Halloween matemàtic

Les Matemàtiques sovint inspiren temor a molt de gent. I de vegades, amb prou de raò. Així, en un partit que es disputa a Transsilvània descobrim uns nombres molt especials i misteriosos: els nombres vampir.

(Aquesta entrada participa a l'Edició 5.7 Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, l'amfitrió del qual és el blog El zombi de Schrödinger.)

PRIMERA PART

Mai uns nombres havien causat tanta por.

Avui és Halloween, i està a punt de disputar-se el partit de la Lliga de Campions que enfronta als equips del CFR Cluj i del Manchester United FC.

vs.

L'autocar de l'equip anglès ha arribat a l'estadi un parell d'hores abans del partit.

Els jugadors s'han canviat als vestidors, i han sortit a fer exercicis d'escalfament al terreny de joc.

Ha estat en aquest moment, quan Juan Mata, presa del pànic, ha sortit corrent cap als vestidors, y s'hi ha tancat allà. Diu que no vol sortir novament al camp.

L'entrenador del Manchester United, Louis van Gaal, està preocupat, ja que Mata és una peça fonamental de l'equip. No sap què fer, ni per què Mata es comporta d'aquesta manera.

Sembla que el jugador va tornar als vestidors quan va veure uns anuncis als que apareixen uns nombres ensangonats.

Coneixent que Juan Mata és aficionat a les Matemàtiques, opta per trucar al seu amic Pep Vitruvi amb el seu telèfon de darrera generació, per a veure si se li ocorreix alguna solució.

 

Què creus que pot estar passant?

SEGONA PART

Van Gaal contacta per telèfon amb Pep Vitruvi, i li comenta els detalls del que ha passat.

- Llavors, on dius que juguéu?

- Som a Cluj. És la capital de Transsilvània, a Romania, una ciutat molt bonica dels Carpats.

- Bé. I, quina hora és ara mateix a Cluj?

- Doncs són dos quarts de nou de la tarda. Manca un quart d'hora per què comenci el partit, i encara que fa una mica de fred, el cel és clar i es veu perfectament la lluna.

- Hi ha lluna plena?

- Sí, avui és lluna plena.

- I, què va passar quan heu sortit al terreny de joc?

- Bé, jo ja havia notat que Juan estava una mica nerviós. Però quan va veure aqueixos cartells publicitaris, va sortir corrent cap als vestidors.

- Quins cartells?

- Uns als què sortien uns nombres de color vermell, com ensangonats.

- Només hi havia nombres?

- Sí. M'imagino que serien nombres de telèfon d'alguna asseguradora online de cotxes, o quelcom semblant, oi?

- Ja. Te'n recordes de quins nombres eren?

- Doncs no. Però vaig fer unes fotos de l'escalfament amb el mòbil. Mira, aquí les tinc. Surten, entre d'altres, aquests nombres:

- Humm... Crec que tinc una idea del que està passant. Deixa'm que faci una comprobació a la maravellosa pàgina web de l'OEIS... Efectivament, és el que pensava.

- Qué passa?

- És clar. Tots sabem que Juan Mata és un gran aficionat a las Matemàtiques. I també que és una mica supersticiós. Els dirigents del Cluj també ho saben, i coneixen que és un jugador molt important al joc del Manchester United. Per això han ficat aquests anuncis als lluminosos del terreny de joc.

- No ho entenc massa.

- Bé. Sou a Transsilvània, és de nit, hi ha lluna plena, i és Halloween. Una combinació ben bé tenebrosa, i inquietant per a algú supersticiós com Juan Mata. Però necessitaven atemoritzar-le encara més.

- I l'han aconseguit amb uns simples nombres?

- Sí. Podien haver tret al terreny de joc a algú disfressat de vampir, però hauria estat massa evident. Han ideat quelcom més subtil.

- Què tenen d'especial aqueixos nombres? No veig que siguin especialment tenebrosos...

- Doncs sí que ho són. Són uns nombres coneguts com nombres vampir.

- Eh? I per què?

- Bé, aquesta denominació es deu al magnífic divulgador matemàtic Clifford A. Pickover. Es tracta d'uns nombres que compleixen una sèrie de propietats:

1.- Han de tenir un nombre parell de dígits.

2.- Es formen a partir del producte de dos nombres, als que anomenem ullals.

3.- Tenen els mateixos dígits que els seus ullals.

4.- Tots els seus ullals no poden acabar en zero.

- No he entès res.

- T'ho explicaré amb un exemple: el nombre 1395. Aquest nombre té 4 dígits, i pot obtenir-se com a multiplicació dels nombres 15 i 93, que seràn els seus ullals.

15 · 93 = 1395

- Pots veure que el nombre vampir té els mateixos dígits que els seus ullals (1, 3, 5 y 9), i que els seus ullals no acaben en zero.

- És veritat.

- Ara anem amb el nombre 125460. Aquest nombre vampir s'hi pot descompondre en els següents productes:

204 · 615 = 246 · 510 = 125460

- Caram, té dos parells de ullals!

- Sí, i encara n'hi ha amb més ullals. Així, els tenim amb 3 parells de ullals:

1620 · 8073 = 1863 · 7020 = 2070 · 6318 = 13078260

- Fins i tot es coneix un nombre de 70 dígits que té 100.025 parells d'ullals...

- També n'hi ha nombres pseudovampirs, en els quals els ullals no han de tenir sempre un nombre parell de dígits:

8 · 86 = 688

- O nombres vampirs primers, que són aquells que es descomposen en un producte d'ullals primers, como aquest:

167 · 701 = 117067

- Llavors tots aqueixos nombres que apareixien als cartells publicitaris eren nombres vampir, oi?

- Això és.

- Doncs llavors, no m'extranya gens ni mica que Juan sigui tan espantat.

- Sí. Crec que hauries de dir-li al delegat de camp que hem descobert la seva estratagema per què Juan Mata no jugui, i després intentar tranquil·litzar al jugador.

- Perfecte. Això serà ho que faré. Encara que no sé si aconseguiré calmar-li, estava molt nerviós.

- Bé. Tinc entès que la FIFA prohibeix jugar amb anells, polseres, rellotges i qualsevol altre objecte que pugui lesionar als contraris. Però potser no digui res de poder jugar amb un collaret d'alls...

- Me'n vaig a repassar el reglament. Moltes gràcies per tot, Pep.

- De res. I bona sort en el partit!

Si estàs interessat en aprofundir més en aquest tema del fenomen Will Rogers i en la teoria dels jocs, pots visitar qualsevulla d'aquestes estupendes pàgines: Nombre vampir, Vampire numbers Numberphile.

I més avall us deixo altres enllaços, per si us ha agradat aquesta història i voleu compartir-la amb els vostres amics.

I no us oblideu de donar un tomb pel Carnaval de Matemáticas i votar la història que més us agradi. Allà trobareu uns excel·lents articles matemàtics dels que gaudireu amb la seva lectura.