Espirals i ruletes

El cap d'any no seria igual sense els confetis, unes espirals que es converteixen en hèlices quan les llancem a l'aire. Hi ha milers d'exemples de corbes matemàtiques que ens acompanyen sense que ens hi adonem: espirals d'Arquimedes, espirals logarítmiques, espirals de Fermat, clotoides ... si parlem de dues dimensions. I hèlices cilíndriques, còniques, esfèriques... si pensem en tres dimensions. Abans de les 12 campanades, algunes d'aquestes corbes es creuaran en el camí de Pep Vitruvi. 

(Aquesta entrada participa en l'Edición 6.9: El conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és, en aquesta ocasió, ::ZTFNews.org).

PRIMERA PART

Els equips de l'AS Mònaco i del Las Vegas Mobsters van a disputar un partit benèfic el dia de Cap d'Any, a favor de les víctimes del mètode de Montecarlo.

Els jugadors es disposen a saltar al terreny de joc per començar a realitzar l'escalfament, quan el delegat del club s'adona que no han tret les pilotes.

L'encarregat del material ha agafat uns dies de vacances, així que van a recollir les claus del magatzem de material al seu despatx, però en el seu lloc, en comptes de les claus, han trobat un disc nadalenc penjat de la perxa. Intenten cridar-li per telèfon, però no hi ha manera de contactar amb ell.

Es tracta d'una persona a la qual li agraden les endevinalles, de manera que el detall del disc pot ser que no tan sols representi la seva felicitació del nou any als seus companys, sinó que a més suposi algun tipus de pista per trobar la ubicació de les claus.

- Pep Vitruvi havia acudit a l'estadi per veure el partit, així que el president el convida a baixar amb ell als vestidors per veure si poden solucionar el problema.

- Vaja, un disc d'U2! New Year's Day! Quina cançó tan bella per festejar l'any nou!

- Sí, però seria encara més bonic si en el seu lloc hi hagués unes claus. Amb el disc no podem obrir la porta del magatzem on guardem els pilotes.

- I, què voleu que faci jo? Seria millor que avisàreu a un manyà.

- Ja, però és que avui és Cap d'Any, i no hi ha cap professional disponible. Quan vulguem trobar algú que vulgui venir a obrir la porta, ja s'haurà passat l'hora del començament del partit.

- Jo no sé res d'obrir portes...

- Però sí d'endevinalles. I estem convençuts que el disc n'és una. A més, al responsable del material li encanten les matemàtiques, així que de segur que ha d'haver-hi alguna relació.

SEGONA PART

- Heu provat a escoltar el disc, per veure si conté algun missatge gravat en què indiqui el lloc on ha deixat les claus?

- Afortunadament encara conservem un vell tocadiscs al club. L'hem utilitzat, i l'únic que s'escolta és la cançó. És estrany que hagi deixat un disc de vinil, i no alguna cosa més moderna com un CD o un format digital.

- Pot ser que aquesta sigui la pista.

- Ah, sí?

- És possible. Vosaltres sabeu com està gravat un disc de vinil?

- Doncs no.

- A diferència dels discs compactes, en un disc de vinil la informació està gravada en una sola pista. Es tracta d'una espiral, que l'agulla lectora va recorrent des de la vora del disc fins al seu centre.

- Així que es tracta d'un únics solc, no?

- Efectivament. Aquest tipus de corba té una denominació especial en Matemàtiques. Se li anomena espiral d'Arquimedes, ja que aquest antic savi grec la va descriure en els seus tractats..

- Ja gravaven llavors la música en discs?

- No. Arquimedes la va utilitzar per als seus estudis sobre la quadratura del cercle...

- ¿I només val per això?

- Té múltiples aplicacions. S'utilitza en els mecanismes dels compressors d'aire condicionat, en certes proves per al diagnòstic de malalties neurològiques, per calcular les concentracions de bacteris, o per temes realment importants com comptar els metres de paper higiènic que conté un rotllo, per exemple.

- Ja veig. M'imagino que les fórmules que s'utilitzaran per a la seva descripció seran molt complexes, no?

- Depèn. Si la definim en coordenades polars (r,θ), ens resta una expressió molt senzilla:

r = a + b·θ

- És veritat, sembla senzilla, però no entenc res.

- La fórmula defineix la distància (r) de l'origen que està cada punt de la corba, en funció de les voltes que vagi donant (θ) i d'un coeficient (b), que quan més gran sigui, major serà la distància entre les voltes de l'espiral.

- Doncs no era tan complicat. Però crec que estem donant voltes a l'assumpte de la mateixa manera que l'espiral d'Arquimedes, sense arribar a cap conclusió.

- Bé, crec que hauríem de buscar algun lloc de l'estadi on puguem trobar una altra espiral d'Arquimedes.

- Hmmm. No se m'acut.

- Doncs a mi sí. Just a l'entrada he vist un magnífic arbre de Nadal. M'he fixat en la disposició de les llums, i he vist que formaven una espiral d'Arquimedes perfecta.

- Ah, sí?

- Bé, no exactament. Es tractaria més exactament d'una hèlix cònica, ja que és una corba contínua que es desenvolupa en tres dimensions. Però si observem l'arbre des de dalt, i projectem l'hèlix en només dues dimensions, veurem que les bombetes estan disposades segons l'espiral d'Arquimedes.

- Qui va muntar aquest arbre?

- L'utiller.

- Bé, doncs ja anem acostant-nos a la solució.

- Però, on les pot haver amagat? Penjades d'una branca?

- No crec. Potser són a dins d'alguna de les boles que adornen l'arbre. Si us fixeu, totes tenen un nombre.

- Sí, però en quina estaran? No tenim temps de trencar totes les boles per veure si dins d'alguna d'elles hi són les claus.

- No ens ha deixat més pistes, llevat del disc amb l'espiral d'Arquimedes. Així que hauríem de centrar-nos en ella. A aquesta espiral també se la coneix per un altre nom: ruleta d'Arquimedes...

- Ah! Ara que ho esmentes, recordo que abans de treballar pel nostre club, l'encarregat de material va estar empleat com a crupier del Gran Casino. Potser hi hagi algun tipus de relació amb la ruleta que dius.

- És possible. La ruleta és un joc inventat pel matemàtic Blaise Pascal, qui a més va crear les seves normes al segle XVII, sense que aquestes hagin variat substancialment des de llavors. La novetat més important introduïda va ser la d'incloure, al costat dels 36 números existents, vermells i negres, pels quals els jugadors poden apostar, un nombre extra, el zero, exclusiu del casino, amb el qual aquest aconsegueix els seus beneficis.

- Atès que ell va treballar com crupier al casino, potser hauríem d'obrir la bola amb el número 37.

- Quin nombre tan lleig!

- No hi ha números lletjos, i menys aquest. És un nombre fascinant, ja que, a més de ser primer, és divisor de tots els números repdigit de tres xifres.

- Números repdigit?

- Sí, nombres en els quals s'hi repeteix sempre la mateixa xifra: 111, 222, 333 ...

- Està bé. Provem amb la bola 37.

- Doncs és veritat: aquí estan les claus! Aneu de seguida a treure les pilotes del magatzem perquè es pugui disputar el partit.

I nosaltres anem a la llotja, a obrir unes ampolles per celebrar la resolució del problema i per brindar per tots els nostres seguidors i desitjar-los que tinguin un Feliç Any Nou!

Si l'entrada us ha sabut a poc, podeu profunditzar més sobre el seu contingut en aquests magnífics articles: Historia de la ruleta, Introducción a las espirales, Corbes cícliques, Coordenadas polares y cartesianas.

I no us oblideu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels quals gaudireu amb la seva lectura.