Arbres i googols al Mundial 2014

Un nou còctel matemàtic que té com a protagonistes el Mundial de Futbol de Brasil, els distints sistemes de competició, la sèrie de Wedderburn-Etherington i la topologia arbòria.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 5.4 Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog Gaussianos.)

PRIMERA PART

Hi ha un gran enrenou abans que comenci el Mundial de Futbol de Brasil 2014, ja que el Comitè Organitzador ha decidit introduir una modificació d'última hora.

Volen aconseguir que participin més països que els 32 ja classificats per a la fase final del torneig. Hi han moltíssimes seleccions que han quedat fora del Campionat.

Donada l'enorme expectació que genera aquest Mundial, i la decepció de nombrosos països per no haver pogut classificar-se'n, els organitzadors del Mundial han decidit ampliar el nombre de seleccions que podran competir-hi.

El calendari de competició establert inicialment per als 32 països era el següent: una primera ronda amb sistema de lliga amb 8 grups de 4 països, dels quals es classifiquen els 2 primers de cada grup. 

Els 16 equips així classificats s'enfrontaran entre sí pel sistema d'eliminació directa fins a la final, a la qual el vencedor s'emportarà la Copa del Món.

No obstant això, si volen afegir més països, i que el campionat no es perllongui excessivament, han d'adoptar necessàriament un nou sistema de competició, descartant els grups inicials i realitzant partits eliminatoris des d'un principi.

A més, donada la disponibilitat dels diferents estadis de futbol i els problemes de logística, han determinat que, dels 64 partits que es preveia disputar amb l'antic sistema, com a màxim es podrien jugar 60 partits.

El Comitè Organitzador ha arranjat una reunió amb diversos experts del Departament de Matemàtiques Aplicades del Ministeri d'Educació.

En aquesta reunió, el president del Comitè els hi explica a la resta d'assistents el parell de problemes que es presenten:

- El primer d'ells és determinar el nombre màxim de participants que hi pot haver si es celebren un total de 60 partits. Volem que vinguin la màxima quantitat possible de països. Així, d'una banda, tindrem més visites de turistes procedents dels països participants, i d'altra banda, tindrem més ingressos pels drets de televisió dels que decideixin veure’l des de casa.

- El segon és analitzar de quàntes formes diferents s'hi pot realitzar aquest torneig amb eliminatòries directes.

- A què et refereixes exactament?

- Vull dir que el campionat es pot disputar de moltes formes. Per exemple, pot haver 8 caps de sèrie, i que la resta de països competeixin entre ells fins que restin només 8 equips que s'enfrontin amb els caps de sèrie en vuitens de final. Així, si representem els partits a disputar com petits estadis rectangulars de color verd, i als equips participants amb una samarreta i un pantaló de futbol blau, l’esquema de competició quedaría d’aquesta forma:

- O que hi hagi només 4 caps de sèrie, i que la resta s'eliminin fins que restin tan sols 4 seleccions que s'enfrontin amb ells.

- O que hi hagi tan sols 1 cap de sèrie (el país organitzador, és clar), i que la resta s'eliminin fins que quedi només un, que jugarà amb nosaltres la final. A la fi, totes les possibles variants que se us acudeixin.

- Entès. Però... no serà possible... És molta feina... per tan poc temps com resta.

- No vull excuses. Va, posem-nos mans a l'obra, i demà ens reunim novament aquí.

Després de la reunió, el cap del Departament de Matemàtiques Aplicades es mostra molt preocupat pels problemes plantejats. Voldries ajudar-lo?

SEGONA PART

Al dia següent, tornen a trobar-se'n els experts matemàtics i els membres del Comitè Organitzador.

- Anem-hi a intentar resoldre la primera qüestió. Què em dieu? Quin és el màxim nombre de països que podem convocar si es celebren 60 partits?

- Bé, crec que el millor serà confeccionar un quadre, com als tornejos de tennis. Representarem la final amb un petit camp de futbol, com vam dir anteriorment, i d'ell partiran 2 línies cap als dos equips que la disputaran. Ja tenim 1 partit.

- Ara substituïm les samarretes que representen els equips per altres dos camps de futbol, que representaran els 2 partits de semifinals. De cada un d'ells tornaran a partir 2 línies, cap als equips que les disputen. I si sumem aquests dos partits al partit de la final, ja comptem amb 3 partits en total.

- Seguim així amb els 4 partits de quarts de final, els 8 partits de vuitens de final, i els 16 partits de setzens de final. Ara tenim un total de 1+2+4+8+16 = 31 partits.

- Ens resten 29 partits per completar els 60 que volem que es disputin en el campionat. Així que no es poden celebrar tots els 32 partits de trenta-dosens de final, ja que tindríem un total de 31 + 32 = 63 partits. Podeu comptar els camps de futbol a l'esquema, per comprovar-hi que són 63.

- Ens sobren 3 partits. Així que eliminem 3 partits, fent que hi hagi 3 equips que es classifiquin directament per setzens de final.

- Ara comptem els equips que participaran al torneig: són les samarretes que pengen com fulles als extrems de cada branca.

- És veritat, l'esquema del torneig s'assembla a un arbre. Bé, després de comptar-los, em surten 61 samarretes, és a dir, que poden participar fins a 61 països, oi?

- És ben cert, sempre que el torneig s'organitzi amb aquest esquema de competició. Però, i si fem servir uns arbres diferents del que hem confeccionat? Si volem que hi hagi 8 caps de sèrie que comencin la seva participació en vuitens de final, o si volem que hi hagi 4 caps de sèrie, respetant sempre que siguin 60 partits els que es celebrin, els arbres serien els següents:

- Què passaria ara? Participarien d'aquesta forma més o menys països? I si se'ns ocorreixen altres arbres diferents dels que hem pintat?

- Doncs en aquests dos exemples són també 61 països, però no sé què passaria amb la resta d'arbres que puguem formar...

- Sempre serien 61 països, encara que per demostrar-ho recorrerem a un procediment prou singular.

- Anem a comptar el països segons hi siguin eliminats i se'n vagin cap a casa. A tots els partits d'eliminació directa, hi haurà sempre un perdedor, que ja no jugarà més partits. Només hem de pensar que en 60 partits hi haurà 60 països 'perdedors', als quals haurem de sumar el que guanyi la final, que també se n'anirà a casa, però més content. Per tant, sempre hi haurà 61 països, independentment de la forma que adopti el calendari de competició.

- O podem veure-ho d'una altra forma: si en cada partit que hem representat amb un camp de futbol, pensem que l'equip que guanya l'encontre i passa a la següent fase ocupa la meitat més fosca, mentre que el perdedor ocupa la meitat pintada amb verd més clar, podem comprovar que en 60 partits hi han 60 meitats més clares, corresponents als 60 equips eliminats, als quals cal sumar l'equip que ha guanyat el torneig, i que sempre ha ocupat la zona fosca del camp. En total, 61 equips. I donarà el mateix l’arbre de competició que formem.

- A més, si encara no ho veieu massa clar, podéu veure el fenomenal article: Cuántos partidos hay en un torneo de tenis? de José Cárlos Gámez a Matemáticas Digitales.

- Doncs és veritat. Així que ja podem donar per resolt el primer problema d'esbrinar el màxim nombre de països que poden participar.

- Ara anem a veure la segona qüestió: veure de quàntes formes diferents s'hi pot organitzar el campionat. Dit d'una altra manera, hem d'avaluar els diferents arbres que podem confeccionar per organitzar el campionat amb 61 països.

- Bé, no sembla molt difícil. Anem a començar amb un campionat sense equips. No n’hi ha cap forma d’organitzar un campionat amb zero equips, oi?

- Ara pensem en un campionat amb un sol equip. És molt fácil. Tan sols hi ha una forma de fer-ho: li donem el trofeig a l’equip, i ja hi som.

- Amb 2 equips, tots dos jugarien la final, i ja hi és. Només hi hauria una forma d'organitzar-lo.

- Correcte.

- Amb 3 equips, també només hi ha una forma possible d'organitzar l'esdeveniment: primerament s'enfronten 2 equips entre si, i després el guanyador juga amb el tercer equip, no?

- Efectivament. Però, si en comptes d'enfrontar en primera ronda al primer equip amb el segon, fem que s'enfrontin el primer amb el tercer, o el segon amb el tercer, llavors tindriem altres 2 esquemes de competició diferents, no?

- No. És cert que els equips que s'enfrontarien serien diferents, però l'esquema de competició seria el mateix: primerament juguen dos, i el vencedor juga amb l'equip restant. De moment, el que ens interessa és esbrinar quants esquemes diferents es poden confeccionar i decidir-nos per un d’ells. Després ja veurem la forma de col·locar a cadascuna de les seleccions dins d’aquest esquema, d'acord? Així que els seguim pintant del mateix color a tots els equips, ja que no els volem diferenciar.

- Perfecte. Ara treballarem amb 4 equips. El més normal és fer que s'enfrontin entre ells en 2 semifinals, i que els guanyadors passin a la final.

- Però existeix una altra manera d'enfrontar-los, eliminant-se d'un en un.

- Així que, amb 4 equips, tenim 2 arbres diferents. Anem a veure amb 5 equips: hi ha 3 possibles maneres.

- I amb 6 equips, se m'ocorren 6 formes possibles.

- Amb 7 equips podem formar 11 arbres diferents. Amb 8 hem construit 23 arbres i amb 9 podem disenyar 46 arbres. Però cada cop resulta més difícil dibuixar les diferents opcions. Crec que d'aquesta forma no arribarem enlloc...

- Potser hauriem de trobar alguna formula per a calcular quants arbres diferents es poden formar amb 61 competidors. Per això, estudiarem la sèrie que portem fins ara per veure si podem deduir quins seran els següents termes.

- Doncs no sembla pas que els nombres obtinguts segueixin cap tipus de seqüència matemática. Potser hauriem de buscar a l’internet una solución pel nostre problema.

- Sí, però el primer que hem de fer és definir exactament què és el que busquem.

- Bé, aquests arbres que estem dibuixant s’anomenen ‘grafs’ en termes matemàtics. I com tenen una forma jeràrquica que s’assembla a la d'un arbre (o d'una arrel), també en matemàtiques se’ls coneix perl nom d’arbres.

- A més, són uns arbres molt especials, ja que de tots els petits estadis (que anomenarem nodes) que representen els partits, parteixen 2 línies (branques o fills). No hi por haver un partit al què s’enfrontin més de 2 equips, així que parlarem d'arbres binaris, ni tampoc es pot jugar un partit amb un sol equip, per tant, diem que es tracta d’arbres estrictament binaris.

- Per altra banda, no ens importa l’ordre de les diferents branques, ja que ens hi fixem en l’estructura de l’arbre, i ens és igual de moment qui jugui els partits, com ja hem dit abans. Així que estem parlant d’arbres estrictament binaris no ordenats.

- Ja només cal utilitzar el cercador d’internet, posar ‘quants arbres estrictament binaris no ordenats es poden formar’ i esperar els resultats...

- Doncs no hi han molts resultats. A més, no em sembla que s'hi ajustin prou al que estem buscant. O potser no estem enfocant correctament el problema.

- Hauriem de reprendre novament la sèrie d’arbres que haviem calculat prèviament:

0 1 1 1 2 3 6 11 23 46 98

- I la introduirem en aquesta utilíssima pàgina web, que reconeix tota mena de sèries a partir dels seus termes:

- Ahà! Aquí tenim la solució: es tracta de la sèrie A001190 de Wedderburn-Etherington. Podem comprovar que, entre les utilitats descrites per aquesta sèrie, trobem la de calcular el nombre de possibles calendaris de competició diferents que es poden formar amb un nombre determinat de participants.

- Ara només hem de clicar a l’enllaç on T. D. Noe elabora una taula amb els 200 primers termes de la sèrie, i obtenir el resultat corresponent a 61 equips: 

844206159208807054529

- Deu n’hi do! Quin nombre! Li posarem els punts, per tal de fer-nos una idea més precisa de la seva grandària.

844.206.159.208.807.054.529

- Més de 844 trilions d’arbres diferents! Ni a la selva amazònica n'hi han tants d'arbres!

- Sembla un nombre prou gran. I vam dir que hauriem d’estudiar tots el casos per veure quin sistema adoptem, oi? Em sembla que haurem de treballar les 24 hores.

- Bé, pensem-hi una mica. Si un/una de nosaltres li dedica 1 minut a cada arbre, i no menja, ni dorm, ni descansa, necessitarà un total de 160.617.610.995.447 anys.

- Caldrà posar a treballar a tot el Departament.

- Què va, encara que tots el brasilers (més de 201 milions de persones) ens ajudessin en aquesta tasca, trigariem 7.989.625 anys en aconseguir-la.

- Bé, com que a gairebé totom li agrada el futbol, què tal si demanessim l’ajut de tota la població mundial?

- En aquest cas, tan sols es trigarien 221.987 anys per estudiar durant 1 sol minut cadascuna de les possibles formes d'organitzar el nostre campionat de 61 equips.

- Per cert, suposo que te'n recordes de quan vaig comentar que no ens interessava diferenciar els distints equips, i que haviem de centrar-nos tan sol en l'estructura del campionat, veritat?

- Sí, encara que no vaig entendre molt bé per què.

- Anem a retomar el tema per un moment. Tenim 61 equips, així que volem saber les distintes formes en que podem ordenar-los. En Matemàtiques, parlem de les permutacions que es poden donar en un conjunt de 61 elements.

- Això és. I és fàcil de calcular-les. El primer equip que triem pot ser qualsevulla de les 61 seleccions. Per a cada una d'elles, el segon equip l'agafarem aquesta vegada entre les 60 restants. Per a cada una d'aquestes combinacions de 2 equips, tindrem ara 59 equips entre els que triar el tercer païs. I així successivament.

- Per tant, el nombre total de permutacions dels 61 països serà igual a:

61 · 60 · 59 · 58 · ..... · 3 · 2 ·1 = 61!

- Efectivament, per abreujar utilitzem l'expressió 'factorial de 61', que representem amb el símbol d'admiració. I si fem el càlcul, obtindrem el següent resultat:

61! = 5,0758 · 10 ⁸³

- O sigui, un cinc seguit de 83 xifres més. Si el nombre d'arbres ja et semblava enorme (8,4421 · 10 ²⁰), imagina't com serà aquest. I si multipliquem el nombre d'arbres pel de les formes d'ordenar els distints països dins d'ells, obtindrem un preciòs nombre:

4,2850 · 10 ¹⁰⁴ = 42.850 · 10 ¹⁰⁰

- Quaranta i dos mil vuitcents cinquanta gúgols de formes distints d'organitzar el nostre campionat! Hem de recordar que un googol es més gran que el nombre d'àtoms d'hidrògen que existeixen a l'univers conegut...

- Uff. Llavors crec que el millor será emprar el sistema tradicional: 29 partits de trenta-dosens, lliurant a tres països d’aquesta primera ronda, i eliminatòries completes des de setzens.

- Els 3 països exents serien Brasil, i altres dos.

- És clar!

- Anem-hi! Ara toca decidir quins països convidem a participar al Mundial, per completar el quadre de 61 equips. I també hauriem de pensar en organitzar quelcom original per a la cerimònia d'apertura Què us aseembla si donem uns balons que omplin tot l'estadi?

- D'acord. Però abans, si algú està interessat en aquest tema de les estructures arbòries, aquí us deixo uns enllaços per aprofundir en ell: Matemáticas para computadora, Estructuras de datos, Árboles.

- Y més abaix us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.

- Adeu siau. I que guanyi el millor!

Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en menéame y divoblogger. Muchas gracias.

Esmorzar amb Matemàtiques

PRIMERA PART

Zlatan Ibrahimovic està trist, molt trist. Això és perquè creu que té pocs amics al seu equip. 

Quan fa un repàs als seus companys d'equip, se n’adona que gairebé tots els seus amics tenen més amics que ell. I no només als entrenaments o al vestuari, sinó que també tenen més seguidors i amics a les xarxes socials ( Facebook, Twitter, Linkedin, Google+ ... ). 

S'ha fet el ferm propòsit de canviar aquesta situació al llarg d’aquesta temporada, així que busca algú qui li aconselli sobre què ha de fer per a aconseguir més amistats. Així que queda amb el seu company Thiago Silva per esmorzar a Les Deux Magots i parlar sobre el tema.

Fa un dia esplèndid a París, i ambdòs s’hi asseuen a la terraça per prendre un magnífic esmorzar. Zlatan li planteja el problema a Thiago:

Els meus amics són molt més populars que jo. M'he adonat de que tenen més amics, i m'agradaria fer quelcom per tenir tantes amistats com ells. 

Thiago li respon de la següent manera:

No hauries de preocupar-te’n pel que em dius. És una cosa molt habitual, que no té res a veure amb tu. Es tracta d'un problema estrictament matemàtic. 

Creus tu també que la culpa és de les matemàtiques? Pensa-ho un moment, i passa a veure la solució a la segona part.

SEGONA PART

Doncs, com bé diu Thiago, es tracta d'un simple problema matemàtic, i no d'una altra índole. Vegem com s’ho explica Thiago a Ibra:

Coneixes la paradoxa de l'amistat? Segons aquesta, ho més probable és que els teus amics tinguin més amics que tu...

Bé, algun cop he sentit que les persones normalment tendim a fer-nos amics d'aquelles persones que tenen molts amics, i en menor mesura de les que tenen pocs amics...

Sí, això ho va dir el psicòleg Satoshi Kanazawa: la gent sol establir amistat més freqüentment amb persones que tenen molts amics que amb aquelles altres que tenen pocs. Encara que no es tracta d'això exactament, sinó que més aviat hauriem de fixar-nos en els estudis del sociòleg Feld.

És aquest Feld qui va descobrir la paradoxa de l'amistat?

Sí. En realitat, la paradoxa de l'amistat de Feld és una propietat de la Teoria de Grafs, per la qual s'estableix que és molt probable que els nostres amics tinguin més amics dels que tenim nosaltres...

Com és això?

Thiago agafa una llibreta i comença a escriure sobre el paper les relacions d'amistat dels components de l’equip.

Anem a veure-ho de forma gràfica. Escriurem en aquest paper els 11 jugadors que normalment són titulars de l'equip (llista de la dreta).
Ara anem a representar gràficament les relaciones d’amistat entre ells. Als jugadors els hi identificarem amb un cercle blau (vèrtexs), i ficarem dins del cercle el nombre del seu dorsal. Els que siguin amics, els unirem mitjançant una línia vermella (arestes).

I al costat de cada jugador contarem el nombre d'amics que té (línies vermelles) i l'escriurem en color lila. D'aquesta forma podem veure gràficament totes les relacions d'amistat existents a l'equip.

Com pots veure, tú ets el cercle blau amb el nombre 10 dins d’ell. De ti parteixen 3 línies vermelles cap als teus 3 amics: Pastore (27), Lucas (29) i Lavezzi (22). I per això he escrit un 3 de color lila al costat del teu cercle, perquè tens 3 amics.

Ara, a partir d’aquest gràfic anem a confeccionar una taula, de la següent forma. A la línia corresponent a cada jugador apuntarem, a les caselles on es creua la seva fila amb les columnes dels seus amics, el nombre d’amics que tenen aquests. A la taula de la dreta, a la primera columna hi ficarem el total d’amics (relacions o línies vermelles) que té cada jugador. A la segona columna sumarem tots els amics dels seus amics. I a la tercera columna calcularem la mitjana dels amics dels seus amics, dividint la suma dels amics dels amics entre el nombre d’amics.

Anem-hi primerament amb tu, Ibra, que ets el nombre 10. Fixa't en la fila del 10: tens 3 amics, que són Lavezzi (22), Lucas (29) i Pastore (27). Lavezzi (22) té 3 amics, així que hem col·locat un 3 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la columna 22. Lucas (29) té 7 amics, així que escribim un 7 a la casella on es creua la teva fila 10 amb la seva columna 29. I Pastore (27) té 2 amics, així que hem escrit un 2 a la casella corresponent.

Doncs així procedirem amb tots els jugadores, i veiem què és el que passa a la taula de la dreta.

Si ens fixem en quants jugadors tenen més amics que la mitjana dels seus amics, veiem en color vermell que, sorprenentment, tan sols hi han 3 jugadors (23, 2 i 29) que tenen més amics que la mitjana dels seus amics (el nombre de la primera columna és major que el de la tercera), i els 8 restants tenen menys amics que la mitjana dels seus amics. I com podem comprovar, la mitjana total d’amics 

42 / 11 = 3,82 

és prou inferior que la mitjana total dels amics dels amics:

182 / 42 = 4,33

I per què passa això?

Això té alguna cosa a veure amb les propietats de la mitjana geomètrica i de la variància estadística. Agafarem un altre paper, i ens hi centrarem tan sols en les relacions d'amistat que tenen entre els 4 defenses.

Veiem que Van der Wiel (23) té 2 amics, Jallet (26) té 2 amics, Maxwell (17) té solamente 1 amic, i jo, Thiago (2), tinc 3 amics.

Calculem la mitjana d'amics que tenen els defenses: (3+2+2+1)/4 = 2. Comprobem que els defenses en general tenen 2 amics de mitjana cadascú d'ells.

Ara anem a calcular la mitjana d'amics dels amics que tenen els defenses. Van der Wiel (23) té 2 amics, que tenen 2 i 3 amics, respectivament. Jallet (26) té dos amics, els quals tenen 2 i 3 amics. Maxwell (17) té un amic, qui té 3 amics. I jo (2) tinc tres amics, amb 2, 2 i 1 amic, respectivament.

Així, tenim les dades següents:

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3. 

Les reordenem així:

3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

I calculem la mitjana:

(3+3+3 + 2+2 + 2+2 + 1) / 8 = 

(3·3 + 2·2 + 2·2 + 1·1) / 8 =

(3² + 2² + 2² + 1²) / 8 = 

2,25

Veiem com també, de forma aparentment sorprenent, la mitjana d'amics dels amics dels defenses és 2,25, superior a la mitjana d'amics dels defenses que vam calcular abans, i que donava 2.

Doncs és veritat. I això passa sempre?

Sí, sempre. Llevat que tots tinguin el mateix nombre d'amics. En aquest cas les dues mitjanes són iguals.

I per què passa això?

Suposo que t’has adonat, quan he calculat la mitjana d'amics dels amics, de que he reordenat d’una forma especial les dades que teniem.

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3   →   3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

Sí, m'he fixat. Per què ho has fet ?

Ho he fet perquè veiessis el següent: les persones que tenen molts amics les incorporem dins de la suma moltes vegades, de fet, tantes vegades com amics tenen (3 cops el nombre 3), mentre que les persones que tenen pocs amics les hi incloem en menor mesura (1 vegada el nombre 1). Això vol dir que dins de la mitjana, tenen més pes aquelles persones que tenen més amics (3+3+3+2+2+2+2+1), i per això puja la mitjana global.

Però, a la mitjana dels amics, només les hi sumem una vegada (3+2+2+1), és a dir, tenen el mateix pes tan qui té molts amics com qui té pocs.

Ara ja ho entenc, però no acabo de veure que una mitjana hagi de ser més gran que l'altra per aquest motiu.

Bé, doncs anem-hi llavors a la demostració matemàtica.

Anomenem x_i al nombre d'amics del jugador i, i μ a la mitjana d'amics dels n jugadors de l'equip, que serà igual a:

Ara anem a veure com calculem la mitjana dels amics dels jugadors. Ja hem vist a l'exemple dels defenses a què correspon la suma dels amics dels amics, concretament a ∑(x_i²), i que el nombre total d'amistats entre ells és ∑x_i. Pel qual la mitjana dels amics dels amics, què anomenarem μ' serà:

Ens resta per esbrinar si μ es major, menor o igual que μ'.

Per això utilitzarem la fórmula de la variància estadística (σ²). Sabem que:

D'aquí es dedueix que:

Dividim per ∑(x_i) ambdòs termes i ens resta:

Així que:

O el que és el mateix: μ' = μ + un valor que ha de ser major o igual que zero, ja que la variància estadística és sempre positiva, tal com ho és la mitjana d’amics.

Per tant, en un grup la mitjana dels amics dels amics sempre serà major o igual que la mitjana dels amics.

Bé, amb aquesta explicació matemàtica definitivament m'has convençut. I tots aquests estudis serveixen per a alguna cosa més que perquè la gent no es deprimeixi per tenir menys amics que els seus amics?

Bé, això té múltiples aplicacions en molts altres àmbits de la vida... Per exemple, s'utilitza pel control de malalties. Així, a nosaltres ens fan de forma periòdica controls de sang per saber si tenim alguna malaltia contagiosa. Per això, tots els mesos el club tria 5 jugadors a l’atzar i els realitza l’analisi. Veritat que ara pots imaginar una forma millor de fer aquests controls?

Crec que sí...

Doncs és cert, haurien de triar 5 jugadors a l’atzar, i que aquests els indiquessin el nombre dels seus amics. Com aquests amics segur que tenen una mitjana d'amics superior a la dels triats inicialment, també tindran una probabilitat molt més gran de ser infectats, ja que al tenir més amistats estan més exposats al contagi. D'aquesta manera aconseguim una mostra de jugadors més significativa que si la seleccionem a l'atzar.

Justament això és el que estaba pensant. 

t

Així és como es fan certs controls sanitaris en col·legis, hospitals, residències de majors, etc. Altra aplicació val també per quan algú vagi a un gimnàs no es desmoralitzi perque vegi que la majoria de la gent està en millor forma que ell... Això, Ibra, no ens passa a nosaltres, oi? En aquest cas el que han de pensar és que, quan fan una ullada a la gent que està al gimnàs, la mostra que estan extraient està esbiaixada, ja que el més probable és que la gent que veuen són aquells que passen més hores allà i que, per tant, estan en millor condició física.

També podem utilitzar aquest tipus de mostra per altres coses. Donat el cas, és una tècnica prou útil pels nens que col·leccionen cromos de futbolistes como nosaltres. Poden aplicar la paradoxa de l'amistat per completar millor els seus àlbums. Normalment, quan tenen cromos repetits intenten canviar-los entre els seus amics. Però així gairebé mai aconsegueixen completar la seva col·lecció.

És millor que al pati s'acostin a uns quants nens triats a l'atzar i els demanin que els presentin als seus amics, perquè així aconseguiran intercanviar els seus cromos amb els nens més populars del col·legi que, com tenen més amics, també tenen més possibilitats de tenir aquests cromos que els manquen. Encara que hauran de tenir molt de compte per que no els hi contagiïn qualsevulla malaltia...

Y així pots entendre también per què quan anem de vacances a la platja, ens trobem que normalment són prou abarrotades. On són aquestes platges paradisíaques i desertes que apareixen als catàlegs de viatges? Un cop més, hi han moltes probabilitats de que la playa a la què hi anem sigui plena de gent, i molt poques de que sigui pràcticamente deserta, degut a aquesta paradoxa.

Llavors, no m'he de preocupar per tenir tan pocs amics, oi?

En absolut. Ja veus que passa a tot arreu. No només al Paris Saint Germain, ans a tots els equips: al Real Madrid, AC Milà, Manchester United, L.A. Galaxy, Santos, FC Barcelona... I li passa a gairebé tots els jugadors: Cristiano Ronaldo, Neymar, Falcao, Messi...

De veritat? -pregunta Ibra esbossant un tímid somriure-. Crec que després d'aquestes explicacions, i veient que se'ns ha fet molt tard, bé mereix que et convidi a un bon menjar a un restaurant que conec...

Sí, però abans apunta aquests enllaços, per si ets interessat en conèixer més sobre el tema de la paradoxa de l'amistat: 'Yo quiero tener 42 amigos' de Clara Grima y Raquel García, o 'La paradoja matemática de forever alone' de Ciencia Explicada.