwLhjinT3Q3Re0bCwQ0jvZ9WiXILlHLg92bFVP3s/s640/homomathematicus.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<p>Potser diràs: <span class="lector">Bé, pel que respecta als jugadors del <span class="negrita burdeos">Borussia</span> ho entenc: suposo que estan contents per haver arribat fins a la final d'una competició continental, encara que l'hagin perduda... </span></p>
<p>Sens dubte, es tracta d'una fita esportiva molt important, encara que el més normal és que haver aconseguit un subcampionat és quelcom que es valora passat un temps, però no minuts després d'haver perdut la final. </p>
<p><span class="lector">Potser els jugadors del <span class="negrita burdeos">Borussia</span> estiguin pensant en la prima que els correspon per haver arribat fins a la final... </span></p>
<p>Tot i que la prima no serà menyspreable, segur que en aquests moments la canviarien sense dubte per haver guanyat el títol. </p>
<p><span class="lector">Estaran pensant que avui comencen les seves vacances ... </span></p>
<p>Doncs és un bon motiu per estar contents, però ... Què em dius dels jugadors del <span class="negrita rojo">Bayern de Múnic</span>? Acaben de guanyar la Champions, rebran una prima estupenda, i a més se'n van de vacances... </p>
<p><span class="lector">És veritat. Llavors, quina és l'explicació?</span> </p>
<p>Molt senzill: perquè els jugadors del <span class="negrita burdeos">Borussia de Dortmund</span> són portadors de <strong>nombres feliços</strong>, i els del <span class="negrita rojo">Bayern de Múnic</span> porten a la samarreta <strong>nombres infeliços.</strong> </p>
<p><span class="lector">Hi han <strong>nombres feliços</strong> i <strong>infeliços</strong>? </span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7nsRXLzvu9Qc-j3z9YLuhsYCk2oHleLOkOGPM-oKDBemxls6TdkA9A0zg4Ot-A7XMNpJQ5rR9rq4M3xAjRL8VDgEUPGk6jbOvEmTDR6hy9hOay8M_Z3cTYJ2LDWlQ9AyE7SLTwTPE4V8/s1600/uno.gif" alt="nombre 1 feliç" title="nombre 1 feliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7nsRXLzvu9Qc-j3z9YLuhsYCk2oHleLOkOGPM-oKDBemxls6TdkA9A0zg4Ot-A7XMNpJQ5rR9rq4M3xAjRL8VDgEUPGk6jbOvEmTDR6hy9hOay8M_Z3cTYJ2LDWlQ9AyE7SLTwTPE4V8/s320/uno.gif" alt="nombre 1 feliç" title="nombre 1 feliç" width="154" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKMUlIO2CIaSB6n90s5qOS9NfMlbG5h8S_vrUZin2mQiE1a5AUlCUsYCF3udo8ILgZbmfsCVrlGMcFTR2lqF2-m9zGXmChI_Kl5NdwT3SAhDEHLZpBz25cK5CxK_0a6Ce9FjycoNrIqFc/s1600/dos.gif" alt="nombre 2 infeliç" title="nombre 2 infeliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKMUlIO2CIaSB6n90s5qOS9NfMlbG5h8S_vrUZin2mQiE1a5AUlCUsYCF3udo8ILgZbmfsCVrlGMcFTR2lqF2-m9zGXmChI_Kl5NdwT3SAhDEHLZpBz25cK5CxK_0a6Ce9FjycoNrIqFc/s320/dos.gif" alt="nombre 2 infeliç" title="nombre 2 infeliç" width="210" /></a></div>
<br />
<p>Sí, n'hi han. </p>
<p><span class="lector">I en què es distingeix un nombre feliç d'un altre que no ho és?</span> </p>
<p>Doncs els <strong class="rojo">números feliços</strong> es defineixen de la següent manera: </p>
<p>Es prenen tots els seus <strong>dígits</strong>, i es calcula la <strong>suma dels seus quadrats</strong>. Aquest procediment es <strong>repeteix</strong> amb els dígits del resultat, i ho tornem a fer fins que finalment obtenim com a <strong>resultat</strong> el nombre <strong>1 sempre</strong>, o fins que entrem en un <strong>bucle infinit</strong> que mai arribarà a donar 1. </p>
<p>Els nombres que, després d'aplicar aquest procés, donen el número 1, es diuen '<strong>nombres feliços</strong>', mentre que els restants són coneguts com '<strong>nombres infeliços</strong>'. </p>
<p>Anem a veure un exemple de nombre feliç: </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge3bn17y5bs5lExa4yJV2QLmtWqdzFvFUoMEtHoE9NPM6vvm85_kqZDz2dopbCZIEY9TJKC8sqla_pcOt-xL45EWGA5rlsjD4NtmFs9TeFxYRFRt_aZINAYISJbzv97BBQKQO3N4OzfBQ/s1600/formulafeliz.JPG" alt="fórmula per a veure si un nombre és feliç" title="fórmula per a veure si un nombre és feliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge3bn17y5bs5lExa4yJV2QLmtWqdzFvFUoMEtHoE9NPM6vvm85_kqZDz2dopbCZIEY9TJKC8sqla_pcOt-xL45EWGA5rlsjD4NtmFs9TeFxYRFRt_aZINAYISJbzv97BBQKQO3N4OzfBQ/s1600/formulafeliz.JPG" alt="fórmula per a veure si un nombre és feliç" title="fórmula per a veure si un nombre és feliç" /></a></div>
<br />
<p>I ara anem a veure un exemple de nombre infeliç o trist: </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgntr3MKO1T-Q8JyFcamCLQUScF61PMRggZwZoDwDeIQ8h2ovRUqn0Q7OMutge0fsq5doero7YHuNI1N7vQkrHyqPHHDgZnruxYpLSmvWCTqdlvEnghq3XBZyQx6PX6B0PgqOq04CzOnZA/s1600/11.jpg" alt="fórmula per a veure si un nombre és infeliç" title="fórmula per a veure si un nombre és infeliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgntr3MKO1T-Q8JyFcamCLQUScF61PMRggZwZoDwDeIQ8h2ovRUqn0Q7OMutge0fsq5doero7YHuNI1N7vQkrHyqPHHDgZnruxYpLSmvWCTqdlvEnghq3XBZyQx6PX6B0PgqOq04CzOnZA/s1600/11.jpg" alt="fórmula per a veure si un nombre és infeliç" title="fórmula per a veure si un nombre és infeliç" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<p>Pots veure que, des del nombre 4, la seqüència es torna a repetir, sense que mai poguem obtenir el nombre 1.</p>
<p class="tecnico">Més formalment, donat un nombre n = n<sub>0</sub>, es defineix una seqüència n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, ... on n<sub>i+1</sub> és la suma dels quadrats dels dígits de n<sub>i</sub>. Aleshores n és feliç si i només si existeix n<sub>i</sub> de tal manera que n<sub>i</sub>=1. </p>
<p class="tecnico">Així, els primers nombres feliços són: </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="super negrita">1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, ...</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiq5mAzHIoWLQn2YvD1H7w447BInL2IIkLcZrL4eaUOlpZmKoYGbez3-JwwjLX5h0kmA8rVFCuREPIBJyDPrGPy0vLb8dhrHF-dctuE3_c0Zp4LBDxFROmFeWpO0OIOHAv4MrXzS_vfYUM/s1600/siete.gif" alt="nombre 7 feliç" title="nombre 7 feliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiq5mAzHIoWLQn2YvD1H7w447BInL2IIkLcZrL4eaUOlpZmKoYGbez3-JwwjLX5h0kmA8rVFCuREPIBJyDPrGPy0vLb8dhrHF-dctuE3_c0Zp4LBDxFROmFeWpO0OIOHAv4MrXzS_vfYUM/s320/siete.gif" alt="nombre 7 feliç" title="nombre 7 feliç" width="227" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvZnqCLnA4n8ZG4TDot8COaeS42PezvJ702zJ7LM5EEfOh1pT3dexBENRHaZiCruYXd0XtdbUPNKR-lJHr2mseUQ3rCtsi-jyOs8LVwGrjXOjxWJ0Mb3wl9UYAPMKwX5c_TwRmnp5GIb4/s1600/cinco.gif" alt="nombre 5 infeliç" title="nombre 5 infeliç" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvZnqCLnA4n8ZG4TDot8COaeS42PezvJ702zJ7LM5EEfOh1pT3dexBENRHaZiCruYXd0XtdbUPNKR-lJHr2mseUQ3rCtsi-jyOs8LVwGrjXOjxWJ0Mb3wl9UYAPMKwX5c_TwRmnp5GIb4/s320/cinco.gif" alt="nombre 5 infeliç" title="nombre 5 infeliç" width="192" /></a><br /></div>
<p class="tecnico">A més, si un nombre és feliç, llavors tots el membres de la seqüència de resultats que es generen també són feliços, i si un nombre és infeliç, tota la seqüència de nombres que es generen a l’aplicar el procediment també són infeliços. </p>
<p class="tecnico">Així, al segón eixemple, podem determinar no tan sols que el nombre 11 és infeliç, ans que els nombres 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 i 20 també són infeliços... </p>
<p class="tecnico">I encara més, de qualsevol nombre feliç podem obtenir-ne més, afegint zeros on vulguem, o canviant les xifres de lloc: 13, 31, 103, 130, 1003, 301, 3010... </p>
<p>I, per què s'anomenen així, i quina és la seva utilitat?</p>
<p class="tecnico">Doncs no se sap molt bé quin és l'origen del seu nom. Potser són feliços perquè finalment arriven al seu objectiu (el nombre 1), mentre que els infeliços estan condemnats a vagar eternament per l'espai matemàtic...</p>
<p class="tecnico">Pel que fa a la seva utilitat, encara que es tracta tan sols d'un senzill entreteniment matemàtic amb el què practicar les potències, si bé potser en un futur es trobi alguna aplicació pràctica. Vols ser tu qui ho intenti?</p>
<p>Si vols saber més sobre els nombres feliços, pots consultar a la <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_feli%C3%A7" target="_blank">Viquipèdia</a> o al blog <a href="http://mesimesnombress.blogspot.com.es/2011/11/es-nombres-felicos.html" target="_blank">Més i més nombres</a></p>WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-84182161340688803852013-07-15T08:24:00.000-07:002014-03-23T08:32:44.263-07:00Llorente i la parada óptima<a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" target="_blank"><span style="color: red;">La difícil decisió de Llorente</span></a><br />
<br />
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
15/07/2013<br />
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiecj5X3gzVQPe7RDA6tD3jW58CzUkIePX0lWhJFjwclhNsdlHE1FCPDfjhr2BtJJ23wb7InR3WgXzplrxxm6-X5WjqfNJ_KtUK5wcNc4C1Ap-h6fPi1KYZBN_fbRcLURON-JUgqfbM-3U/s1600/4casosesp.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiecj5X3gzVQPe7RDA6tD3jW58CzUkIePX0lWhJFjwclhNsdlHE1FCPDfjhr2BtJJ23wb7InR3WgXzplrxxm6-X5WjqfNJ_KtUK5wcNc4C1Ap-h6fPi1KYZBN_fbRcLURON-JUgqfbM-3U/s1600/4casosesp.jpg" height="200" width="133" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El problema de Fernando Llorente per a triar el seu pròxim equip ens introdueix a la teoria de la presa de decisions i de la parada òptima.<br />
<br />
Un problema més de pensament lògic i estratègia, que ens ajuda a la pràctica a prendre les decisions correctes a la nostra vida diària.<br />
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Clica <a href="http://www.matifutbol.com/ca/decisio.html" target="_blank">aquí</a> per a veure la història.<br />
<br />
<br /></div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-41274451375116300282013-06-17T07:42:00.003-07:002013-06-18T07:27:09.442-07:00Premsa, estadística i clubs de futbol.<p class="rojo negrita">PRIMERA PART</p>
<p> La premsa de Madrid ho té clar: ha arribat l'hora del relleu en l'hegemonia del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span>.</p>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJY9Eh8wX086YAbEiaTwmjLky82l_ttfnVPpWRvL5mDjsROpt1aTwljTtlJyDcS3vlmWhd86mhlBS17Ykr46sbw2Wm7JsUjyoLzEq5ntvweGQWel_l0LBijcqjMfQItvs1RBl6RQy4kNU/s1600/periodicomarca1.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJY9Eh8wX086YAbEiaTwmjLky82l_ttfnVPpWRvL5mDjsROpt1aTwljTtlJyDcS3vlmWhd86mhlBS17Ykr46sbw2Wm7JsUjyoLzEq5ntvweGQWel_l0LBijcqjMfQItvs1RBl6RQy4kNU/s320/periodicomarca1.gif" width="224" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEjPuYvQla4BmZbkRSI3tTvcj-ajkd2aDNwm7A_dbrgPgoX36IqoRwkbgtj1qQdpkkIum5CuqMhCCA_vvSHE_Xfmg-MG2ib9ClzFKBPqgvQqOxZirfic73XCvkjE2IeL2OFycgqS5XBLY/s1600/portadaas1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEjPuYvQla4BmZbkRSI3tTvcj-ajkd2aDNwm7A_dbrgPgoX36IqoRwkbgtj1qQdpkkIum5CuqMhCCA_vvSHE_Xfmg-MG2ib9ClzFKBPqgvQqOxZirfic73XCvkjE2IeL2OFycgqS5XBLY/s320/portadaas1.gif" width="240" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p> Després dels darrers anys, el <span class="violeta">Real Madrid</span> està cada vegada més a prop del nivell del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> i, segons les dades estudiades, al darrer any ha arribat inclús a superar-lo.</p>
<p> Per reforçar la seva argumentació, els periodistes de Madrid utilitzen unes dades objectives: els ingressos dels dos últims anys d’ambdòs clubs, i els títols individuals i col • lectius aconseguits pels dos equips.</p>
<p> Pel que fa als <span class="negrita">ingressos</span>, el <span class="violeta">Real Madrid</span> ha aconseguit l'any <span class="marron">2013</span> incrementar un <span class="negrita">80%</span> els mateixos respecte a l'any anterior, mentre que els del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> només han crescut un <span class="negrita">40%</span>.</p>
<p> I pel que fa als <span class="negrita">títols</span> individuals i col • lectius, el <span class="violeta">Real Madrid</span> ha aconseguit un <span class="negrita">40%</span> menys de títols que la temporada passada, mentre que el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> va conquerir un <span class="negrita">10%</span> menys que l'any anterior.</p>
<p> Si traslladem aquestes dades a una <span class="super negrita">taula</span>, i assignem el número <span class="negrita">100</span> al valor de cada índex a l'any <span class="negrita">2012</span>, obtindrem les següents xifres: </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgm481V1Fobrg2D3lDDxlpAyi8BhoWt08WFVtZiMC7oBDmbtP93YvWAFuHmp6d0uhQrd4QO6qQyJURWpu2IhhSEPgvDQcsCIgSFwiWH4qHSqA_AwKJ4GB8D_8aO3u3mHjYoN71Ef-XNLLc/s1600/tablas2012cat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="182" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgm481V1Fobrg2D3lDDxlpAyi8BhoWt08WFVtZiMC7oBDmbtP93YvWAFuHmp6d0uhQrd4QO6qQyJURWpu2IhhSEPgvDQcsCIgSFwiWH4qHSqA_AwKJ4GB8D_8aO3u3mHjYoN71Ef-XNLLc/s640/tablas2012cat.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p> Ara traslladem aquestes dades a un <span class="super negrita">gràfic</span>, de manera que puguem analitzar d'una forma més adient els resultats: </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgomWAz1048vSXkfYFM02U57PaJk63OOGcuz-dxPzGUdPNYrWyTuwH02SUEL10jd7ZFPv7XRl9Els2Y5YxV-vY-_Hq6pE_k_tZZbJJgc2hDTePfISXOGUpuDFoAmH6IQi99WRDqo83MJcM/s1600/comparativa+1.cat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgomWAz1048vSXkfYFM02U57PaJk63OOGcuz-dxPzGUdPNYrWyTuwH02SUEL10jd7ZFPv7XRl9Els2Y5YxV-vY-_Hq6pE_k_tZZbJJgc2hDTePfISXOGUpuDFoAmH6IQi99WRDqo83MJcM/s1600/comparativa+1.cat.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p> Si ens hi fixem en la <span class="negrita">mitjana</span> de les dues variables, observem una tendència més positiva i creixent en les dades del <span class="violeta">Real Madrid</span> que en les del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span>.</p>
<p>Veiem que l'<span class="negrita">increment</span> de la mitjana de les variables és més pronunciada en el cas del <span class="violeta">Real Madrid</span>. Així, l'índex mitjà passa de 100 a <span class="negrita">115</span> en el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span>, i de 100 a <span class="negrita">120</span> en el <span class="violeta">Real Madrid</span>. </p>
<p> La conclusió, a la vista d'aquestes gràfiques, segons els mitjans periodístics de Madrid, és evident: el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> està en un final de cicle, i el <span class="violeta">Real Madrid</span> està en clar auge. </p>
<p>Quina creus que serà l'opinió dels <span class="negrita">mitjans</span> esportius de <span class="negrita">Barcelona</span>?</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /><br />
<a href="http://www.matifutbol.com/im/homomathematicus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="250" src="http://www.matifutbol.com/im/homomathematicus.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /><br /></div>
<p class="rojo negrita">SEGONA PART</p>
<p> Alguns pensareu: <span class="lector"> Els diaris de Barcelona diran que aquestes dades no són certes, i assenyalaran que el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> encara és millor que el <span class="violeta">Real Madrid</span>.</span></p>
<p> Però la veritat és que la premsa de Barcelona no hauria d’utilitzar aquest argument, ja que es pot fàcilment comprovar que les dades emprades són correctes.</p>
<p class="lector"> Sí, però totes les dades són percentatges relatius. Tant de segur que les dades absolutes del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> són molt més elevades que les del <span class="violeta">Real Madrid</span>.</p>
<p> Correcte. Es pot donar aquesta circumstància: que la situació inicial en xifres absolutes de la qual parteix el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> sigui molt millor que la del <span class="violeta">Real Madrid</span>, i que tot i la millora dels resultats d’aquest, el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> encara segueix per sobre, en dades absolutes. </p>
<p> De fet, una de les mancances que trobem en gran part de les <span class="negrita">estadístiques</span> que ens trobem diàriament és que no ens proporcionen cap tipus d'informació sobre les <span class="negrita">dades originals</span> en què hi estan basades. Dos països poden tenir el mateix IPC, però hem de saber quin és el nivell de vida a cada un d'ells, i saber de quin nivell partim, per poder comparar-los. Dos equips poden haver guanyat un 50% més de títols que l'any passat, però no és el mateix que un guanyés l'any passat 10 títols i ara guanyi 15, a un que hagués guanyat només 2 títols i guanyi 3 aquest any.</p>
<p> No obstant, això no vol dir que la informació dels diaris de Madrid sigui falsa. Aquests no han comentat res sobre les <span class="negrita">xifres absolutes</span>, l'únic que han fet ha estat incidir sobre les <span class="negrita">tendències</span> d'un i altre equip en valors relatius. I aparentment tenen raó en la seva argumentació.</p>
<p class="lector"> És clar. El que passa és que de centenars de ràtios que podien utilitzar han escollit aquells dos (economia i títols) que donaven millor suport a la seva argumentació. Segurament que la resta de ràtios eren beneficiosos pel <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span>...</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYwSPG7bbQrfjUaEtTV8IT4jdqkyHGY385FnnDr0qlxOr0zUk9faABotHnS1lNweuoY8kwwqkqZuVPz5oKulwdj56yLl-F9i0SmyAn1hZe0rmc5TfZA-y_MnRYXIjBsVNiFhhqzgjvgAs/s1600/copasydinero.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="195" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYwSPG7bbQrfjUaEtTV8IT4jdqkyHGY385FnnDr0qlxOr0zUk9faABotHnS1lNweuoY8kwwqkqZuVPz5oKulwdj56yLl-F9i0SmyAn1hZe0rmc5TfZA-y_MnRYXIjBsVNiFhhqzgjvgAs/s400/copasydinero.gif" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p> Bé, ja sabem que cadascú utilitza les dades que li convenen (fins i tot l'autor d'aquesta pàgina). Tanmateix, sembla que es tracta d'unes <span class="negrita">dades</span> prou <span class="negrita">representatives</span> de l’<span class="negrita">éxit</span> d’un equip.</p>
<p>Per a ser estrictes, caldria haver fet un <span class="negrita">estudi previ</span> sobre quines variables són les més representatives de l'èxit d'un club. I haurem de començar per <span class="negrita">definir</span> què entenem per <span class="negrita">èxit</span> d'un club esportiu. </p>
<p>Avui en dia, potser podríem estar d'acord en que actualment els indicadors més representatius de l'èxit d'un club de futbol són els <span class="negrita">resultats esportius</span> i els <span class="negrita">resultats econòmics</span>. Encara que no ens hauríem d'oblidar de la seva <span class="negrita">responsabilitat social</span> (suport de l'esport de base, col • laboració amb ONGs, etc.), i del seu impacte en les <span class="negrita">xarxes socials</span>, aspectes cada vegada més rellevants.</p>
<p class="lector"> Sí, però encara que aquests dos factors (títols i economia) siguin els més representatius, no han de tenir la mateixa <span class="negrita">rellevància</span>. Segur que si ponderem els dos índexs d'una forma diferent a la realitzada (al nostre exemple ambdòs valen ho mateix , un <span class="negrita">50%</span> sobre el total), surten uns resultats diferents ... </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5WymCk_aYoMO6NCt76Xe1WMb-G_Tf2bOgYcroAD7qXN9mXGBrIm1Hi6driGoKI5Hi7KtcHxHZBkOTRZBmhkpAwyNy1vZrH4m8aWXRJk6Psq8GrI9O7KTRPFmVQWAiOZ7geEtIj9v-jDc/s1600/balanzatitulosydinero.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5WymCk_aYoMO6NCt76Xe1WMb-G_Tf2bOgYcroAD7qXN9mXGBrIm1Hi6driGoKI5Hi7KtcHxHZBkOTRZBmhkpAwyNy1vZrH4m8aWXRJk6Psq8GrI9O7KTRPFmVQWAiOZ7geEtIj9v-jDc/s320/balanzatitulosydinero.gif" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p>Efectivament, en funció de la importància que concedim a cada índex, podrem extreure <span class="negrita">conclusions diferents</span> a les que han arribat els diaris de Madrid.</p>
<p> De totes maneres, fins i tot amb els índexs escollits, i amb la ponderació establerta per a ells, tot i així es poden qüestionar les conclusions d'aquests diaris.</p>
<p class="lector"> A més, aquí s'estan sumant diners amb resultats esportius, dues variables que no tenen res a veure entre elles....</p>
<p>És veritat. Aquest és un 'truc' que solen utilitzar molts analistes. De vegades se sumen xifres completament heterogènies: en el nostre cas, resultats econòmics i esportius. I també, a l'índex de resultats esportius, es valora de la mateixa manera un títol col • lectiu com pot ser la consecució del títol de Lliga, amb un individual com per exemple, un trofeu atorgat a un defensa per ser el que més gols ha marcat de cap en la competició de Copa.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDxLeIBTIR2KedK9ZSE0rZ8USgq0v8P-piy74KnqgLhd3OunT7BBNVXPE5g9KlOM1qwWRyLUnpSsy38Hp8VsQTxxKp__cpH-q81WhsTprb55BuLfMcAn7zmggV-1YAtQUc_tqsWdXtN3Y/s1600/copasycopitas.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="188" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDxLeIBTIR2KedK9ZSE0rZ8USgq0v8P-piy74KnqgLhd3OunT7BBNVXPE5g9KlOM1qwWRyLUnpSsy38Hp8VsQTxxKp__cpH-q81WhsTprb55BuLfMcAn7zmggV-1YAtQUc_tqsWdXtN3Y/s640/copasycopitas.gif" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p>No obstant això, hi donarem per bo l'anàlisi dels diaris de Madrid.</p>
<p class="lector"> Llavors, hem de concloure que la tendència del <span class="violeta">Real Madrid</span> ha estat millor que la del <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> en la darerra temporada, no?</p>
<p> Doncs encara queda per analitzar un <span class="negrita">detall</span> que no és menyspreable, i que fa que els diaris de Barcelona creguin que el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> està encara en millor situació que el <span class="violeta">Real Madrid</span>. </p>
<p>I quin és aquest detall ? </p>
<p> Bé, doncs es tracta de triar de forma adient l'<span class="negrita">any base</span> o de referència. </p>
<p> Als articles dels diaris madrilenys, veiem que han pres com a <span class="negrita">base</span> els resultats de cada equip a l’<span class="negrita">any <span class="verde">2012</span></span>. </p>
<p> Això és, assignen el valor <span class="negrita">100</span> al resultat cada equip a l'any <span class="verde">2012</span>, i sobre ell troben la variació experimentada a l'any <span class="marron">2013</span>. </p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_2O4WUSdLi3JB-msTyn_bmrtJs118m1Re_5uZ17Tc0B4LSiP3rq3ewrsdZgpuRb2YV5Bj2QJ6E_-zZNfKH12Kg_3ozCTW4Uv7eErnlK2WhyphenhyphenTlv4emm7tJ9QJ0iE37E0HvWDPHo1Tmr9w/s1600/tablas2012cat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="113" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_2O4WUSdLi3JB-msTyn_bmrtJs118m1Re_5uZ17Tc0B4LSiP3rq3ewrsdZgpuRb2YV5Bj2QJ6E_-zZNfKH12Kg_3ozCTW4Uv7eErnlK2WhyphenhyphenTlv4emm7tJ9QJ0iE37E0HvWDPHo1Tmr9w/s400/tablas2012cat.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>
<p> Vegem com, amb les mateixes dades, canvia radicalment la interpretació que d'elles podem extreure, canviant tan sols l'<span class="negrita">any de referència</span>.</p>
<p>Prenem ara com a <span class="negrita">base 100</span> el valor de cada índex a l'any <span class="marron">2013</span>, i recalculem la taula, recordant que el <span class="violeta">Real Madrid</span> havia aconseguit un <span class="negrita">80%</span> més d'ingressos i un <span class="negrita">40%</span> menys de títols, i que el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> va incrementar els seus ingressos en un <span class="negrita">40%</span> i els seus títols van baixar un <span class="negrita">10%</span>.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzBdu7dgsby46X2SRyp-CeEIDkvfI73iUZZ0cPH6L9EHkCNlen06b6tdiBcqj6SkqBCjjhYRF0-JAdW8c0Tr4F9n5PEWsdyyBCmj8v4Hvc-gudqtVOsmadf-cuaYCf0JobYDxMcfRZwKQ/s1600/tablas2013cat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="182" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzBdu7dgsby46X2SRyp-CeEIDkvfI73iUZZ0cPH6L9EHkCNlen06b6tdiBcqj6SkqBCjjhYRF0-JAdW8c0Tr4F9n5PEWsdyyBCmj8v4Hvc-gudqtVOsmadf-cuaYCf0JobYDxMcfRZwKQ/s640/tablas2013cat.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<p> I ara veiem aquestes dades de forma gràfica.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2BLbnNhUYJgFbtOsPAO1Hjrxfqi1z54HOjG2LJwZ-x725kEGP7Z3hYFgF_dq-KLgC_Bd68DtfKo4K43K68eqK1PSRe1pkpXDm2gEic8XZDrhNAfDWmgDNsyxdJFKTXQR-8sJp9yqMIsE/s1600/comparativa2.cat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2BLbnNhUYJgFbtOsPAO1Hjrxfqi1z54HOjG2LJwZ-x725kEGP7Z3hYFgF_dq-KLgC_Bd68DtfKo4K43K68eqK1PSRe1pkpXDm2gEic8XZDrhNAfDWmgDNsyxdJFKTXQR-8sJp9yqMIsE/s640/comparativa2.cat.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<p> Podem veure com, mantenint les mateixes dades, i variant només l'any en què establim l'<span class="negrita">índex 100</span>, les conclusions són radicalment diferents: el <span class="rojo unidas">FC Barcelona</span> manté la mateixa evolució positiva, però l'evolució de la mitjana dels índexs del <span class="violeta">Real Madrid</span> esdevé clarament negativa amb aquesta nova perspectiva.</p>
<p> Així que els diaris de Barcelona podran utilitzar la mateixa estadística que els de Madrid per confeccionar sobre elles les seves portades.</p>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtt9MSUw1E_oqZSvAybQtTmWBOc2V3lP4nq6DuV49u-WWMiljLay0UDuiZIK8aC9wuZzQv_AlZfI2amas4jgyoqx7gf9rcH9_5xvTAfaF7gRSaL5OFRTgao-UNGLbFrNoqTP07gnfWC_k/s1600/periodicosport1.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtt9MSUw1E_oqZSvAybQtTmWBOc2V3lP4nq6DuV49u-WWMiljLay0UDuiZIK8aC9wuZzQv_AlZfI2amas4jgyoqx7gf9rcH9_5xvTAfaF7gRSaL5OFRTgao-UNGLbFrNoqTP07gnfWC_k/s320/periodicosport1.gif" width="265" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI3OzT69Wpbw0tJ3AOlfwM5CCp-ZIqeCLCSeNofK6KVQlj5UjlhvyPJdLOATlGqg-_YLsQlu4UHr09V-MuUEdDCYIq5bnk8eKGwyf5PehaC1Rr90RWV3nxZsKtXj30rTOJeE5XuciAuDw/s1600/periodicomundo1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI3OzT69Wpbw0tJ3AOlfwM5CCp-ZIqeCLCSeNofK6KVQlj5UjlhvyPJdLOATlGqg-_YLsQlu4UHr09V-MuUEdDCYIq5bnk8eKGwyf5PehaC1Rr90RWV3nxZsKtXj30rTOJeE5XuciAuDw/s320/periodicomundo1.gif" width="247" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<p class="tecnico">Amb l'exemple proposat, podem constatar que la simple elecció del valor o del moment que prenem com a <span class="negrita">índex, base o origen de coordenades</span> pot portar-nos a emetre conclusions molt diferents sobre les mateixes dades. O també podríem dir que gran part de les dades estadístiques poden ser tractats amb diferents mètodes fins ajustar-los a l'objetiu que volem demostrar.</p>
<p class="tecnico">Aquesta història és un homenatge a <span class="negrita tecnico">Durrell Huff</span> i el seu llibre <span class="negrita tecnico">‘How to lie with Statistics’</span> (Como mentir amb estadístiques). n seguidor de Matifutbol, al qual des d'aquí vull donar les gràcies, em va recomanar la seva lectura fa uns mesos.</p>
<p class="tecnico">Llibres com aquest aporten llum sobre determinats aspectes de l'Estadística i de la lògica, que haurien de ser a l'abast de tothom per poder desenvolupar-nos millor en el món d'avui, tan ple de dades, índexos i gràfics.</p>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-83605896870991681622013-06-15T10:44:00.000-07:002014-03-18T10:50:24.074-07:00Un problema de progressions<a href="http://www.matifutbol.com/ca/portes.html" target="_blank"><span style="color: red;">L'accidentada sortida de l'estadi</span></a><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuRdbCssMVIpLGRSx-NTeaTdp_iT6aMLppYB03-HFlKVOBwLX5ta9ZBFHBxE3CBM8t9A3TQsxo32lhMRnuZbvqxMpgY-zN8bqXESWbKMwJR0QanvC1dlP3qeyKJAQuogkVO7nWYGF7Q04/s1600/puertascerradas2.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuRdbCssMVIpLGRSx-NTeaTdp_iT6aMLppYB03-HFlKVOBwLX5ta9ZBFHBxE3CBM8t9A3TQsxo32lhMRnuZbvqxMpgY-zN8bqXESWbKMwJR0QanvC1dlP3qeyKJAQuogkVO7nWYGF7Q04/s1600/puertascerradas2.jpg" /></a><br />
<div>
<br />
<div>
15/06/2012</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un problema amb les portes de sortida a la final de la Eurocopa 2012 en Kiev ens porta a una endevinalla sobre les progressiones artimètiques i geomètriques.<br />
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Clica <a href="http://www.matifutbol.com/ca/portes.html" target="_blank">aquí</a> per a veure la història.<br />
<br /></div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-69065714324874472772013-04-15T09:01:00.000-07:002014-03-19T09:02:47.135-07:00Forats negres matemàtics<a href="http://www.matifutbol.com/ca/foratnegre.html" target="_blank"><span style="color: red;">Un forat negre... i vermell</span></a><br />
<br />
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJEZ0J0SdjIfrQLjmsIOPOUKroAHw4J9KxQeJzGtFqcU-R8Gsu3Y5KbS3lt98mpVOSjKLV7mTMZgg9uclblS4vPDrJawCCbTcmoYD-lcKatd00iNa8J6MVUrcWhP-0RRfc3CCNP3OtX4o/s1600/berlusconi2.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJEZ0J0SdjIfrQLjmsIOPOUKroAHw4J9KxQeJzGtFqcU-R8Gsu3Y5KbS3lt98mpVOSjKLV7mTMZgg9uclblS4vPDrJawCCbTcmoYD-lcKatd00iNa8J6MVUrcWhP-0RRfc3CCNP3OtX4o/s1600/berlusconi2.jpg" /></a></div>
15/04/2013<br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Gràcies al sorteig de la recaptació d'un partit de futbol descobrim que n'hi ha nombres que atreuen als restants de tal forma que no poden escapar d'ells.<br />
<br />
Seqüències matemátiques que ens conducen a veritables forats matemàtics.<br />
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Clica <a href="http://www.matifutbol.com/ca/foratnegre.html" target="_blank">aquí</a> per a veure la història.<br />
<br />
<br /></div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5502398936765727119.post-86019770607678220912012-09-19T10:48:00.000-07:002014-03-22T10:52:03.970-07:00Sir Alex Ferguson i Champernowne<a href="http://www.matifutbol.com/ca/llapis.html" target="_blank"><span style="color: red;">El llapis fantàstic de Sir Alex Ferguson i el nombre de Champernowne.</span></a><br />
<br />
<div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVGpWGv9hKqVMzJmV4hzy6EhR9zVsRSsMYnB7D2Y7BQar5TSyU4ucTEpfooqnjnkSgxMox0k9_c4-2JBdL7W8D7T8NBY7Nvlxj-P2fKjXklOftxBzvVG6ST4zahgm9k2PPVolU9YLnmgo/s1600/golmundial.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVGpWGv9hKqVMzJmV4hzy6EhR9zVsRSsMYnB7D2Y7BQar5TSyU4ucTEpfooqnjnkSgxMox0k9_c4-2JBdL7W8D7T8NBY7Nvlxj-P2fKjXklOftxBzvVG6ST4zahgm9k2PPVolU9YLnmgo/s1600/golmundial.jpg" /></a>19/09/2012</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un exemple ambientat al món del futbol i basat en la capacitat memorística d'un excel·lent entrenador ens introdueix en el concepte i en les implicacions pràctiques del nombre de Champernowne.</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Clica <a href="http://www.matifutbol.com/ca/llapis.html" target="_blank">aquí</a> per a veure la història.<br />
<br />
<br />
<br /></div>
WTF1968http://www.blogger.com/profile/04231956917589692209noreply@blogger.com0